Полифазная матрица - Polyphase matrix

В обработка сигналов, а многофазная матрица матрица, элементы которой фильтрующие маски. Он представляет собой банк фильтров как это используется в поддиапазонные кодеры псевдоним дискретные вейвлет-преобразования.^[1]

Если ${displaystyle scriptstyle h ,, g}$ два фильтра, затем один уровень традиционного вейвлет-преобразования отображает входной сигнал ${displaystyle scriptstyle a_ {0}}$ до двух выходных сигналов ${displaystyle scriptstyle a_ {1} ,, d_ {1}}$, каждая из половинной длины:

${displaystyle {egin {align} a_ {1} & = (hcdot a_ {0}) downarrow 2 d_ {1} & = (gcdot a_ {0}) downarrow 2end {выровнено}}}$

Обратите внимание, что точка означает полиномиальное умножение; т.е. свертка и ${displaystyle scriptstyle downarrow}$ средства понижающая дискретизация.

Если приведенная выше формула реализована напрямую, вы вычислите значения, которые впоследствии будут сброшены с помощью понижающей выборки. Вы можете избежать их вычисления, разделив фильтры и сигнал на четные и нечетные индексированные значения перед вейвлет-преобразованием:

${displaystyle {egin {align} h_ {mbox {e}} & = hdownarrow 2 & a_ {0, {mbox {e}}} & = a_ {0} downarrow 2 h_ {mbox {o}} & = (hleftarrow 1) стрелка вниз 2 & a_ {0, {mbox {o}}} & = (a_ {0} leftarrow 1) стрелка вниз 2 конец {выровнено}}}$

Стрелки ${displaystyle scriptstyle leftarrow}$ и ${displaystyle scriptstyle ightarrow}$ обозначают сдвиг влево и вправо соответственно. У них будет то же самое приоритет как свертка, потому что они на самом деле свертки со смещенным дискретным дельта-импульс.

${displaystyle delta = (dots, 0,0, {underset {0- {mbox {th position}}} {1}}, 0,0, dots)}$

Вейвлет-преобразование, переформулированное для разделенных фильтров:

${displaystyle {egin {align} a_ {1} & = h_ {mbox {e}} cdot a_ {0, {mbox {e}}} + h_ {mbox {o}} cdot a_ {0, {mbox {o}} }} ightarrow 1 d_ {1} & = g_ {mbox {e}} cdot a_ {0, {mbox {e}}} + g_ {mbox {o}} cdot a_ {0, {mbox {o}}} ightarrow 1end {выравнивается}}}$

Это можно записать как матрица-вектор-умножение

${displaystyle {egin {align} P & = {egin {pmatrix} h_ {mbox {e}} & h_ {mbox {o}} ightarrow 1 g_ {mbox {e}} & g_ {mbox {o}} ightarrow 1end {pmatrix} } {egin {pmatrix} a_ {1} d_ {1} end {pmatrix}} & = Pcdot {egin {pmatrix} a_ {0, {mbox {e}}} a_ {0, {mbox {o} }} конец {pmatrix}} конец {выровнено}}}$

Эта матрица ${displaystyle scriptstyle P}$ - многофазная матрица.

Конечно, многофазная матрица может иметь любой размер, она не обязательно должна иметь квадратную форму. То есть принцип хорошо масштабируется на любой банки фильтров, мультивейвлеты, вейвлет-преобразования на основе дробных уточнения.

Характеристики

Представление кодирования поддиапазонов с помощью многофазной матрицы - это больше, чем упрощение записи. Это позволяет адаптировать многие результаты из матричная теория и теория модулей. Следующие свойства объясняются для ${displaystyle scriptstyle 2, imes, 2}$ матрица, но они одинаково масштабируются до более высоких измерений.

Обратимость / идеальная реконструкция

Случай, когда многофазная матрица позволяет реконструировать обработанный сигнал из отфильтрованных данных, называется идеальная реконструкция свойство. Математически это эквивалентно обратимости. Согласно теореме обратимость матрицы над кольцом многофазная матрица обратима тогда и только тогда, когда детерминант многофазной матрицы представляет собой Дельта Кронекера, который равен нулю везде, кроме одного значения.

${displaystyle {egin {align} det P & = h_ {mbox {e}} cdot g_ {mbox {o}} - h_ {mbox {o}} cdot g_ {mbox {e}} exists A Acdot P & = Iiff существует c существует k det P = ccdot delta ightarrow kend {выровнено}}}$

К Правило Крамера противоположность ${displaystyle scriptstyle P}$ можно дать сразу.

${displaystyle P ^ {- 1} cdot det P = {egin {pmatrix} g_ {mbox {o}} ightarrow 1 & -h_ {mbox {o}} ightarrow 1 -g_ {mbox {e}} & h_ {mbox {e }} конец {pmatrix}}}$

Ортогональность

Ортогональность означает, что сопряженная матрица ${displaystyle scriptstyle P ^ {*}}$ также является обратной матрицей ${displaystyle scriptstyle P}$. Сопряженная матрица - это транспонированная матрица с сопряженные фильтры.

${displaystyle P ^ {*} = {egin {pmatrix} h_ {mbox {e}} ^ {*} & g_ {mbox {e}} ^ {*} h_ {mbox {o}} ^ {*} leftarrow 1 & g_ { mbox {o}} ^ {*} leftarrow 1end {pmatrix}}}$

Это означает, что Евклидова норма входных сигналов сохраняется. То есть соответствующее вейвлет-преобразование является изометрия.

${displaystyle left | a_ {1} ight | _ {2} ^ {2} + left | d_ {1} ight | _ {2} ^ {2} = left | a_ {0} ight | _ {2} ^ { 2}}$

Условие ортогональности

${displaystyle Pcdot P ^ {*} = I}$

можно выписать

${displaystyle {egin {align} h_ {mbox {e}} ^ {*} cdot h_ {mbox {e}} + h_ {mbox {o}} ^ {*} cdot h_ {mbox {o}} & = delta g_ {mbox {e}} ^ {*} cdot g_ {mbox {e}} + g_ {mbox {o}} ^ {*} cdot g_ {mbox {o}} & = delta h_ {mbox {e}} ^ {*} cdot g_ {mbox {e}} + h_ {mbox {o}} ^ {*} cdot g_ {mbox {o}} & = 0end {выровнено}}}$

Норма оператора

Для неортогональных многофазных матриц возникает вопрос, какие евклидовы нормы могут принимать выходные данные. Это можно ограничить с помощью норма оператора.

${displaystyle forall x left | Pcdot xight | _ {2} слева [left | P ^ {- 1} ight | _ {2} ^ {- 1} cdot | x | _ {2}, | P | _ {2 } cdot | x | _ {2} ight]}$

Для ${displaystyle scriptstyle 2, imes, 2}$ многофазная матрица, норма евклидова оператора может быть задана явно с помощью Норма Фробениуса ${displaystyle scriptstyle | cdot | _ {F}}$ и z преобразование ${displaystyle scriptstyle Z}$:^[2]

${displaystyle {egin {выровнено} p (z) & = {frac {1} {2}} cdot left | ZP (z) ight | _ {F} ^ {2} q (z) & = left | det [ ZP (z)] ight | ^ {2} | P | _ {2} & = max left {{sqrt {p (z) + {sqrt {p (z) ^ {2} -q (z)}}) }}: zin mathbb {C} земля | z | = 1ight} left | P ^ {- 1} ight | _ {2} ^ {- 1} & = min left {{sqrt {p (z) - {sqrt {p (z) ^ {2} -q (z)}}}}: zin mathbb {C} land | z | = 1ight} конец {выровнено}}}$

Это частный случай ${displaystyle n imes n}$ матрица, в которой операторная норма может быть получена через z преобразование и спектральный радиус матрицы или соответствующего спектральная норма.

${displaystyle {egin {align} left | Pight | _ {2} & = {sqrt {max left {lambda _ {ext {max}} left [ZP ^ {*} (z) cdot ZP (z) ight]: zin) mathbb {C} land | z | = 1ight}} & = max left {left | ZP (z) ight | _ {2}: zin mathbb {C} land | z | = 1ight} [3pt] left | P ^ {- 1} ight | _ {2} ^ {- 1} & = {sqrt {min left {lambda _ {ext {min}} left [ZP ^ {*} (z) cdot ZP (z) ight] : zin mathbb {C} land | z | = 1ight}}} конец {выровнен}}}$

Сигнал, в котором предполагаются эти границы, может быть получен из собственного вектора, соответствующего максимальному и минимизирующему собственному значению.

Схема подъема

Концепция многофазной матрицы позволяет матричное разложение. Например, разложение на матрицы сложения приводит к схема подъема.^[3] Однако классические матричные разложения типа LU и QR-разложение нельзя применить сразу, потому что фильтры образуют звенеть относительно свертки, а не поле.

Рекомендации