Неустойчивость Померанчука - Википедия - Pomeranchuk instability

В Померанчуковская нестабильность нестабильность в виде Поверхность Ферми материала с взаимодействующими фермионы, вызывая Ландо С Теория ферми-жидкости сломаться. Это происходит, когда параметр Ландау в теории ферми-жидкости имеет достаточно отрицательное значение, в результате чего деформации поверхности Ферми становятся энергетически выгодными. Он назван в честь Советский физик Исаак Померанчук.

Ферми-жидкости и параметры Ландау

В Ферми жидкость, перенормированный Один электрон пропагаторы (игнорируя вращение ) находятся

${ displaystyle { frac {Z} {k_ {0} - epsilon _ { vec {k}} + i eta operatorname {sgn} (k_ {0})}} = G _ {} (K)}$,

где заглавные буквы импульса обозначают четыре вектора ${ displaystyle K = (k_ {0}, { vec {k}})}$ и Поверхность Ферми имеет нулевую энергию.^[1] Полюса ${ Displaystyle G (K)}$ определить квазичастица энергия-импульс соотношение дисперсии. Можно определить четырехточечную вершинную функцию ${ displaystyle Gamma _ {(K_ {3}, K_ {4}; K_ {1}, K_ {2})}}$ как диаграмма с двумя падающими электронами импульса ${ displaystyle K_ {1}, K_ {2}}$ и два уходящих электрона с импульсом ${ displaystyle K_ {3}, K_ {4}}$ и ампутированные внешние линии:

${ displaystyle int prod _ {i = 1} ^ {2} dX_ {i} e ^ {iK_ {i} X_ {i}} prod _ {i = 3} ^ {4} dX_ {i} e ^ {- iK_ {i} X_ {i}} langle T psi _ {} ^ { dagger} (X_ {3}) psi _ {} ^ { dagger} (X_ {4}) psi _ {} (X_ {1}) psi _ {} (X_ {2}) rangle =}$

${ displaystyle = (2 pi) ^ {8} delta (K_ {1} -K_ {3}) delta (K_ {2} -K_ {4}) G (K_ {1}) G (K_ { 2}) - (2 pi) ^ {8} delta (K_ {1} -K_ {4}) delta (K_ {2} -K_ {3}) G (K_ {1}) G (K_ { 2}) +}$

${ displaystyle + (2 pi) ^ {4} delta ({K_ {1} + K_ {2} -K_ {3} -K_ {4}}) G (K_ {1}) G (K_ {2 }) G (K_ {3}) G (K_ {4}) i Gamma _ {(K_ {3}, K_ {4}; K_ {1}, K_ {2})}}$.

2-частичная неприводимая ${ displaystyle { tilde { Gamma}}}$ это сумма диаграмм, составляющих ${ displaystyle Gamma}$ которые нельзя отключить после разрезания двух электронных пропагаторов. Когда ${ displaystyle K ': = K_ {1} -K_ {3}: = (k' _ {0}, { vec {k '}})}$ очень мала (интересующий здесь режим), Т-канал становится доминирующим над S и U каналы, поэтому Уравнение Дайсона дает

${ displaystyle Gamma _ {K_ {3}, K_ {4}; K_ {1}, K_ {2}} = { tilde { Gamma}} _ {K_ {3}, K_ {4}; K_ { 1}, K_ {2}} - i sum _ {Q} { tilde { Gamma}} _ {K_ {3}, Q + K '; K_ {1}, Q} G (Q) G (Q + K ') Gamma _ {Q, K_ {4}; Q + K', K_ {2}}}$

Затем матричные манипуляции (обработка этих величин как бесконечных матриц с индексами, помеченными парами ${ displaystyle (K_ {1}, K_ {3})}$ и ${ displaystyle (K_ {2}, K_ {4})}$) покажи это

${ displaystyle Gamma _ {K_ {1}, K_ {2}} ^ { omega}: = lim _ {k ' to 0} lim _ {k' / omega ' to 0} Гамма _ {K_ {3}, K_ {4}; K_ {1}, K_ {2}}}$

невырождена и удовлетворяет матричному уравнению ${ Displaystyle Gamma = (( Gamma ^ { omega}) ^ {- 1} -L) ^ {- 1}}$, куда

${ displaystyle L_ {Q '' + K '', Q'-K '; Q' ', Q'}: = - я delta _ {Q '', Q '} delta _ {K' ', K '} G (Q') G (K '+ Q')}$.^[2]

Нормализованный параметр Ландау определяется как ${ displaystyle f_ {kk '} = Z ^ {2} N Gamma ^ { omega} (( epsilon _ { rm {F}}, { vec {k}}), ( epsilon _ { rm {F}}, { vec {k '}}))}$, куда ${ displaystyle N = { frac {p _ { rm {F}} m _ { rm {F}} ^ {*}} { pi ^ {2}}}}$ - поверхностная плотность состояний Ферми. Энергия аппроксимируется функционалом

${ displaystyle E = sum _ { vec {k}} epsilon _ { vec {k}} delta n _ { vec {k}} + sum _ {{ vec {k}}, { vec {k '}}} {{ frac {1} {2NV}} f _ {{ vec {k}} { vec {k'}}} delta n _ { vec {k}} delta n_ { vec {k '}}}}$

куда ${ displaystyle epsilon _ { vec {k}} = v _ { rm {F}} (| { vec {k}} | -p _ { rm {F}})}$ на мгновение ${ displaystyle { vec {k}}}$ недалеко от Импульс Ферми ${ displaystyle p _ { rm {F}}}$.

Критерий устойчивости Померанчука

В трехмерной изотропной ферми-жидкости рассмотрим небольшие флуктуации плотности ${ displaystyle delta n_ {k} = Theta (| k | -p _ { rm {F}}) - Theta (| k | -p _ { rm {F}} '({ hat {k} }))}$ куда ${ displaystyle p _ { rm {F}} '({ hat {k}}) = sum _ {l = 0} ^ { infty} Y_ {l, m} ({ hat {k}}) delta phi _ {lm} ({ hat {k}})}$ и бесконечно малая функция ${ displaystyle delta phi _ {lm} ({ hat {k}})}$ параметризирует колебание (${ displaystyle Y_ {l, m}}$ обозначить сферические гармоники ). Подключив это к функционалу энергии и предполагая ${ displaystyle delta phi _ {lm}}$ намного меньше, чем ${ displaystyle p _ { rm {F}}}$,

${ displaystyle sum _ {k} epsilon _ {k} delta n_ {k} = { frac {2} {(2 pi) ^ {3}}} int d ^ {2} { hat {k}} int _ {p _ { rm {F}}} ^ {p _ { rm {F}} '({ hat {k}})} v _ { rm {F}} (p'- p _ { rm {F}}) p '^ {2} dp' = { frac {p _ { rm {F}} ^ {2} v _ { rm {F}}} {(2 pi) ^ {3}}} sum _ {lm} ( delta phi _ {lm}) ^ {2} { frac {4 pi} {2l + 1}} { frac {(l + m)!} {(lm)!}}}$<

${ displaystyle sum _ {k, k '} f_ {kk'} delta n_ {k} delta n_ {k '} = { frac {2p _ { rm {F}} ^ {4}} {( 2 pi) ^ {6}}} int d ^ {2} { hat {k}} d ^ {2} { hat {k '}} (p _ { rm {F}}' ({ hat {k}}) - p _ { rm {F}}) (p _ { rm {F}} '({ hat {k'}}) _ { rm {F}}) f_ {p _ { rm {F}} { hat {k}}, p _ { rm {F}} { hat {k '}}}}$

дает

${ displaystyle E = { frac {p _ { rm {F}} ^ {2} v _ { rm {F}}} {2 ( pi) ^ {2}}} sum _ {lm} ( delta phi _ {lm}) ^ {2} { frac {(l + m)!} {(2l + 1) (lm)!}} left (1 + { frac {f_ {l}} { 2l + 1}} right)}$,

куда ${ displaystyle f_ {p _ { rm {F}} { hat {k}}, p _ { rm {F}} { hat {k '}}} = sum _ {l = 0} ^ { infty} P_ {l} ({ hat {k}} cdot { hat {k '}}) f_ {l}}$ и ${ displaystyle P_ {l}}$ это ${ displaystyle l}$-го Полином Лежандра.^[3] Для наличия положительно определенного энергетического функционала необходим критерий устойчивости Померанчука: ${ displaystyle f_ {l}> - (2l + 1)}$; в противном случае искажение поверхности Ферми ${ displaystyle delta phi _ {lm}}$ будет неограниченно расти до тех пор, пока модель не разрушится в результате того, что называется неустойчивостью Померанчука.

В 2D аналогичный анализ с круговыми волновыми колебаниями ${ displaystyle propto e ^ {il theta}}$ вместо сферических гармоник и Полиномы Чебышева вместо полиномов Лежандра показывает, что ограничение Померанчука ${ displaystyle f_ {l}> - 1}$.^[4] В неизотропных материалах верен тот же качественный результат - при достаточно отрицательных параметрах Ландау поверхность Ферми самопроизвольно разрушается с неустойчивыми флуктуациями.

Точка, в которой ${ Displaystyle F_ {l} = - (2l + 1)}$ представляет большой теоретический интерес, поскольку указывает на квантовый фазовый переход из ферми-жидкости в другое состояние вещества, а при температуре выше нуля существует квантовое критическое состояние.^[5]

Физические величины с явным критерием Померанчука

Многие физические величины в теории ферми-жидкости представляют собой простые выражения компонентов параметров Ландау. Здесь перечислены несколько стандартных; они расходятся или становятся нефизическими за пределами квантовой критической точки.^[6]

Изотермический сжимаемость: ${ displaystyle kappa = - { frac {1} {V}} { frac { partial V} { partial P}} = { frac {N / n ^ {2}} {1 + f_ {0 }}}}$

Эффективная масса: ${ displaystyle m ^ {*} = { frac {p _ { rm {F}}} {v _ { rm {F}}}} = m (1 + f_ {1} / 3)}$

Скорость первого звука: ${ displaystyle C = { sqrt { frac {p _ { rm {F}} ^ {2} (1 + f_ {0})} {m ^ {2} (3 + f_ {1})}}} }$

Нестабильные режимы нулевого звука

Нулевой звук описывает, как локализованные флуктуации функции плотности импульса ${ displaystyle delta n_ {k}}$ распространяются в пространстве и времени.^[1] Так же, как квазичастичная дисперсия задается полюсом одночастичного пропагатора, уравнение нулевой дисперсии звука задается полюсом Т-канала вершинной функции ${ displaystyle Gamma (K_ {3}, K_ {4}; K_ {1}, K_ {2})}$ рядом маленький ${ displaystyle K_ {1} -K_ {3}}$. Физически это описывает распространение пары электрон-дырка, ответственной за флуктуации ${ displaystyle delta n_ {k}}$. Из отношения ${ Displaystyle Gamma = (( Gamma ^ { omega}) ^ {- 1} -L) ^ {- 1}}$ и игнорируя вклад ${ displaystyle f _ { ell}}$ за ${ displaystyle ell> 0}$, нулевой звуковой спектр задается четырехвекторами ${ displaystyle K '= ( omega ({ vec {k'}}), { vec {k '}})}$ удовлетворение ${ displaystyle { frac {Z ^ {2} N} {f_ {0}}} = - я сумма _ {Q} G (Q + K ') G (Q + K)}$, или же

${ displaystyle { frac {-1} {f_ {0}}} = Phi (s, x): = { frac {(sx / 2) ^ {2} -1} {4x}} ln { frac {(sx / 2) +1} {(sx / 2) -1}} - { frac {(s + x / 2) ^ {2} -1} {4x}} ln { frac { (s + x / 2) +1} {(s + x / 2) -1}} + { frac {1} {2}}}$

куда ${ displaystyle s = { frac { omega ({ vec {k}})} {| { vec {k}} | p _ { rm {F}}}}}$, ${ displaystyle x = { frac {| k |} {p _ { rm {F}}}}}$.

Когда ${ displaystyle f_ {0}> 0}$, для каждого реального ${ displaystyle x}$ есть реальное решение для ${ displaystyle s (x)}$, соответствующее реальному закону нулевой звуковой дисперсии колебательных волн. Когда ${ displaystyle f_ {0} <0}$, для каждого реального ${ displaystyle x}$ есть чисто воображаемое решение для ${ displaystyle s (x)}$, что соответствует экспоненциальному изменению нулевой амплитуды звука во времени. За ${ displaystyle -1$, ${ Displaystyle Im (s (х)) <0}$ вообще реально ${ displaystyle x}$, поэтому амплитуда затухает. Но для ${ displaystyle -1> f_ {0}}$, ${ Displaystyle Im (s (x))> 0}$ для достаточно малых ${ displaystyle x}$, что означает экспоненциальный взрыв любого маломощного нулевого звукового колебания. Это проявление нестабильности Померанчука.^[2]

Нематический фазовый переход

Померанчука нестабильности при ${ displaystyle l = 1}$ не существуют в нерелятивистских системах ^[7]. Однако нестабильность на ${ displaystyle l = 2}$ есть интересные твердотельные приложения. От формы сферических гармоник ${ Displaystyle Y_ {2, m} ( theta, phi)}$ (или же ${ displaystyle e ^ {2i theta}}$ в 2d) поверхность Ферми искажается в эллипсоид (или эллипс). В частности, на 2d параметр порядка квадрупольного момента

${ displaystyle { tilde {Q}} (q) = sum _ {k} e ^ {2i theta _ {q}} psi _ {k + q} ^ { dagger} psi _ {k} }$

имеет ненулевое значение ожидаемое значение вакуума в ${ displaystyle l = 2}$ Померанчуковская нестабильность. Поверхность Ферми имеет эксцентриситет ${ Displaystyle | langle { тильда {Q}} (0) rangle |}$ и спонтанная ориентация большой оси ${ displaystyle theta = arg ( langle { tilde {Q}} (0) rangle)}$. Постепенное пространственное изменение ${ displaystyle theta ({ vec {r}})}$ формы без зазоров Режимы Голдстоуна, образуя нематическую жидкость, статистически аналогичную жидкому кристаллу. Анализ Оганесяна и др. ^[8] модели взаимодействия между квадрупольными моментами предсказывает затухающие нулевые звуковые колебания конденсата квадрупольного момента для волн, наклонных к осям эллипса.

Двумерный квадратный гамильтониан Хаббарда с сильной связью и взаимодействием между ближайшими соседями был найден Хальботом и Метцнером.^[9] показать нестабильность восприимчивости d-волновые колебания под ренормгруппа поток. Таким образом, предполагается, что неустойчивость Померанчука объясняет экспериментально измеренную анизотропию в купратные сверхпроводники такие как LSCO и YBCO.^[10]

Смотрите также

• Аномалия Кона
• Теорема Померанчука
• Теория Линдхарда

Рекомендации