Эффект Пула – Френкеля - Poole–Frenkel effect

В физика твердого тела, то Эффект Пула – Френкеля (также известен как Эмиссия Френкеля-Пула^[1]) представляет собой модель, описывающую механизм транспорта электронов с помощью ловушек в электрический изолятор. Он назван в честь Яков Френкель, опубликовавший о ней в 1938 г.,^[2] расширение теории, ранее развитой Х. Х. Пулом.

Электроны может медленно перемещаться через изолятор с помощью следующего процесса. Электроны обычно находятся в локализованных состояниях (грубо говоря, они «прилипли» к одному атому и не могут свободно перемещаться по кристаллу). Иногда случайные тепловые флуктуации дают электрону достаточно энергии, чтобы покинуть его локализованное состояние и перейти в зона проводимости. Оказавшись там, электрон может двигаться через кристалл в течение короткого промежутка времени, прежде чем релаксировать в другое локализованное состояние (другими словами, «прилипнуть» к другому атому). Эффект Пула – Френкеля описывает, как в большой электрическое поле, электрону не нужно столько тепловой энергии, чтобы продвинуться в зону проводимости (поскольку часть этой энергии происходит за счет притяжения электрическим полем), поэтому ему не нужны такие большие тепловые колебания и он сможет перемещаться Теоретически эффект Пула – Френкеля сопоставим с эффектом Эффект Шоттки, которое представляет собой снижение энергетического барьера металл-изолятор из-за электростатического взаимодействия с электрическим полем на границе раздела металл-изолятор. Однако проводимость, возникающая из-за эффекта Пула-Френкеля, обнаруживается в присутствии проводимости, ограниченной по объему (когда процесс предельной проводимости происходит в объеме материала), а ток Шоттки наблюдается, когда проводимость ограничена контактом (когда механизм ограничения проводимости происходит на границе металл-изолятор).^[3]

Уравнение Пула-Френкеля

Эффект Пула – Френкеля для кулоновской потенциальной ямы в присутствии приложенного электрического поля.^[4]

Зонная диаграмма излучения Пула – Френкеля.^[4]

В электрическая проводимость ${displaystyle sigma}$ из диэлектрики и полупроводники в присутствии сильных электрических полей (более ${displaystyle 10 ^ {5} В / см}$ для изоляторов и до ${displaystyle 10 ^ {3} В / см}$ для полупроводников) увеличивается примерно так, как описано законом Пула^[2] (в конечном итоге приводит к электрический пробой ):

${displaystyle sigma = sigma _ {0} exp {(альфа E)}}$

куда

${displaystyle sigma _ {0}}$ - электрическая проводимость в нулевом поле

${displaystyle alpha}$ это постоянная

E применяется электрическое поле.

В этой модели предполагается, что проводимость переносится системой свободных электронов, движущейся в самосогласованном периодическом потенциале. Напротив, Френкель вывел свою формулу, описывающую диэлектрик (или полупроводник) как просто состоящий из нейтральных атомов, действующих как положительно заряженные. состояния ловушки (когда она пуста, т.е. когда атомы ионизированы). Для локализованных состояний ловушки с Кулоновские потенциалы высота барьера, который электрон должен пересечь, чтобы перейти от одного атома к другому, является глубиной потенциальной ямы ловушки. В отсутствие внешнего электрического поля максимальное значение потенциала равно нулю и находится на бесконечном расстоянии от центра ловушки.^[5] При приложении внешнего электрического поля высота потенциального барьера с одной стороны ловушки уменьшается на величину^[2]

${displaystyle Delta U = qEr_ {0} + {frac {q ^ {2}} {4pi epsilon r_ {0}}}}$

куда:

q это элементарный заряд

${displaystyle epsilon}$ динамичный диэлектрическая проницаемость.

Первый вклад обусловлен приложенным электрическим полем, второй - электростатическим притяжением между местом захвата ионов и электроном проводимости. Теперь потенциал имеет максимум на расстоянии ${displaystyle r_ {0}}$ от центра кулоновской ловушки, заданной формулой${displaystyle q ^ {2} / (4pi эпсилон r_ {0} ^ {2}) = qE}$.^[2] Следовательно ${displaystyle r_ {0} = {sqrt {q / (4pi epsilon E)}}}$ и^[2]

${displaystyle Delta U = qE {sqrt {frac {q} {4pi epsilon E}}} + {frac {q ^ {2}} {4pi epsilon}} {sqrt {frac {4pi epsilon E} {q}}} = 2 {sqrt {frac {q ^ {3} E} {4pi epsilon}}} = {sqrt {frac {q ^ {3} E} {pi epsilon}}}}$.

Это выражение аналогично полученному для Эффект Шоттки. Фактор 2 в экспоненте, который делает уменьшение барьера в эффекте Пула – Френкеля вдвое больше, чем в эффекте Шоттки, обусловлен взаимодействием термически возбужденного электрона с неподвижным положительным зарядом иона, действующего как ловушка. в центре, а не с его зарядом мобильного изображения, индуцированным в металле на границе раздела Шоттки.^[6] Теперь, если без какого-либо приложенного электрического поля количество термически ионизированных электронов пропорционально^[2]

${displaystyle exp left ({frac {-qphi _ {B}} {k_ {B} T}} ight)}$

куда:

${displaystyle phi _ {B}}$ это Напряжение барьер (в нулевом электрическом поле), который электрон должен пересечь, чтобы перейти от одного атома к другому в материале

${displaystyle k_ {B}}$ является Постоянная Больцмана

Т это температура

тогда при наличии внешнего электрического поля электропроводность будет пропорциональна^[2]

${displaystyle exp left ({frac {-qleft (phi _ {B} - {sqrt {qE / (pi epsilon)}} ight)} {k_ {B} T}} ight)}$

таким образом получив^[2]

${displaystyle sigma = sigma _ {0} exp left ({frac {q {sqrt {qE / (pi epsilon)}}} {k_ {B} T}} ight)}$

отличается от закона Пула зависимостью от ${displaystyle E}$Принимая во внимание все факторы (как частоту, с которой электроны возбуждаются в зоне проводимости, так и их движение, когда они там находятся), и предполагая, что подвижность электронов не зависит от поля, стандартное количественное выражение для тока Пула – Френкеля имеет вид :^[1][7][8]

${displaystyle Jpropto Eexp left ({frac {-qleft (phi _ {B} - {sqrt {qE / (pi epsilon)}} ight)} {k_ {B} T}} ight)}$

куда J это плотность тока Сделав явные зависимости от приложенного напряжения и температуры, выражение имеет вид:^[1]

${displaystyle Jpropto Vexp left ({frac {q} {k_ {B} T}} left (2 {sqrt {qV / (4pi epsilon d)}} - phi _ {B} ight) ight)}$

куда d толщина диэлектрика. Для данного диэлектрика различные процессы проводимости могут преобладать в различных диапазонах напряжения и температуры.

Для таких материалов, как Si₃N₄, Al₂О₃, и так₂, при высоких температурах и режимах сильного поля ток J вероятно, связано с эмиссией Пула-Френкеля.^[1] Обнаружение эмиссии Пула-Френкеля как процесса ограничения проводимости в диэлектрике обычно проводится при изучении наклона так называемого графика Пула-Френкеля, где логарифм плотности тока, деленный на поле (${displaystyle ln (J / E)}$) по сравнению с квадратным корнем из поля (${displaystyle {sqrt {E}}}$) изображен. Идея такого графика исходит из выражения плотности тока Пула-Френкеля, которое содержит эту пропорциональность (${displaystyle ln (J / E)}$ против ${displaystyle {sqrt {E}}}$), и таким образом получится прямая линия на этом графике. При фиксированном значении барьера напряжения в отсутствие какого-либо приложенного электрического поля на наклон влияет только один параметр: диэлектрическая проницаемость.^[9]Несмотря на ту же функциональную зависимость плотности тока от напряженности электрического поля, можно было различить проводимость Пула-Френкеля и проводимость Шоттки, поскольку они приводили бы к прямым линиям с разными наклонами на графике Пула-Френкеля. Теоретические наклоны можно оценить, зная высокочастотную диэлектрическую проницаемость материала (${displaystyle kappa = epsilon / epsilon _ {0}}$, куда ${displaystyle epsilon _ {0}}$ это диэлектрическая проницаемость вакуума ) и сравнивая их с наклонами, обнаруженными экспериментально. В качестве альтернативы можно оценить значение для ${displaystyle kappa}$ приравнивание теоретических наклонов к экспериментально обнаруженным, при условии, что известно, является ли проводимость электродной или ограниченной по объему. Такое значение высокочастотной диэлектрической проницаемости должно соответствовать соотношению ${displaystyle kappa = n ^ {2}}$, куда ${displaystyle n}$ это показатель преломления материала.^[3]

Улучшенные модели Пула-Френкеля

Хотя со времени классической работы Френкеля в этой области было сделано много прогресса, формула Пула-Френкеля широко использовалась для интерпретации нескольких неомических экспериментальных токов, наблюдаемых в диэлектриках, а также в полупроводниках.^[10] Споры о допущениях, лежащих в основе классической модели Пула-Френкеля, дали жизнь нескольким улучшенным моделям Пула-Френкеля. Эти гипотезы представлены ниже.^[10]

Рассматривается только электронная (однополярная) проводимость, предполагая существование омические контакты способен пополнять захваченные электроны на электродах, и космический заряд эффектами пренебрегаем, предполагая, что поле однородное. Пересмотр этого последнего предположения можно найти, например, в «теории тока, ограниченного пространственным зарядом, усиленного эффектом Френкеля», разработанной Мургатройдом.^[5]

Предполагается, что подвижность носителей не зависит от поля. Пренебрегая всеми видами распространение процесс для освобожденных перевозчиков,^[5] предэкспоненциальный множитель в формуле Пула-Френкеля, таким образом, пропорционален ${displaystyle E}$. Это изображение подходит для описания проводимости в диэлектриках или полупроводниках. Однако эффект Пула – Френкеля, вероятно, будет наблюдаться только в материалах, характеризующихся низкими значениями подвижности, поскольку в твердых телах с высокой подвижностью повторный захват носителей будет постепенно подавляться истощением носителей.^[11]Тем не менее, можно найти разные зависимости предэкспоненциального множителя от поля: если предположить, что носители могут быть повторно захвачены, пропорциональность ${displaystyle E ^ {- 1/2}}$ или ${displaystyle E ^ {1/2}}$ получается в зависимости от обратного захвата электронов на ближайшую соседнюю ловушку или после дрейфа.^[11] Более того, предэкспоненциальный множитель, пропорциональный ${displaystyle E ^ {1/2}}$ оказывается результатом случайных диффузионных процессов,^[12] в то время как зависимости от ${displaystyle E ^ {- 3/2}}$ и ${displaystyle E ^ {- 3/4}}$ как оказалось, являются результатом процессов прыжкового и диффузионного переноса соответственно.^[13]

В классической теории Пула-Френкеля предполагается кулоновский потенциал ловушки, но также рассматриваются более крутые потенциалы, принадлежащие мультиполярным дефектам или экранированным водородным потенциалам.^[10]

Что касается типологии ловушек, описывается, что эффект Пула-Френкеля возникает для положительно заряженных узлов ловушек, то есть для ловушек, которые положительны, когда пусты, и нейтральны, когда заполнены, чтобы электрон испытывал кулоновский потенциальный барьер из-за взаимодействия с положительно заряженная ловушка. Донорные или акцепторные узлы и электроны в валентной зоне также будут демонстрировать эффект Пула – Френкеля. Напротив, нейтральный узел ловушки, т.е. узел, который является нейтральным в пустом состоянии и заряженным (отрицательно для электронов) при заполнении, не будет демонстрировать эффект Пула-Френкеля. Среди других узлов Симмонс предложил альтернативу классической модели с мелкой структурой. нейтральные ловушки и глубокие доноры, способные демонстрировать объемно-ограниченную проводимость с зависимостью электрического поля Шоттки даже при наличии механизма проводимости Пула-Френкеля, что объясняет «аномальный эффект Пула-Френкеля», обнаруженный Та₂0₅ и пленки SiO.^[3]Существуют модели, которые учитывают наличие как донорных, так и акцепторных участков ловушки, в ситуации, называемой компенсация ловушек.Модель Йергана и Тейлора, например, расширяет классическую теорию Пула-Френкеля, включая различные степени компенсации: когда рассматривается только один вид ловушки, наклон кривой на графике Пула-Френкеля воспроизводит полученный из излучения Шоттки. , несмотря на то, что снижение барьера вдвое больше, чем для эффекта Шоттки; наклон в два раза больше при наличии компенсации.^[14]

В качестве дополнительного предположения предполагается, что для ловушек используется один уровень энергии. Тем не менее, обсуждается существование дополнительных донорных уровней, даже если предполагается, что они полностью заполнены для каждого поля и температурного режима и, таким образом, не дают никаких носителей проводимости (это эквивалентно утверждению, что дополнительные донорные уровни расположены значительно ниже то Уровень Ферми ).^[10]

Уравнение Хартке

Расчет, выполненный для уменьшения глубины ловушки, является одномерным расчетом, что приводит к завышению оценки эффективного снижения барьера. Фактически, только в направлении внешнего электрического поля высота потенциальной ямы уменьшается, насколько это оценивается согласно Пулу. -Выражение Френкеля. Более точный расчет, выполненный Hartke^[6] усреднение вероятностей эмиссии электронов относительно любого направления показывает, что рост концентрации свободных носителей заряда примерно на порядок меньше, чем предсказывается уравнением Пула-Френкеля.^[5] Уравнение Хартке эквивалентно^[5]

${displaystyle Jpropto Eexp left ({frac {-qphi _ {B}} {k_ {B} T}} ight) left ({frac {1} {2}} + {frac {1} {eta ^ {2} E }} left (1 + left (eta {sqrt {E}} - 1ight) exp (eta {sqrt {E}}) ight) ight)}$

куда

${displaystyle eta = {frac {q} {k_ {B} T}} {sqrt {frac {q} {pi epsilon}}}}$.

С теоретической точки зрения выражение Хартке следует предпочесть уравнению Пула-Френкеля на том основании, что учитывается трехмерность задачи о понижении барьера ловушки.^[5]Были разработаны дополнительные трехмерные модели, отличающиеся тем, как они трактуют процесс излучения в противотоке.^[10]Иеда, Сава и Като, например, предложили модель, которая включает изменение барьера в направлениях как вперед, так и против электрического поля.^[15]

Насыщенность Пула-Френкеля

Насыщение Пула-Френкеля происходит, когда все узлы ловушки становятся ионизированными, что приводит к максимальному количеству носителей проводимости. Соответствующее поле насыщения получается из выражения, описывающего исчезновение барьера:^[10]

${displaystyle phi _ {B} - {sqrt {frac {qE_ {s}} {pi epsilon}}} = 0}$

куда ${displaystyle E_ {s}}$ - поле насыщения. Таким образом^[10]

${displaystyle E_ {s} = {frac {pi epsilon {phi _ {B}} ^ {2}} {q}}}$.

Ловушки теперь обязательно пусты, находясь на краю зона проводимости Тот факт, что эффект Пула – Френкеля описывается выражением для проводимости (и для тока), которое расходится с увеличением поля и не испытывает насыщения, объясняется упрощающим предположением о том, что заселенность ловушки следует Максвелл-Больцманн статистика. Усовершенствованная модель Пула-Френкеля, включающая более точное описание статистики ловушек с Ферми-Дирак Формула, способная количественно представить насыщенность, была разработана Онгаро и Пиллонне.^[10]

Транспорт Пула – Френкеля в электронных устройствах памяти

В заряд ловушки вспышка В запоминающих устройствах заряд сохраняется в улавливающем материале, обычно слое нитрида кремния, когда ток течет через диэлектрик. В процессе программирования электроны испускаются из подложки в сторону улавливающего слоя из-за большого положительного смещения, приложенного к затвору. Перенос тока является результатом двух различных механизмов проводимости, которые следует рассматривать последовательно: ток через оксид является туннельным, механизм проводимости через нитрид представляет собой перенос Пула – Френкеля. Туннельный ток описывается модифицированным Туннель Фаулера-Нордхейма уравнение, то есть уравнение туннелирования, которое учитывает, что форма туннельного барьера не является треугольной (как предполагается при выводе формулы Фаулера-Нордгейма), а состоит из ряда трапециевидного барьера в оксиде и треугольного барьера в нитрид. Процесс Пула-Френкеля является ограничивающим механизмом проводимости в начале режима программирования памяти из-за более высокого тока, обеспечиваемого туннелированием. Когда заряд захваченного электрона увеличивается, начиная экранировать поле, модифицированное туннелирование Фаулера-Нордхейма становится ограничивающим процессом. Плотность захваченного заряда на границе оксид-нитрид пропорциональна интегралу тока Пула-Френкеля, протекающего через нее.^[1]С увеличением числа циклов записи и стирания памяти характеристики удержания ухудшаются из-за увеличения объемной проводимости нитрида.^[8]

Смотрите также

• Эффект Шоттки
• Вспышка ловушки заряда
• Электрический пробой
• Диэлектрики

Рекомендации

внешняя ссылка

• Слайды о механизмах утечки в изоляторах, включая эффект Пула – Френкеля
• Схема электрона, подвергающегося эмиссии Пула-Френкеля