Уравнение баланса населения - Википедия - Population balance equation

Уравнения баланса населения (PBE) были внедрены в нескольких областях современной науки, в основном в Химическая инженерия, чтобы описать эволюцию популяции частиц. Сюда входят такие темы, как кристаллизация[1], выщелачивание (металлургия)[2][3], жидкость – жидкостная экстракция, газожидкостные дисперсии, жидкостно-жидкостные реакции, измельчение, аэрозольная инженерия, биология (где отдельными объектами являются клетки в зависимости от их размера или внутриклеточные белки[4]), полимеризация и т. д. Можно сказать, что уравнения баланса населения выводятся как расширение Уравнение коагуляции Смолуховского которое описывает только слияние частиц. PBE, в более общем плане, определяют, как популяции отдельных сущностей развиваются в определенных свойствах с течением времени. Они представляют собой набор Интегро-дифференциальные уравнения в частных производных который дает поведение популяции частиц в среднем поле из анализа поведения отдельной частицы в локальных условиях.[5]Системы твердых частиц характеризуются рождением и смертью частиц. Например, рассмотрим осадки процесс (образование твердого вещества из жидкого раствора), который имеет подпроцессы зарождение, агломерация, поломка и т. д., которые приводят к увеличению или уменьшению количества частиц определенного радиус (в предположении образования сферических частиц). Баланс населения - это не что иное, как баланс по количеству частиц определенного состояния (в этом примере размер).

Состав PBE

Рассмотрим среднее количество частиц со свойствами, обозначенными вектором состояния частицы (Икс,р) (куда Икс соответствует свойствам частиц, таким как размер, плотность и т. д., также известным как внутренние координаты и, р соответствует пространственному положению или внешним координатам), рассредоточенные в непрерывной фазе, определяемой фазовым вектором Y (р, t) (который снова является функцией всех таких векторов, которые обозначают фазовые свойства в различных местах) обозначается через f (Икс,р, т). Следовательно, он дает характеристики частиц в областях свойств и пространства. Пусть h (Икс,р,Y, t) обозначают частоту рождения частиц в единице объема пространства состояний частицы, поэтому сохранение числа можно записать как[5]

Это обобщенная форма PBE.[5]

Решение для PBE

Методы Монте-Карло [6],[7] дискретизация методы и моментные методы [6][7][8][9][10][11] в основном используются для решения этих уравнения. Выбор зависит от приложения и вычислительной инфраструктуры.

Рекомендации

  1. ^ Hulburt, H.M .; Кац, С. (август 1964 г.). «Некоторые проблемы в технологии частиц». Химическая инженерия. 19 (8): 555–574. Дои:10.1016/0009-2509(64)85047-8.
  2. ^ Бортот Коэльо, Фабрисио Эдуардо; Баларини, Хулио Сезар; Араужу, Эстеван Маньо Родригеш; Миранда, Таня Лусиа Сантос; Перес, Антонио Эдуардо Кларк; Мартинс, Афонсу Энрикес; Салум, Адриан (июнь 2020 г.). «Подход баланса населения для прогнозирования производительности реакторов непрерывного выщелачивания: проверка модели на пилотной установке с использованием обожженного цинкового концентрата». Гидрометаллургия. 194: 105301. Дои:10.1016 / j.hydromet.2020.105301.
  3. ^ Коэльо, Фабрисио Эдуардо Борто; Баларини, Хулио Сезар; Араужу, Эстеван Маньо Родригеш; Миранда, Таня Лусиа Сантос; Перес, Антонио Эдуардо Кларк; Мартинс, Афонсу Энрикес; Салум, Адриан (январь 2018 г.). «Выщелачивание обожженного цинкового концентрата: моделирование и проверка баланса населения». Гидрометаллургия. 175: 208–217. Дои:10.1016 / j.hydromet.2017.11.013.
  4. ^ Альхутхали, Сахр; Фадда, Сара; Goey, Cher H .; Конторавди, Клео (01.01.2017). «Многоступенчатая модель баланса популяции для понимания динамики культуры клеток CHO с подпиткой». В Эспунье, Антонио; Graells, Moisès; Puigjaner, Луис (ред.). 27-й Европейский симпозиум по автоматизированной разработке процессов. Компьютерная химическая инженерия. 27 Европейский симпозиум по автоматизированному проектированию процессов. 40. Эльзевир. С. 2821–2826. Дои:10.1016 / B978-0-444-63965-3.50472-4. ISBN  9780444639653.
  5. ^ а б c Рамкришна, Д .: Балансы населения: теория и приложения к системам частиц в технике, Academic Press, 2000 г.
  6. ^ а б Hashemian, N .; Армау, А. (2016). «Моделирование, моделизация и оценка состояния двухкомпонентного процесса коагуляции». Журнал Айше. 62 (5): 1557–1567. Дои:10.1002 / aic.15146.
  7. ^ а б Hashemian, N .; Ghanaatpishe, M .; Армау, А. (2016). Разработка модели пониженного порядка для процессов двухкомпонентного гранулирования с помощью полиномов Лагерра. Труды Американской конференции по контролю. С. 3668–3673. Дои:10.1109 / ACC.2016.7525483. ISBN  978-1-4673-8682-1. S2CID  7505525.
  8. ^ Описание динамики аэрозолей квадратурным методом моментов, Роберт Макграва, Aerosol Science and Technology, Volume 27, Issue 2, 1997, страницы 255-265
  9. ^ Ю. М., Лин Дж. И Чан Т. (2008). Метод нового момента для решения уравнения коагуляции для частиц в броуновском движении. Aerosol Sci. Технология, 42 (9): 705–713.
  10. ^ Маркизио Д. Л. и Фокс Р. О. (2005). Решение уравнений баланса населения прямым квадратурным методом моментов. J. Aerosol Sci., 36 (1): 43–73.
  11. ^ Андалиби, М. Реза; Кумар, Абхишек; Шринивасан, Бхуванеш; Боуэн, Пол; Скривенер, Карен; Людвиг, Кристиан; Тестино, Андреа (2018). «О мезомасштабном механизме синтетического осаждения силикат-гидрат кальция: подход к моделированию баланса населения». Журнал химии материалов A. 6 (2): 363–373. Дои:10.1039 / C7TA08784E. ISSN  2050-7488.