Теорема о сообщениях - Википедия - Posts theorem

В теория вычислимости Теорема Поста, названный в честь Эмиль Пост, описывает связь между арифметическая иерархия и Степени Тьюринга.

Фон

В формулировке теоремы Поста используются несколько понятий, относящихся к определимость и теория рекурсии. В этом разделе дается краткий обзор этих концепций, которые подробно рассматриваются в соответствующих статьях.

В арифметическая иерархия классифицирует определенные наборы натуральных чисел, которые можно определить на языке арифметики Пеано. А формула как говорят ${ displaystyle Sigma _ {m} ^ {0}}$ если это экзистенциальное утверждение в пренекс нормальная форма (все кванторы впереди) с ${ displaystyle m}$ чередования экзистенциальных и универсальных кванторов, применяемых к формуле с ограниченные кванторы Только. Формально формула ${ displaystyle phi (s)}$ на языке арифметики Пеано - это ${ displaystyle Sigma _ {m} ^ {0}}$ формула, если она имеет вид

{ displaystyle left ( exists n_ {1} ^ {1} exists n_ {2} ^ {1} cdots exists n_ {j_ {1}} ^ {1} right) left ( forall n_ {1} ^ {2} cdots forall n_ {j_ {2}} ^ {2} right) left ( существует n_ {1} ^ {3} cdots right) cdots left (Qn_ { 1} ^ {m} cdots right) rho (n_ {1} ^ {1}, ldots n_ {j_ {m}} ^ {m}, x_ {1}, ldots, x_ {k}) }

куда ${ displaystyle rho}$ содержит только ограниченные кванторы и Q является ${ displaystyle forall}$ если м даже и ${ Displaystyle существует}$ если м странно.

Набор натуральных чисел А как говорят ${ displaystyle Sigma _ {m} ^ {0}}$ если это определяется ${ displaystyle Sigma _ {m} ^ {0}}$ формула, то есть, если есть ${ displaystyle Sigma _ {m} ^ {0}}$ формула ${ displaystyle phi (s)}$ так что каждое число п в А если и только если ${ Displaystyle фи (п)}$ держит. Известно, что если набор ${ displaystyle Sigma _ {m} ^ {0}}$ тогда это ${ displaystyle Sigma _ {n} ^ {0}}$ для любого ${ displaystyle n> m}$ , но для каждого м Существует ${ Displaystyle Sigma _ {м + 1} ^ {0}}$ набор, который не ${ displaystyle Sigma _ {m} ^ {0}}$ . Таким образом, количество изменений квантора, необходимое для определения набора, дает меру сложности набора.

Теорема Поста использует релятивизированную арифметическую иерархию, а также только что определенную нерелятивизированную иерархию. Множество А натуральных чисел называется ${ displaystyle Sigma _ {m} ^ {0}}$ относительно набора B, написано ${ displaystyle Sigma _ {m} ^ {0, B}}$ , еслиА определяется ${ displaystyle Sigma _ {m} ^ {0}}$ формула на расширенном языке, которая включает предикат для членства в B.

В то время как арифметическая иерархия измеряет определимость множеств натуральных чисел, Степени Тьюринга измерить уровень невычислимости множеств натуральных чисел. Множество А как говорят Сводимый по Тьюрингу к набору B, написано ${ displaystyle A leq _ {T} B}$ , если есть оракул машина Тьюринга это, учитывая оракул для B, вычисляет характеристическая функция из А. Прыжок Тьюринга набора А это форма Проблема с остановкой относительно А. Учитывая набор А, скачок Тьюринга ${ displaystyle A '}$ это набор индексов оракульных машин Тьюринга, которые останавливаются при вводе 0 при запуске с оракулом А. Известно, что каждый комплект А сводится по Тьюрингу к своему скачку Тьюринга, но скачок Тьюринга множества никогда не сводится по Тьюрингу к исходному множеству.

Теорема Поста использует конечно итерированные скачки Тьюринга. Для любого набора А натуральных чисел, обозначение ${ Displaystyle А ^ {(п)}}$ указывает на п-кратный повторный скачок Тьюринга А. Таким образом ${ displaystyle A ^ {(0)}}$ просто А, и ${ Displaystyle А ^ {(п + 1)}}$ это скачок Тьюринга ${ Displaystyle А ^ {(п)}}$ .

Теорема Поста и следствия

Теорема Поста устанавливает тесную связь между арифметической иерархией и степенями Тьюринга формы ${ Displaystyle emptyset ^ {(п)}}$ , то есть конечно итерированные скачки Тьюринга пустого множества. (Пустое множество может быть заменено любым другим вычислимым множеством без изменения истинности теоремы.)

Теорема Поста гласит:

Множество B является ${ Displaystyle Sigma _ {п + 1} ^ {0}}$ если и только если ${ displaystyle B}$ является рекурсивно перечислимый с помощью оракула машины Тьюринга с оракулом для ${ Displaystyle emptyset ^ {(п)}}$ , то есть тогда и только тогда, когда B является ${ Displaystyle Sigma _ {1} ^ {0, emptyset ^ {(п)}}}$ .
Набор ${ Displaystyle emptyset ^ {(п)}}$ является ${ displaystyle Sigma _ {n} ^ {0}}$ -полный на каждый ${ displaystyle n> 0}$ . Это означает, что каждый ${ displaystyle Sigma _ {n} ^ {0}}$ набор много-один сводимый к ${ Displaystyle emptyset ^ {(п)}}$ .

У теоремы Поста есть много следствий, которые раскрывают дополнительные отношения между арифметической иерархией и степенями Тьюринга. К ним относятся:

Исправить набор C. Множество B является ${ Displaystyle Sigma _ {п + 1} ^ {0, C}}$ если и только если B является ${ displaystyle Sigma _ {1} ^ {0, C ^ {(n)}}}$ . Это релятивизация первой части теоремы Поста к оракулу. C.
Множество B является ${ displaystyle Delta _ {n + 1}}$ если и только если ${ Displaystyle B leq _ {T} emptyset ^ {(п)}}$ . В более общем смысле, B является ${ displaystyle Delta _ {n + 1} ^ {C}}$ если и только если ${ Displaystyle B leq _ {T} C ^ {(n)}}$ .
Набор определяется как арифметический, если он ${ displaystyle Sigma _ {n} ^ {0}}$ для некоторых п. Теорема Поста показывает, что, эквивалентно, множество арифметично тогда и только тогда, когда оно сводится по Тьюрингу к ${ Displaystyle emptyset ^ {(м)}}$ для некоторых м.

Доказательство теоремы Поста

Формализация машин Тьюринга в арифметике первого порядка

Работа Машина Тьюринга T на входе n можно логически формализовать в виде арифметика первого порядка. Например, мы можем использовать символы А_k, B_k и C_k для конфигурации ленты, состояния машины и местоположения вдоль ленты после k шагов, соответственно. Т переходная система определяет связь между (A_k, B_k, С_k) и (A_{к + 1}, B_{к + 1}, С_{к + 1}); их начальные значения (при k = 0) являются входом, начальным состоянием и нулем соответственно. Машина останавливается тогда и только тогда, когда существует число k такое, что B_k состояние остановки.

Точное соотношение зависит от конкретной реализации понятия машины Тьюринга (например, их алфавита, разрешенного режима движения по ленте и т. Д.)

В случае остановки T в момент времени n₁, связь между (A_k, B_k, С_k) и (A_{к + 1}, B_{к + 1}, С_{к + 1}) должно выполняться только для k, ограниченного сверху числом n₁.

Таким образом, существует формула ${ Displaystyle varphi (п, п_ {1})}$ в арифметика первого порядка без ООНограниченные кванторы, так что T останавливается на входе n в момент n₁ самое большее, если и только если ${ Displaystyle varphi (п, п_ {1})}$ доволен.

Пример реализации

Например, для без префиксов Машина Тьюринга с двоичным алфавитом и без пробела, мы можем использовать следующие обозначения:

А_k это 1-арый символ для конфигурации всей ленты после k шагов (которые мы можем записать в виде числа с LSB сначала значение m-го места на ленте является его m-м младшим битом). В частности, A₀ - начальная конфигурация ленты, соответствующая входу в машину.
B_k это 1-арый символ состояния машины Тьюринга после k шагов. В частности, B₀ = q_я, начальное состояние машины Тьюринга.
C_k это 1-арый символ расположения машины Тьюринга на ленте после k шагов. В частности, C₀ = 0.
M (q, b) - функция перехода машины Тьюринга, записанная как функция от дублета (состояние машины, бит, прочитанный машиной) к триплету (новое состояние машины, бит, записанный машиной, +1 или - 1 машинное движение по ленте).
bit (j, m) - j-й бит числа m. Это можно записать как арифметическую формулу первого порядка без неограниченных кванторов.

Для без префиксов Машину Тьюринга мы можем использовать для ввода n начальную конфигурацию ленты ${ displaystyle t (n) = кошка (2 ^ {ceil (log_ {2} n)} - 1,0, n)}$ где кошка означает конкатенацию; таким образом, t (n) представляет собой строку длины log (n), состоящую из единиц, за которой следует 0, а затем n.

Работа машины Тьюринга при первом n₁ Таким образом, шаги могут быть записаны как комбинация начальных условий и следующих формул, количественно выраженных по k для всех k 1:

${ displaystyle (B_ {k + 1}, бит (C_ {k}, A_ {k + 1}), D) = M (B_ {k}, бит (C_ {k}, A_ {k}))}$ . Поскольку M имеет конечную область, ее можно заменить на область первого порядка бескванторный арифметическая формула. Точная формула, очевидно, зависит от M.
${ Displaystyle C_ {k + 1} = C_ {k} + D}$
${ displaystyle forall j: j neq C_ {k} rightarrow bit (j, A_ {k + 1}) = bit (j, A_ {k})}$ . Обратите внимание, что при первых n₁ шагов, T никогда не достигает точки на ленте, превышающей n₁. Таким образом универсальный квантор над j может быть ограниченный автор n₁+1, поскольку биты за пределами этого местоположения не имеют отношения к работе машины.

T останавливается на входе n в момент времени n₁ самое большее, если и только если ${ Displaystyle varphi (п, п_ {1})}$ выполнено, где:

{ displaystyle { begin {align} varphi (n, n_ {1}) = & (A_ {0} = t (n)) land (B_ {0} = q_ {I}) land (C_ { 0} = 0) land (B_ {n_ {1}} = q_ {H}) & land forall k

Это арифметическая формула первого порядка без неограниченных кванторов, т.е. ${ displaystyle Sigma _ {0} ^ {0}}$ .

Рекурсивно перечислимые множества

Пусть S - множество, которое может быть рекурсивно пронумеровано Машина Тьюринга. Затем существует машина Тьюринга T, которая для каждого n в S останавливается, когда n задано на входе.

Это можно формализовать с помощью арифметической формулы первого порядка, представленной выше. Члены S - это числа n, удовлетворяющие следующей формуле:

${ Displaystyle существует n_ {1}: varphi (n, n_ {1})}$

Эта формула находится в ${ displaystyle Sigma _ {1} ^ {0}}$ . Следовательно, S находится в ${ displaystyle Sigma _ {1} ^ {0}}$ Таким образом, каждое рекурсивно перечислимое множество находится в ${ displaystyle Sigma _ {1} ^ {0}}$ .

Верно и обратное: для каждой формулы ${ Displaystyle varphi (п)}$ в ${ displaystyle Sigma _ {1} ^ {0}}$ с помощью k экзистенциальных кванторов, мы можем перечислить k-кортежи натуральных чисел и запустить машину Тьюринга, которая перебирает их все, пока не обнаружит, что формула удовлетворяется. Эта машина Тьюринга останавливается в точности на наборе натуральных чисел, удовлетворяющих ${ Displaystyle varphi (п)}$ , и таким образом перечисляет соответствующее ему множество.

Машины Oracle

Точно так же работа машина оракула T с оракулом O, который останавливается не более чем через n₁ шаги на входе n можно описать формулой первого порядка ${ displaystyle varphi _ {O} (n, n_ {1})}$ , за исключением того, что формула ${ displaystyle varphi _ {1} (n, n_ {1})}$ теперь включает:

Новый предикат O_м, давая ответ оракула. Этот предикат должен удовлетворять некоторой формуле, которая будет рассмотрена ниже.
Дополнительная лента - лента оракула, на которой T должен записывать число m для каждого обращения O (m) к оракулу; запись на этой ленте может быть логически формализована аналогично записи на магнитной ленте машины. Обратите внимание, что машина-оракул, которая останавливается не более чем через n₁ шагов успевает написать не более n₁ цифры на ленте оракула. Таким образом, оракул можно вызвать только с числами m, удовлетворяющими ${ Displaystyle м <2 ^ {п_ {1}}}$ .

Если оракул стоит за решение проблемы, O_м всегда «Да» или «Нет», которые мы можем формализовать как 0 или 1. Предположим, что сама проблема решения может быть формализована арифметической формулой первого порядка ${ Displaystyle psi ^ {O} (м)}$ .Затем T останавливается на n после не более чем n.₁ шаги тогда и только тогда, когда выполняется следующая формула: ${ displaystyle varphi _ {O} (n, n_ {1}) = forall m <2 ^ {n_ {1}}: (( psi ^ {O} (m) rightarrow (O_ {m} = 1)) land ( lnot psi ^ {O} (m) rightarrow (O_ {m} = 0))) land { varphi _ {O}} _ {1} (n, n_ {1} )}$

куда ${ Displaystyle { varphi _ {O}} _ {1} (п, п_ {1})}$ формула первого порядка без неограниченных кванторов.

Прыжок Тьюринга

Если O - оракул проблемы остановки машины T ', то ${ Displaystyle psi ^ {O} (м)}$ то же самое, что "существует m₁ такой, что T ', начиная с входа m, находится в состоянии остановки после m₁ шаги ». Таким образом: ${ displaystyle psi ^ {O} (m) = exists m_ {1}: psi _ {H} (m, m_ {1})}$ куда ${ displaystyle psi _ {H} (м, м_ {1})}$ - формула первого порядка, формализующая T '. Если T 'машина Тьюринга (без оракула), ${ displaystyle psi _ {H} (м, м_ {1})}$ в ${ displaystyle Sigma _ {0} ^ {0} = Pi _ {0} ^ {0}}$ (т. е. не имеет неограниченных кванторов).

Поскольку существует конечное число чисел m, удовлетворяющих ${ Displaystyle м <2 ^ {п_ {1}}}$ , мы можем выбрать для всех одинаковое количество шагов: существует число m₁, такая, что T 'останавливается после m₁ шаги именно по этим входам ${ Displaystyle м <2 ^ {п_ {1}}}$ для чего он вообще останавливается.

Переехать в пренекс нормальная форма, мы получаем, что машина оракула останавливается на входе n тогда и только тогда, когда выполняется следующая формула: ${ displaystyle varphi (n) = exists n_ {1} exists m_ {1} forall m_ {2}: ( psi _ {H} (m, m_ {2}) rightarrow (O_ {m}) = 1)) land ( lnot psi _ {H} (m, m_ {1}) rightarrow (O_ {m} = 0))) land { varphi _ {O}} _ {1} ( n, n_ {1})}$

(неформально существует «максимальное количество шагов» m₁ такой каждый оракул, который не останавливается в пределах первых метров₁ шаги не останавливаются вообще; однако для каждого m₂, каждый оракул, останавливающийся после m₂ шаги останавливаются).

Обратите внимание, что мы можем заменить как n₁ И м₁ одним числом - их максимумом - без изменения истинностного значения ${ Displaystyle varphi (п)}$ . Таким образом, мы можем написать: ${ displaystyle varphi (n) = существует n_ {1} forall m_ {2}: ( psi _ {H} (m, m_ {2}) rightarrow (O_ {m} = 1)) land ( lnot psi _ {H} (m, n_ {1}) rightarrow (O_ {m} = 0))) land { varphi _ {O}} _ {1} (n, n_ {1} )}$

Для оракула проблемы остановки машин Тьюринга ${ displaystyle psi _ {H} (м, м_ {1})}$ в ${ displaystyle Pi _ {0} ^ {0}}$ и ${ Displaystyle varphi (п)}$ в ${ displaystyle Sigma _ {2} ^ {0}}$ . Таким образом, каждый набор, рекурсивно перечисляемый оракульной машиной с оракулом для ${ Displaystyle emptyset ^ {(1)}}$ , в ${ displaystyle Sigma _ {2} ^ {0}}$ .

Верно и обратное: предположим ${ Displaystyle varphi (п)}$ формула в ${ displaystyle Sigma _ {2} ^ {0}}$ с k₁ экзистенциальные кванторы, за которыми следует k₂ универсальные кванторы. Эквивалентно ${ Displaystyle varphi (п)}$ имеет k₁ экзистенциальные кванторы с последующим отрицанием формулы в ${ displaystyle Sigma _ {1} ^ {0}}$ ; последняя формула может быть перечислена машиной Тьюринга и, таким образом, может быть немедленно проверена оракулом на предмет ${ Displaystyle emptyset ^ {(1)}}$ .

Таким образом, мы можем перечислить k₁-наборы натуральных чисел и запустить машину оракула с оракулом для ${ Displaystyle emptyset ^ {(1)}}$ который проходит через все, пока не найдет удовлетворение для формулы. Эта машина-оракул останавливается в точности на наборе натуральных чисел, удовлетворяющих ${ Displaystyle varphi (п)}$ , и таким образом перечисляет соответствующее ему множество.

Высшие прыжки Тьюринга

В более общем смысле, предположим, что каждый набор, который рекурсивно перечисляется оракульной машиной с оракулом для ${ Displaystyle emptyset ^ {(р)}}$ в ${ displaystyle Sigma _ {p + 1} ^ {0}}$ . Затем для машины оракула с оракулом для ${ Displaystyle emptyset ^ {(п + 1)}}$ , ${ displaystyle psi ^ {O} (m) = exists m_ {1}: psi _ {H} (m, m_ {1})}$ в ${ displaystyle Sigma _ {p + 1} ^ {0}}$ .

С ${ Displaystyle psi ^ {O} (м)}$ такой же как ${ Displaystyle varphi (п)}$ для предыдущего прыжка Тьюринга его можно построить (как мы только что сделали с ${ Displaystyle varphi (п)}$ выше) так что ${ displaystyle psi _ {H} (м, м_ {1})}$ в ${ displaystyle Pi _ {p} ^ {0}}$ . После перехода к формальной форме prenex новый ${ Displaystyle varphi (п)}$ в ${ displaystyle Sigma _ {p + 2} ^ {0}}$ .

По индукции каждый набор, который рекурсивно перечислим с помощью оракула с оракулом для ${ Displaystyle emptyset ^ {(р)}}$ , в ${ displaystyle Sigma _ {p + 1} ^ {0}}$ .

Другое направление можно также доказать по индукции: предположим, что каждая формула в ${ displaystyle Sigma _ {p + 1} ^ {0}}$ можно перечислить с помощью оракула с оракулом для ${ Displaystyle emptyset ^ {(р)}}$ .

Теперь предположим ${ Displaystyle varphi (п)}$ формула в ${ displaystyle Sigma _ {p + 2} ^ {0}}$ с k₁ экзистенциальные кванторы, за которыми следует k₂ универсальные кванторы и т. д. ${ Displaystyle varphi (п)}$ имеет k₁ экзистенциальные кванторы с последующим отрицанием формулы в ${ displaystyle Sigma _ {p + 1} ^ {0}}$ ; последняя формула может быть пересчитана машиной оракула с оракулом для ${ Displaystyle emptyset ^ {(р)}}$ и, таким образом, может быть немедленно проверен оракулом на предмет ${ Displaystyle emptyset ^ {(п + 1)}}$ .

Таким образом, мы можем перечислить k₁-наборы натуральных чисел и запустить машину оракула с оракулом для ${ Displaystyle emptyset ^ {(п + 1)}}$ который проходит через все, пока не найдет удовлетворение для формулы. Эта машина-оракул останавливается в точности на наборе натуральных чисел, удовлетворяющих ${ Displaystyle varphi (п)}$ , и таким образом перечисляет соответствующее ему множество.