Интегральное преобразование вероятности - Probability integral transform

В теория вероятности, то интегральное преобразование вероятности (также известный как универсальность униформы) относится к результату, что значения данных, моделируемые как случайные переменные из любого данного непрерывное распространение можно преобразовать в случайные величины, имеющие стандартное равномерное распределение.^[1] Это верно при условии, что используемое распределение является истинным распределением случайных величин; если распределение соответствует данным, результат будет сохраняться приблизительно в больших выборках.

Результат иногда модифицируется или расширяется так, что результатом преобразования является стандартное распределение, отличное от равномерного распределения, например экспоненциальное распределение.

Приложения

Одно использование для интегрального преобразования вероятности в статистической анализ данных состоит в том, чтобы обеспечить основу для проверки того, можно ли разумно смоделировать набор наблюдений как результат определенного распределения. В частности, интегральное преобразование вероятности применяется для построения эквивалентного набора значений, а затем выполняется проверка того, подходит ли равномерное распределение для созданного набора данных. Примеры этого: Графики P-P и Тесты Колмогорова-Смирнова.

Второе использование преобразования - в теории, связанной с связки которые являются средством определения и работы с распределениями для статистически зависимых многомерных данных. Здесь проблема определения или манипулирования совместное распределение вероятностей для набора случайных величин упрощается или уменьшается кажущаяся сложность за счет применения интегрального преобразования вероятности к каждому из компонентов, а затем работы с совместным распределением, для которого маргинальные переменные имеют равномерные распределения.

Третье использование основано на применении обратного интегрального преобразования вероятности для преобразования случайных величин из равномерного распределения в выбранное распределение: это известно как выборка с обратным преобразованием.

Заявление

Предположим, что случайная величина Икс имеет непрерывное распространение для чего кумулятивная функция распределения (CDF) является F_Икс. Тогда случайная величина Y определяется как

{displaystyle Y = F_ {X} (X) ,,}

имеет стандартное равномерное распределение.^[1]

Доказательство

Для любой случайной непрерывной переменной ${displaystyle X}$ , определять ${displaystyle Y = F_ {X} (X)}$ . Потом:

{displaystyle {egin {выровнено} F_ {Y} (y) & = operatorname {P} (Yleq y) & = operatorname {P} (F_ {X} (X) leq y) & = operatorname {P} ( Xleq F_ {X} ^ {- 1} (y)) & = F_ {X} (F_ {X} ^ {- 1} (y)) & = yend {выровнено}}}

${displaystyle F_ {Y}}$ это просто CDF ${displaystyle mathrm {Uniform} (0,1)}$ случайная переменная. Таким образом, ${displaystyle Y}$ имеет равномерное распределение на интервале ${displaystyle [0,1]}$ .

Примеры

В качестве наглядного примера пусть Икс случайная величина со стандартным нормальным распределением ${displaystyle {mathcal {N}} (0,1)}$ . Тогда его CDF равен

{displaystyle Phi (x) = {frac {1} {sqrt {2pi}}} int _ {- infty} ^ {x} e ^ {- t ^ {2} / 2}, dt = {frac {1} { 2}} {Big [}, 1 + operatorname {erf} {Big (} {frac {x} {sqrt {2}}} {Big)}, {Big]}, quad xin mathbb {R} ,,}

куда ${displaystyle operatorname {erf} (),}$ это функция ошибки. Тогда новая случайная величина Y, определяется Y= 桅 (Икс), распределена равномерно.