Проблемы в латинских квадратах - Problems in Latin squares

В математика, теория Латинские квадраты область активных исследований со многими открытые проблемы. Как и в других областях математики, такие задачи часто публикуются на профессиональных конференциях и собраниях. Поставленные здесь проблемы возникли, например, в Петли (Прага) конференции и Майлхай (Денвер) конференции.

Открытые проблемы

Границы максимального числа трансверсалей в латинском квадрате

А поперечный в Латинский квадрат порядка п это набор S из п ячеек так, чтобы каждая строка и каждый столбец содержали ровно одну ячейку S, и такие, что символы в S форма {1, ..., п}. Позволять Т(п) - максимальное количество трансверсалей в латинском квадрате порядка п. Оценить Т(п).

Предложенный: Ян Ванлесс на выставке Loops '03, Прага, 2003
Комментарии: Ванлесс, Маккей и МакЛеод имеют границы формы c^п < Т(п) < d^п п!, где c > 1 и d составляет около 0,6. Гипотеза Ривина, Варди и Циммермана (Rivin et al., 1994) гласит, что вы можете разместить как минимум exp (c п журнал п) королевы в не атакующих позициях на тороидальный шахматная доска (для некоторого постоянного c). Если это правда, это будет означать, что Т(п)> ехр (c п журнал п). С этим связан вопрос, чтобы оценить количество трансверсалей в Столы Кэли из циклические группы из странный порядок. Другими словами, сколько ортоморфизмов делает эти группы имеют?

Минимальное количество трансверсалей латинского квадрата также является открытой проблемой. Х. Дж. Райзер предположил (Oberwolfach, 1967), что каждый латинский квадрат нечетного порядка имеет один. Тесно связана гипотеза, приписываемая Ричарду Бруальди, что каждый латинский квадрат порядка п имеет частичный трансверсал порядка не менее п − 1.

Характеристика латинских подквадратов в таблицах умножения луп Муфанг

Опишите, как все латинские подквадраты в таблицах умножения Петли муфанг возникают.

Предложенный: Автор: Алеш Драпал на выставке Loops '03, Прага, 2003 г.
Комментарии: Хорошо известно, что каждый латинский подквадрат в Таблица умножения группы г имеет форму ах Икс Hb, где ЧАС это подгруппа из г и а, б являются элементами г.

Самые плотные частичные латинские квадраты со свойством Блэкберна

Частичный латинский квадрат имеет Блэкберн недвижимость если всякий раз, когда ячейки (я, j) и (k, л) заняты одним и тем же символом, противоположные углы (я, л) и (k, j) пусты. Какова максимально достижимая плотность заполненных ячеек в частичном латинском квадрате со свойством Блэкберна? В частности, есть ли постоянная c > 0 такой, что мы всегда можем заполнить хотя бы c п² клетки?

Предложенный: Автор: Ян Ванлесс на выставке Loops '03, Прага, 2003 г.
Комментарии: В статье, которая будет опубликована, Ванлесс показал, что если c существует тогда c <0,463. Он также построил семейство частичных латинских квадратов со свойством Блэкберна и асимптотической плотностью не менее exp (-d(журнал п)^1/2) для постоянного d > 0.

Наибольшая степень двойки при делении числа латинских квадратов

Позволять ${ displaystyle L_ {n}}$ быть количеством латинских квадратов порядка п. Что это наибольшее целое число ${ Displaystyle р (п)}$ такой, что ${ Displaystyle 2 ^ {п (п)}}$ разделяет ${ displaystyle L_ {n}}$ ? Делает ${ Displaystyle р (п)}$ расти квадратично в п?

Предложенный: Автор: Ян Ванлесс на выставке Loops '03, Прага, 2003 г.
Комментарии: Конечно, ${ Displaystyle L_ {п} = п! (п-1)! R_ {п}}$ где ${ displaystyle R_ {n}}$ это количество приведенных латинских квадратов порядка п. Это сразу дает линейное число множителей 2. Однако вот простые факторизации из ${ displaystyle R_ {n}}$ для п = 2, ...,11:

2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	1	2²	2³7	2⁶37²	2¹⁰35*1103	2¹⁷31361291	2²¹3²5231*3824477	2²⁸3²53137*547135293937	2³⁵3⁴528012206499*62368028479

Из этой таблицы видно, что степень двойки суперлинейно растет. Лучший текущий результат:

{ displaystyle R_ {n}}

всегда делится на ж!, где ж около п/ 2. См. (McKay and Wanless, 2003). Два автора заметили подозрительно высокую степень двойки (не имея возможности пролить на нее много света): (Alter, 1975), (Mullen, 1978).

Смотрите также

использованная литература

Альтер, Рональд (1975), «Сколько там латинских квадратов?», Амер. Математика. Ежемесячно, Математическая ассоциация Америки, 82 (6): 632–634, Дои:10.2307/2319697, JSTOR 2319697.
Маккей, Брендан; Ванлесс, Ян (2005), «О количестве латинских квадратов», Анна. Комбинировать., 9 (3): 335–344, Дои:10.1007 / s00026-005-0261-7.
Маллен, Гарри (1978), «Сколько существует i-j сокращенных латинских квадратов?», Амер. Математика. Ежемесячно, Математическая ассоциация Америки, 85 (9): 751–752, Дои:10.2307/2321684, JSTOR 2321684.
Ривин, Игорь; Варди, Илан; Циммерман, Пол (1994), "Проблема n ферзей", Амер. Математика. Ежемесячно, Математическая ассоциация Америки, 101 (7): 629–639, Дои:10.2307/2974691, JSTOR 2974691.