Проблема Пруэ – Тарри – Эскотта - Википедия - Prouhet–Tarry–Escott problem

В математика, то Проблема Пруэ – Тарри – Эскотта просит двоих непересекающийся мультимножества А и B из п целые числа каждый, чей первый k степенная сумма симметричных многочленов все равны, то есть два мультимножества должны удовлетворять уравнениям

{ displaystyle sum _ {a in A} a ^ {i} = sum _ {b in B} b ^ {i}}

для каждого целого числа я от 1 до заданного k. Было показано, что п должно быть строго больше, чем k. Решения с ${ Displaystyle к = п-1}$ называются идеальные решения. Идеальные решения известны ${ Displaystyle 3 Leq п Leq 10}$ и для ${ displaystyle n = 12}$ . Нет идеального решения для ${ displaystyle n = 11}$ или для ${ Displaystyle п geq 13}$ .^[1]

Эта проблема была названа в честь Эжен Пруэ, изучавшие его в начале 1850-х гг.,^[2] и Гастон Терри и Эдвард Б. Эскотт, изучавший его в начале 1910-х годов. Проблема возникает из-за писем от Кристиан Гольдбах и Леонард Эйлер (1750/1751).

Примеры

Идеальные решения

Идеальное решение для п = 6 задается двумя наборами {0, 5, 6, 16, 17, 22} и {1, 2, 10, 12, 20, 21}, потому что:

0¹ + 5¹ + 6¹ + 16¹ + 17¹ + 22¹ = 1¹ + 2¹ + 10¹ + 12¹ + 20¹ + 21¹

0² + 5² + 6² + 16² + 17² + 22² = 1² + 2² + 10² + 12² + 20² + 21²

0³ + 5³ + 6³ + 16³ + 17³ + 22³ = 1³ + 2³ + 10³ + 12³ + 20³ + 21³

0⁴ + 5⁴ + 6⁴ + 16⁴ + 17⁴ + 22⁴ = 1⁴ + 2⁴ + 10⁴ + 12⁴ + 20⁴ + 21⁴

0⁵ + 5⁵ + 6⁵ + 16⁵ + 17⁵ + 22⁵ = 1⁵ + 2⁵ + 10⁵ + 12⁵ + 20⁵ + 21⁵.

За п = 12, идеальное решение дается формулой А = {± 22, ± 61, ± 86, ± 127, ± 140, ± 151} и B = {±35, ±47, ±94, ±121, ±146, ±148}.^[3]

Другие решения

Пруэ использовал Последовательность Туэ – Морса построить решение с ${ Displaystyle п = 2 ^ {к}}$ для любого ${ displaystyle k}$ . А именно, разделите числа от 0 до ${ displaystyle 2 ^ {k + 1} -1}$ в злые числа и одиозные числа; тогда два набора перегородки дают решение проблемы.^[4] Например, для ${ displaystyle n = 8}$ и ${ displaystyle k = 3}$ , Решение Пруэ:

0¹ + 3¹ + 5¹ + 6¹ + 9¹ + 10¹ + 12¹ + 15¹ = 1¹ + 2¹ + 4¹ + 7¹ + 8¹ + 11¹ + 13¹ + 14¹

0² + 3² + 5² + 6² + 9² + 10² + 12² + 15² = 1² + 2² + 4² + 7² + 8² + 11² + 13² + 14²

0³ + 3³ + 5³ + 6³ + 9³ + 10³ + 12³ + 15³ = 1³ + 2³ + 4³ + 7³ + 8³ + 11³ + 13³ + 14³.

Обобщения

Версия более высокой размерности проблемы Пруэ – Тарри – Эскотта была введена и изучена Андреас Альперс и Роберт Тийдеман в 2007 г .: Данные параметры ${ Displaystyle п, к в mathbb {N}}$ , найдите два разных набора ${ Displaystyle {(x_ {1}, y_ {1}), точки, (x_ {n}, y_ {n}) }}$ , ${ displaystyle {(x_ {1} ', y_ {1}'), dots, (x_ {n} ', y_ {n}') }}$ очков от ${ Displaystyle mathbb {Z} ^ {2}}$ такой, что

{ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {j} y_ {i} ^ {dj} = sum _ {i = 1} ^ {n} {x '} _ { я} ^ {j} {y '} _ {i} ^ {dj}}

для всех ${ displaystyle d, j in {0, dots, k }}$ с ${ displaystyle j leq d.}$ Эта проблема связана с дискретная томография а также приводит к специальным решениям Пруэ-Тарри-Эскотта по Гауссовские целые числа (хотя решения проблемы Альперса-Тийдемана не исчерпывают гауссовские целочисленные решения Пруэ-Тарри-Эскотта).