Уравнение Якоби – Мэддена - Jacobi–Madden equation

В Уравнение Якоби – Мэддена это Диофантово уравнение

предложенный физиком Ли В. Якоби и математиком Дэниелом Дж. Мэдденом в 2008 году.[1][2] Переменные а, б, c, и d может быть любым целые числа, положительный, отрицательный или 0.[3] Якоби и Мэдден показали, что существует бесконечное множество решений этого уравнения со всеми ненулевыми переменными.

История

Уравнение Якоби – Мэддена представляет собой частный случай уравнения

впервые предложен в 1772 г. Леонард Эйлер кто предположил, что четыре - это минимальное количество (больше единицы) четвертых степеней ненулевых целых чисел, которые могут быть суммированы до другой четвертой степени. Эта гипотеза, теперь известная как Гипотеза Эйлера о сумме степеней, было естественным обобщением Последняя теорема Ферма, последнее доказано в четвертой степени Пьер де Ферма сам.

Ноам Элкис был первым, кто нашел бесконечную серию решений уравнения Эйлера с ровно одной переменной, равной нулю, тем самым опровергнув гипотезу Эйлера о сумме степеней для четвертой степени.[4]

Однако до публикации Якоби и Мэддена не было известно, существует ли бесконечно много решений уравнения Эйлера со всеми ненулевыми переменными. Было известно лишь конечное число таких решений.[5][6] Одно из таких решений, обнаруженное Симхой Брудно в 1964 году,[7] дали решение уравнения Якоби – Мэддена:

Подход

Якоби и Мэдден начали с того,

и личность,

Добавление к обеим сторонам уравнения,

видно это особенный Пифагорейская тройка,

Затем они использовали раствор Брудно и определенную эллиптическая кривая построить бесконечную серию решений уравнения Якоби – Мэддена.

Другие начальные решения

Якоби и Мэдден заметили, что другое начальное значение, например

найден Ярославом Вроблевским,[6] приведет к другой бесконечной серии решений.[8]

В августе 2015 года Сейджи Томита объявил о двух новых малых решениях уравнения Якоби – Мэддена:[9]

которые приводят к двум новым сериям решений, построенных методом Якоби и Мэддена.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Якоби, Ли У .; Мэдден, Дэниел Дж. (2008). "На ". Американский математический ежемесячный журнал. 115 (3): 220–236. Дои:10.1080/00029890.2008.11920519. JSTOR  27642446.
  2. ^ Математики находят новые решения древней головоломки
  3. ^ Фактически, любое нетривиальное решение должно включать как положительное, так и отрицательное значение.
  4. ^ Ноам Элкис (1988). "На А4 + B4 + C4 = D4". Математика вычислений. 51 (184): 825–835. Дои:10.2307/2008781. JSTOR  2008781. МИСТЕР  0930224.
  5. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Диофантово уравнение - четвертые степени». MathWorld.
  6. ^ а б Ярослав Вроблевски База данных решений уравнения Эйлера
  7. ^ Симха Брудно (1964). "Еще один пример А4 + B4 + C4 + D4 = E4". Математические труды Кембриджского философского общества. 60 (4): 1027–1028. Дои:10.1017 / S0305004100038470. МИСТЕР  0166151.
  8. ^ Сейджи Томита, Решения a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4 + d ^ 4 = (a + b + c + d) ^ 4, 2010.
  9. ^ Сейджи Томита, Новые решения a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4 + d ^ 4 = (a + b + c + d) ^ 4, 2015.