Аттрактор отката - Pullback attractor

Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Март 2015 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, то аттрактор из случайная динамическая система можно в общих чертах рассматривать как набор, к которому система эволюционирует через достаточно долгое время. Основная идея такая же, как и для детерминированный динамическая система, но требует осторожного обращения, поскольку случайные динамические системы обязательно не являютсяавтономный. Это требует рассмотрения понятия обратный аттрактор или же аттрактор в смысле отката.

Настройка и мотивация

Рассмотрим случайную динамическую систему ${displaystyle varphi}$ на полный отделяемый метрическое пространство ${displaystyle (X, d)}$, где шум выбирается из вероятностное пространство ${displaystyle (Omega, {mathcal {F}}, mathbb {P})}$ с базовый поток ${displaystyle vartheta: mathbb {R} imes Omega o Omega}$.

Наивное определение аттрактора ${displaystyle {mathcal {A}}}$ для этой случайной динамической системы потребовалось бы, чтобы для любого начального условия ${displaystyle x_ {0} in X}$, ${displaystyle varphi (t, omega) x_ {0} o {mathcal {A}}}$ в качестве ${displaystyle t o + infty}$. Это определение слишком ограничено, особенно в размеры выше единицы. Более правдоподобное определение, основанное на идее набор омега-лимита, было бы сказать, что точка ${displaystyle ain X}$ лежит в аттракторе ${displaystyle {mathcal {A}}}$ если и только если существует начальное условие, ${displaystyle x_ {0} in X}$, и есть последовательность раз ${displaystyle t_ {n} o + infty}$ такой, что

${displaystyle dleft (varphi (t_ {n}, omega) x_ {0}, aight) o 0}$ в качестве ${displaystyle n o infty}$.

Это не так уж далеко от рабочего определения. Однако мы еще не рассмотрели влияние шума ${displaystyle omega}$, что делает систему неавтономной (т. е. явно зависит от времени). По техническим причинам возникает необходимость сделать следующее: вместо того, чтобы искать ${displaystyle t}$ секунд в «будущее», и учитывая предел как ${displaystyle t o + infty}$, шум "перематывается" ${displaystyle t}$ секунд в "прошлое" и развивает систему через ${displaystyle t}$ секунд с тем же начальным условием. То есть интересуется предел отката

${displaystyle lim _ {t o + infty} varphi (t, vartheta _ {- t} омега)}$.

Так, например, в смысле отката набор омега-лимита для (возможно, случайного) набора ${displaystyle B (omega) subteq X}$ это случайный набор

${displaystyle Omega _ {B} (omega): = left {xin Xleft | существует t_ {n} o + infty, существует b_ {n} в B (vartheta _ {- t_ {n}} omega) mathrm {, st, } varphi (t_ {n}, vartheta _ {- t_ {n}} omega) b_ {n} o xmathrm {, as,} n o infty ight.ight}.}$

Эквивалентно это можно записать как

${displaystyle Omega _ {B} (omega) = igcap _ {tgeq 0} {overline {igcup _ {sgeq t} varphi (s, vartheta _ {- s} omega) B (vartheta _ {- s} omega)}} .}$

Важно отметить, что в случае детерминированной динамической системы (без шума) предел отката совпадает с детерминированным прямым пределом, поэтому имеет смысл сравнивать детерминированные и случайные наборы омега-предела, аттракторы и т. Д.

Аналитически и численно представлены несколько примеров обратных аттракторов неавтономных динамических систем.^[1]

Определение

В обратный аттрактор (или же случайный глобальный аттрактор) ${displaystyle {mathcal {A}} (омега)}$ для случайной динамической системы является ${displaystyle mathbb {P}}$-почти наверняка уникальный случайный набор такой, что

1. ${displaystyle {mathcal {A}} (омега)}$ это случайный компакт: ${displaystyle {mathcal {A}} (omega) substeq X}$ почти наверняка компактный и ${displaystyle omega mapsto mathrm {dist} (x, {mathcal {A}} (omega))}$ это ${displaystyle ({mathcal {F}}, {mathcal {B}} (X))}$-измеримая функция для каждого ${displaystyle xin X}$;
2. ${displaystyle {mathcal {A}} (омега)}$ является инвариантный: для всех ${displaystyle varphi (t, omega) ({mathcal {A}} (omega)) = {mathcal {A}} (vartheta _ {t} omega)}$ почти наверняка;
3. ${displaystyle {mathcal {A}} (омега)}$ является привлекательный: для любого детерминированного ограниченное множество ${displaystyle Bsubseteq X}$,

${displaystyle lim _ {t o + infty} mathrm {dist} left (varphi (t, vartheta _ {- t} omega) (B), {mathcal {A}} (omega) ight) = 0}$ почти наверняка.

Есть небольшое злоупотребление обозначениями в приведенном выше примере: первое использование "dist" относится к Полудистанция Хаусдорфа от точки к множеству,

${displaystyle mathrm {dist} (x, A): = inf _ {ain A} d (x, a),}$

тогда как второе использование "dist" относится к полу-расстоянию Хаусдорфа между двумя наборами,

${displaystyle mathrm {dist} (B, A): = sup _ {bin B} inf _ {ain A} d (b, a).}$

Как отмечалось в предыдущем разделе, в отсутствие шума это определение аттрактора совпадает с детерминированным определением аттрактора как минимального компактного инвариантного множества, которое привлекает все ограниченные детерминированные множества.

Теоремы, связывающие омега-предельные множества с аттракторами

Аттрактор как объединение омега-предельных множеств

Если случайная динамическая система имеет компактный случайный поглощающий набор ${displaystyle K}$, то случайный глобальный аттрактор задается формулой

${displaystyle {mathcal {A}} (omega) = {overline {igcup _ {B} Omega _ {B} (omega)}},}$

где союз берется по всем ограниченным множествам ${displaystyle Bsubseteq X}$.

Ограничение аттрактора детерминированным множеством

Крауэль (1999) доказал, что если основной поток ${displaystyle vartheta}$ является эргодический и ${displaystyle Dsubseteq X}$ детерминированный компакт с

${displaystyle mathbb {P} left ({mathcal {A}} (cdot) substeq Dight)> 0,}$

тогда ${displaystyle {mathcal {A}} (omega) = Omega _ {D} (omega)}$ ${displaystyle mathbb {P}}$-почти конечно.

Рекомендации

• Крауэль Х., Дебуш А. и Фландоли Ф. (1997) Случайные аттракторы. Журнал динамики и дифференциальных уравнений. 9(2) 307–341.
• Крауэл, Х. (1999) Глобальные случайные аттракторы однозначно определяются путем притяжения детерминированных компактов. Анна. Мат. Pura Appl. 4 176 57–72
• Chekroun, M. D., E. Simonnet, and М. Гил, (2011). Стохастическая динамика климата: случайные аттракторы и инвариантные меры, зависящие от времени. Физика Д. 240 (21), 1685–1700.