Квантовый т-дизайн - Quantum t-design

А квантовый т-дизайн является распределением вероятностей либо по чистым квантовые состояния или унитарные операторы, которые могут дублировать свойства распределения вероятностей по Мера Хаара для многочленов степени t или меньше. В частности, среднее значение любой полиномиальной функции степени t по плану точно такое же, как среднее по мере Хаара. Здесь мера Хаара - это равномерное распределение вероятностей по всем квантовым состояниям или по всем унитарным операторам. Квантовые t-планы называются так потому, что они аналогичны т-конструкции в классической статистике, исторически возникшей в связи с проблемой дизайн экспериментов. Два особенно важных типа t-планов в квантовой механике - это проективные и унитарные t-планы.^[1].

А сферический дизайн представляет собой набор точек на единичной сфере, для которых многочлены ограниченной степени могут быть усреднены для получения того же значения, которое дает интегрирование по поверхностной мере на сфере. Сферический и проективный t-планы получили свои названия из работ Дельсарта, Гетальса и Зайделя в конце 1970-х годов, но эти объекты ранее играли роль в нескольких разделах математики, включая численное интегрирование и теорию чисел. Конкретные примеры этих объектов нашли применение в квантовая теория информации,^[2] квантовая криптография, и другие связанные поля.

Унитарные t-образные конструкции аналогичны сферическим конструкциям в том смысле, что они воспроизводят все унитарная группа через конечный набор унитарные матрицы^[1]. Теория унитарных 2-конструкций разработана в 2006 г. ^[1] специально для достижения практических средств эффективного и масштабируемого рандомизированного тестирования^[3] для оценки ошибок в квантовых вычислительных операциях, называемых воротами. С тех пор унитарные t-планы нашли применение в других областях квантовые вычисления и в более широком смысле в квантовая теория информации и применяется к проблемам, доходящим до информационного парадокса черной дыры. ^[4]. Унитарные t-планы особенно важны для задач рандомизации в квантовых вычислениях, поскольку идеальные операции обычно представлены унитарными операторами.

Мотивация

В d-мерном гильбертовом пространстве при усреднении по всем квантовым чистым состояниям естественный группа есть SU (d), особая унитарная группа размерности d. Мера Хаара по определению является уникальной инвариантной для группы мерой, поэтому она используется для усреднения свойств, которые не являются унитарно-инвариантными по всем состояниям или по всем унитарным параметрам.

Особенно широко используемым примером этого является спин ${displaystyle {frac {1} {2}}}$ система. Для этой системы подходящей группой является SU (2), которая является группой всех унитарных операторов 2x2. Поскольку каждый унитарный оператор 2x2 является вращением Сфера Блоха, мера Хаара для частиц со спином 1/2 инвариантна относительно всех вращений сферы Блоха. Отсюда следует, что мера Хаара равна то вращательно-инвариантная мера на сфере Блоха, которую можно рассматривать как постоянное распределение плотности по поверхности сферы.

Важным классом сложных проективных t-планов являются симметричные информационно полные положительные операторнозначные меры. POVM s, которые представляют собой сложный проективный 2-дизайн. Поскольку такие 2-конструкции должны иметь не менее ${displaystyle d ^ {2}}$ элементы, а SIC-POVM представляет собой комплексные проективные 2-конструкции минимального размера.

Сферические t-образные конструкции

Сложные проективные t-планы изучались в квантовая теория информации как квантовые t-конструкции. Они тесно связаны со сферическими 2t-схемами векторов в единичной сфере в ${displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$ которые при естественном включении в ${displaystyle mathbb {C} ^ {d}}$ приводят к сложным проективным t-планам.

Формально определим^[5] сложный проективный t-план как распределение вероятностей по квантовым состояниям ${displaystyle (p_ {i}, | phi _ {i} angle)}$ если

${displaystyle sum _ {i} p_ {i} (| phi _ {i} angle langle phi _ {i} |) ^ {otimes t} = int _ {psi} (| psi angle langle psi |) ^ {otimes t } dpsi}$

Здесь интеграл по состояниям берется по мере Хаара на единичной сфере в ${displaystyle mathbb {C} ^ {d}}$

Точные t-планы по квантовым состояниям нельзя отличить от равномерного распределения вероятностей по всем состояниям при использовании t копий состояния из распределения вероятностей. Однако на практике даже t-планы могут быть трудными для вычисления. По этой причине полезны приблизительные t-планы.

Приблизительные t-планы наиболее полезны из-за их способности эффективно реализовывать. т.е. можно создать квантовое состояние ${displaystyle | phi angle}$ распределены согласно распределению вероятностей ${displaystyle p_ {i} | phi _ {i} angle}$ в ${displaystyle O (log ^ {c} d)}$ Эта эффективная конструкция также подразумевает, что POVM операторов ${displaystyle Np_ {i} | phi _ {i} angle langle phi _ {i} |}$ может быть реализовано в ${displaystyle O (журнал ^ {c} d)}$ время.

Техническое определение приблизительного Т-образного дизайна:

Если ${displaystyle sum _ {i} p_ {i} | phi _ {i} angle langle phi _ {i} | = int _ {psi} | psi angle langle psi | dpsi}$

и ${displaystyle (1-epsilon) int _ {psi} (| psi angle langle psi |) ^ {otimes t} dpsi leq sum _ {i} p_ {i} (| phi _ {i} angle langle phi _ {i} |) ^ {otimes t} leq (1 + epsilon) int _ {psi} (| psi angle langle psi |) ^ {otimes t} dpsi}$

тогда ${displaystyle (p_ {i}, | phi _ {i} angle)}$ является ${displaystyle epsilon}$-приблизительный т-образный дизайн.

Возможно, хотя и неэффективно, найти ${displaystyle epsilon}$-приблизительный t-план, состоящий из квантовых чистых состояний для фиксированного t.

Строительство

Для удобства предполагается, что d является степенью двойки.

Используя тот факт, что для любого d существует набор ${displaystyle N ^ {d}}$ функции {0, ..., d-1} ${displaystyle ightarrow}$ {0, ..., d-1} такие, что для любых различных ${displaystyle k_ {1}, ..., k_ {N} in}$ {0, ..., d-1} изображение под f, где f выбирается случайным образом из S, является в точности равномерным распределением по кортежам из N элементов {0, ..., d-1}.

Позволять ${displaystyle | psi angle = sum _ {i = 1} ^ {d} alpha _ {i} | iangle}$ быть заимствованным из меры Хаара. Позволять ${displaystyle P_ {d}}$ быть распределением вероятностей ${displaystyle alpha _ {1}}$ и разреши ${displaystyle P = lim _ {dightarrow infty} {sqrt {d}} P_ {d}}$. Наконец позвольте ${displaystyle alpha}$ быть взят из P. Если мы определим ${Displaystyle X = | альфа |}$ с вероятностью ${displaystyle {frac {1} {2}}}$ и ${displaystyle X = - | alpha |}$ с вероятностью ${displaystyle {frac {1} {2}}}$ тогда:${displaystyle E [X ^ {j}] = 0}$ для нечетных j и ${displaystyle E [X ^ {j}] = ({frac {j} {2}})!}$ для даже j.

Используя это и Квадратура Гаусса мы можем построить ${displaystyle p_ {f, g} = {frac {sum _ {i = 1} ^ {d} a_ {f, i} ^ {2}} {| S_ {1} || S_ {2} |}}}$ так что ${displaystyle p_ {f, g} | psi _ {f, g} angle}$ это приблизительный t-образный дизайн.

Унитарные t-конструкции

Унитарные t-образные конструкции аналогичны сферическим конструкциям в том смысле, что они воспроизводят все унитарная группа через конечный набор унитарные матрицы^[1]. Теория унитарных 2-конструкций разработана в 2006 г. ^[1] специально для достижения практических средств эффективного и масштабируемого рандомизированного тестирования^[3] для оценки ошибок в квантовых вычислительных операциях, называемых воротами. С тех пор унитарные t-планы нашли применение в других областях квантовые вычисления и в более широком смысле в квантовая теория информации и в таких областях, как физика черных дыр^[4]. Унитарные t-планы особенно важны для задач рандомизации в квантовых вычислениях, поскольку идеальные операции обычно представлены унитарными операторами.

Элементами унитарной t-схемы являются элементы унитарной группы U (d), группы ${displaystyle d imes d}$ унитарные матрицы. T-дизайн унитарных операторов будет генерировать t-дизайн состояний.

Предполагать ${displaystyle {U_ {k}}}$ является унитарным t-планом (т.е. набором унитарных операторов). Тогда для любой чистое состояние ${displaystyle | psi angle}$ позволять ${displaystyle | psi _ {k} angle = U_ {k} | psi angle}$. потом ${displaystyle {| psi _ {k} angle}}$ всегда будет т-образной схемой для состояний.

Формально определить^[6] а унитарный т-образный дизайн, X, если

${displaystyle {frac {1} {| X |}} sum _ {Uin X} U ^ {otimes t} otimes (U ^ {*}) ^ {otimes t} = int _ {U (d)} U ^ { otimes t} otimes (U ^ {*}) ^ {otimes t} dU}$

Заметим, что пространство, линейно натянутое на матрицы ${displaystyle U ^ {otimes r} otimes (U ^ {*}) ^ {otimes s} dU}$ по всем вариантам U совпадает с ограничением ${displaystyle Uin X}$ и ${displaystyle r + s = t}$ Это наблюдение приводит к выводу о двойственности между унитарными планами и унитарными кодами.

Используя карты перестановок, можно^[5] чтобы напрямую проверить, что набор унитарных матриц образует t-план.^[7]

Одним из прямых результатов этого является то, что для любого конечного ${displaystyle Xsubseteq U (d)}$

${displaystyle {frac {1} {| X | ^ {2}}} sum _ {U, Vin X} | tr (U * V) | ^ {2t} geq int _ {U (d)} | tr (U * V) | ^ {2t} dU}$

С равенством тогда и только тогда, когда X - t-план.

1 и 2-планы были исследованы довольно подробно, и были получены абсолютные границы для размерности X, | X |.^[8]

Границы для унитарных конструкций

Определять ${displaystyle Hom (U (d), t, t)}$ как множество функций, однородных степени t в ${displaystyle U}$ и однородной степени t в ${displaystyle U ^ {*}}$, то если для каждого ${displaystyle fin Hom (U (d), t, t)}$:

${displaystyle {frac {1} {| X |}} sum _ {Uin X} f (U) = int _ {U (d)} f (U) dU}$

тогда X - унитарный t-план.

Далее мы определяем внутренний продукт для функций ${displaystyle f}$ и ${displaystyle g}$ на ${displaystyle U (d)}$ как среднее значение ${displaystyle {ar {f}} g}$ в качестве:

${displaystyle langle f, gangle: = int _ {U (d)} {ar {f (U)}} g (U) dX}$

и ${displaystyle langle f, gangle _ {X}}$ как среднее значение ${displaystyle {ar {f}} g}$ над любым конечным подмножеством ${displaystyle Xsubset U (d)}$.

следует, что X - унитарный t-план тогда и только тогда, когда ${displaystyle langle 1, fangle _ {X} = langle 1, fangle quad forall f}$.

Из сказанного выше видно, что если X - t-план, то ${displaystyle | X | geq dim (Hom (U (d), leftlceil {frac {t} {2}} ightceil, leftlfloor {frac {t} {2}} ightfloor))}$ является абсолютная граница для дизайна. Это накладывает верхнюю границу на размер унитарного проекта. Эта граница абсолютный это означает, что это зависит только от силы конструкции или степени кода, а не от расстояний в подмножестве X.

---

Унитарный код - это конечное подмножество унитарной группы, в которой между элементами встречается несколько значений внутреннего продукта. В частности, унитарный код определяется как конечное подмножество ${displaystyle Xsubset U (d)}$ если для всех ${displaystyle Ueq M}$ в X ${displaystyle | tr (U ^ {*} M) | ^ {2}}$ принимает только различные значения.

Следует, что ${displaystyle | X | leq dim (Hom (U (d), s, s))}$ и если U и M ортогональны: ${displaystyle | X | leq dim (Hom (U (d), s, s-1))}$

Примечания