Сферический дизайн - Spherical design

А сферический дизайн, часть комбинаторный дизайн теория в математика, является конечным набором N указывает на d-размерная единица d-сфера S^d такое, что среднее значение любого многочлена ж степени т или меньше на множестве равно среднему значению ж на всей сфере (то есть интеграл от ж над S^d делится на площадь или мера из S^d). Такой набор часто называют сферический т-дизайн для обозначения стоимости т, который является фундаментальным параметром. Концепция сферического дизайна принадлежит Дельсарту, Геталсу и Зейделу (1977), хотя эти объекты понимались как частные примеры кубатура формулы ранее.

Сферические конструкции могут быть полезны в теория приближения, в статистика за экспериментальная конструкция, в комбинаторика, И в геометрия. Основная проблема - найти примеры, учитывая d и т, которые не слишком большие; однако такие примеры могут оказаться трудными. Сферические Т-образные конструкции также недавно стали применяться в квантовая механика в виде квантовые t-конструкции с различными приложениями для квантовая теория информации и квантовые вычисления.

Наличие сферических конструкций

Существование и структура сферических рисунков на окружности были подробно изучены Хонгом (1982). Вскоре после этого Сеймур и Заславский (1984) доказали, что такие конструкции существуют всех достаточно больших размеров; то есть, учитывая положительные целые числа п и т, есть номер N(d,т) такой, что для каждого N ≥ N(d,т) существует сферическая т-дизайн N точки в измерении d. Однако их доказательство не давало представления о том, насколько велик N(d,т) является.

Мимура конструктивно нашла условия с точки зрения количества точек и размера, которые точно характеризуют существование сферических 2-конструкций. Коллекции максимального размера равносторонние линии (вплоть до идентификации линий как точек противоположностей на сфере) являются примерами сферических 5-конструкций минимального размера. Есть много спорадических маленьких сферических конструкций; многие из них относятся к конечным групповые действия на сфере.

В 2013 г. Бондаренко, Радченко и Вязовская получили асимптотическую оценку сверху${displaystyle N (d, t)$ для всех положительных целых чисел d ит. Это асимптотически соответствует нижней границе, первоначально данной Дельсартом, Гетальсом и Зайделем. Значение C_d в настоящее время неизвестно, а точные значения ${displaystyle N (d, t)}$ известны в относительно небольшом количестве случаев.

Смотрите также

• Проблема Томсона

внешняя ссылка

• Сферические Т-образные конструкции для различных значений N и т можно найти предварительно вычисленным в Сайт Нила Слоана.

Примечания

Рекомендации

• Бондаренко Андрей; Радченко, Данило; Вязовская, Марина (2013), «Оптимальные асимптотические оценки для сферических планов», Анналы математики, Вторая серия, 178 (2): 443–452, arXiv:1009.4407, Дои:10.4007 / летопись.2013.178.2.2, МИСТЕР  3071504.
• Мимура, Йошио (1990), "Конструкция сферической 2-конструкции", Графы и комбинаторика, 6 (4): 369–372, Дои:10.1007 / BF01787704.
• Delsarte, P .; Goethals, J.M .; Зайдель, Дж. Дж. (1977), "Сферические коды и конструкции", Geometriae Dedicata, 6 (3): 363–388, МИСТЕР  0485471. Перепечатано в Зайдель, Дж. Дж. (1991), Геометрия и комбинаторика: Избранные труды Дж. Дж. Зейделя., Бостон, Массачусетс: Academic Press, Inc., ISBN  0-12-189420-7, МИСТЕР  1116326.
• Хун, Имин (1982), "О сферической т-конструкции в р²", Европейский журнал комбинаторики, 3 (3): 255–258, Дои:10.1016 / S0195-6698 (82) 80036-X, МИСТЕР  0679209.
• Сеймур, П. Д.; Заславский, Томас (1984), «Наборы усреднений: обобщение средних значений и сферических планов», Успехи в математике, 52 (3): 213–240, Дои:10.1016/0001-8708(84)90022-7, МИСТЕР  0744857.