Цикл Раби - Википедия - Rabi cycle

Эта статья может быть слишком техническим для большинства читателей, чтобы понять. Пожалуйста помогите улучшить это к сделать понятным для неспециалистов, не снимая технических деталей. (Декабрь 2015 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В физика, то Цикл Раби (или же Раби флоп) - циклическое поведение двухуровневого квантовая система при наличии колебательного движущего поля. Большое разнообразие физических процессов, относящихся к областям квантовые вычисления, конденсированное вещество, атомная и молекулярная физика, а также ядерная и физика элементарных частиц удобно изучать в терминах двухуровневые квантово-механические системы, и демонстрируют флопание Раби при взаимодействии с колеблющимся движущим полем. Эффект важен в квантовая оптика, магнитный резонанс и квантовые вычисления, и назван в честь Исидор Исаак Раби.

Двухуровневая система - это система с двумя возможными уровнями энергии. Эти два уровня представляют собой основное состояние с более низкой энергией и возбужденное состояние с более высокой энергией. Если уровни энергии не вырождены (т.е.не имеют равные энергии), система может поглотить квант энергии и переход из основного состояния в «возбужденное» состояние. Когда атом (или какой-то другой двухуровневая система ) освещается когерентным пучком фотоны, он будет циклически впитывать фотоны и переизлучать их стимулированное излучение. Один из таких циклов называется циклом Раби, а обратная его продолжительность - Частота Раби фотонного пучка. Эффект можно смоделировать с помощью Модель Джейнса – Каммингса и Вектор Блоха формализм.

Математическая обработка

Подробное математическое описание эффекта можно найти на странице Проблема раби. Например, для атома с двумя состояниями (атом, в котором электрон может находиться либо в возбужденном, либо в основном состоянии) в электромагнитном поле с частотой, настроенной на энергию возбуждения, находится вероятность нахождения атома в возбужденном состоянии из уравнений Блоха быть:

${ displaystyle | c_ {b} (t) | ^ {2} propto sin ^ {2} ( omega t / 2)}$,

куда ${ displaystyle omega}$ - частота Раби.

В более общем плане можно рассматривать систему, в которой два рассматриваемых уровня не являются энергетическими. собственные состояния. Следовательно, если система инициализируется на одном из этих уровней, временная эволюция заставит населенность каждого из уровней колебаться с некоторой характеристической частотой, которая угловая частота^[1] также известна как частота Раби. Состояние квантовой системы с двумя состояниями можно представить в виде векторов двумерной комплексное гильбертово пространство, что означает каждый вектор состояния ${ displaystyle vert psi rangle}$ представлен хорошими сложный координаты.

${ displaystyle | psi rangle = { begin {pmatrix} c_ {1} c_ {2} end {pmatrix}} = c_ {1} { begin {pmatrix} 1 0 end {pmatrix} }} + c_ {2} { begin {pmatrix} 0 1 end {pmatrix}};}$ куда ${ displaystyle c_ {1}}$ и ${ displaystyle c_ {2}}$ - координаты.^[2]

Если векторы нормализованы, ${ displaystyle c_ {1}}$ и ${ displaystyle c_ {2}}$ связаны ${ Displaystyle {| c_ {1} |} ^ {2} + {| c_ {2} |} ^ {2} = 1}$. Базисные векторы будут представлены как ${ displaystyle | 0 rangle = { begin {pmatrix} 1 0 end {pmatrix}}}$ и ${ displaystyle | 1 rangle = { begin {pmatrix} 0 1 end {pmatrix}}}$

Все наблюдаемые физические величины с этой системой связаны 2 ${ displaystyle times}$ 2 Эрмитовы матрицы, что означает Гамильтониан системы также является аналогичной матрицей.

Как подготовить колебательный эксперимент в квантовая система

Можно построить колебание поэкспериментируйте, выполнив следующие шаги:^[3]

1. Подготовить систему в фиксированном состоянии; Например, ${ displaystyle | 1 rangle}$
2. Пусть государство развивается свободно, под Гамильтониан ЧАС На время т
3. Найти вероятность P (t), что состояние находится в ${ displaystyle | 1 rangle}$

Если ${ displaystyle | 1 rangle}$ является собственным состоянием H, P (t) = 1, и колебаний не будет. Также, если два государства ${ displaystyle | 0 rangle}$ и ${ displaystyle | 1 rangle}$ являются вырожденными, каждое состояние, включая ${ displaystyle | 1 rangle}$ является собственным состоянием H. В результате колебаний не будет.

С другой стороны, если H не имеет вырожденных собственных состояний и начальное состояние не является собственным состоянием, тогда будут колебания. Дается наиболее общий вид гамильтониана системы с двумя состояниями.

${ displaystyle mathbf {H} = { begin {pmatrix} a_ {0} + a_ {3} & a_ {1} -ia_ {2} a_ {1} + ia_ {2} & a_ {0} -a_ {3} end {pmatrix}}}$

здесь, ${ displaystyle a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}}$ и ${ displaystyle a_ {3}}$ настоящие числа. Эта матрица может быть разложена как,

${ displaystyle mathbf {H} = a_ {0} cdot sigma _ {0} + a_ {1} cdot sigma _ {1} + a_ {2} cdot sigma _ {2} + a_ { 3} cdot sigma _ {3};}$

Матрица ${ displaystyle sigma _ {0}}$ это 2 ${ displaystyle times}$ 2 единичная матрица и матрицы ${ Displaystyle сигма _ {к} ; (к = 1,2,3)}$ являются Матрицы Паули. Эта декомпозиция упрощает анализ системы, особенно в случае не зависящего от времени, когда значения ${ displaystyle a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}}$и ${ displaystyle a_ {3}}$являются константами. Рассмотрим случай спин-1/2 частица в магнитном поле ${ displaystyle mathbf {B} = B mathbf { hat {z}}}$. Гамильтониан взаимодействия для этой системы равен

${ displaystyle mathbf {H} = - { boldsymbol { mu}} cdot mathbf {B} = - gamma mathbf {S} cdot mathbf {B} = - gamma B S_ { z}}$, ${ displaystyle S_ {z} = { frac { hbar} {2}} , sigma _ {3} = { frac { hbar} {2}} { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & - 1 end {pmatrix}}}$,

куда ${ displaystyle mu}$ величина частицы магнитный момент, ${ displaystyle gamma}$ это Гиромагнитное соотношение и ${ displaystyle { boldsymbol { sigma}}}$ вектор Матрицы Паули. Здесь собственные состояния гамильтониана являются собственными состояниями ${ displaystyle sigma _ {3}}$, то есть ${ displaystyle | 0 rangle}$ и ${ displaystyle | 1 rangle}$, с соответствующими собственными значениями ${ displaystyle E _ {+} = { frac { hbar} {2}} gamma B , E _ {-} = - { frac { hbar} {2}} gamma B}$. Вероятность того, что система в состоянии ${ displaystyle | psi rangle}$ можно найти в произвольном состоянии ${ displaystyle | phi rangle}$ дан кем-то ${ Displaystyle {| langle phi | psi rangle |} ^ {2}}$.

Пусть система будет подготовлена ​​в состоянии ${ displaystyle left | + X right rangle}$ вовремя ${ displaystyle t = 0}$. Обратите внимание, что ${ displaystyle left | + X right rangle}$ является собственным состоянием ${ displaystyle sigma _ {1}}$:

${ displaystyle | psi (0) rangle = { frac {1} { sqrt {2}}} { begin {pmatrix} 1 1 end {pmatrix}} = { frac {1} { sqrt {2}}} { begin {pmatrix} 1 0 end {pmatrix}} + { frac {1} { sqrt {2}}} { begin {pmatrix} 0 1 end {pmatrix}}}$.

Здесь гамильтониан не зависит от времени. Таким образом, решая стационарное уравнение Шредингера, состояние после времени t определяется выражением ${ displaystyle left | psi (t) right rangle = exp left [{ frac {-i mathbf {H} t} { hbar}} right] left | psi (0) right rangle = { begin {pmatrix} exp left [{ tfrac {-iE _ {+} t} { hbar}} right] & 0 0 & exp left [{ tfrac {-iE_ {-} t} { hbar}} right] end {pmatrix}} | psi (0) rangle}$, с полной энергией системы ${ displaystyle E}$. Таким образом, состояние после времени t определяется выражением:

${ displaystyle | psi (t) rangle = e ^ { frac {-iE _ {+} t} { hbar}} { frac {1} { sqrt {2}}} | 0 rangle + e ^ { frac {-iE _ {-} t} { hbar}} { frac {1} { sqrt {2}}} | 1 rangle}$.

Теперь предположим, что вращение измеряется в направлении x в момент времени t. Вероятность обнаружения раскрутки определяется по формуле:

куда ${ displaystyle omega}$ это характеристика угловая частота данный ${ displaystyle omega = { frac {E _ {+} - E _ {-}} { hbar}} = gamma B}$, где предполагалось, что ${ Displaystyle E _ {-} leq E _ {+}}$.^[4] Таким образом, в этом случае вероятность найти раскрутку в направлении x колеблется во времени. ${ displaystyle t}$ когда спин системы изначально находится в ${ displaystyle left | + X right rangle}$ направление. Аналогично, если мы измеряем спин в ${ displaystyle left | + Z right rangle}$-направление, вероятность измерения спина как ${ displaystyle { tfrac { hbar} {2}}}$ системы ${ displaystyle { tfrac {1} {2}}}$. В вырожденном случае, когда ${ displaystyle E _ {+} = E _ {-}}$, характерная частота равна 0 и колебания отсутствуют.

Обратите внимание, что если система находится в собственном состоянии данного Гамильтониан, система остается в этом состоянии.

Это верно даже для гамильтонианов, зависящих от времени. Взяв, например, ${ textstyle { hat {H}} = - gamma S_ {z} B sin ( omega t)}$; если начальное состояние вращения системы ${ displaystyle left | + Y right rangle}$, то вероятность того, что измерение спина в направлении y приведет к ${ displaystyle + { tfrac { hbar} {2}}}$ вовремя ${ displaystyle t}$ является ${ textstyle { left | left langle , + Y | psi (t) right rangle right |} ^ {2} , = cos ^ {2} left ({ frac { гамма B} {2 omega}} cos left ({ omega t} right) right)}$.^[5]

Пример колебания Раби между двумя состояниями в ионизированной молекуле водорода.

Ионизированная молекула водорода состоит из двух протонов. ${ displaystyle P_ {1}}$ и ${ displaystyle P_ {2}}$ и один электрон. Два протона из-за их больших масс можно считать фиксированными. Назовем R расстоянием между ними и ${ displaystyle | 1 rangle}$ и ${ displaystyle | 2 rangle}$ состояния, в которых электрон локализован вокруг ${ displaystyle P_ {1}}$или же${ displaystyle P_ {2}}$. Предположим, что в определенный момент электрон локализован около протона. ${ displaystyle P_ {1}}$. Согласно результатам предыдущего раздела мы знаем, что он будет колебаться между двумя протонами с частотой, равной частоте Бора, связанной с двумя стационарными состояниями. ${ displaystyle | E _ {+} rangle}$ и ${ displaystyle | E _ {-} rangle}$ молекулы. Это колебание электрона между двумя состояниями соответствует колебанию любого значения электрического дипольного момента молекулы. Таким образом, когда молекула не находится в стационарном состоянии, может возникнуть осциллирующий электрический дипольный момент. Такой колебательный дипольный момент может обмениваться энергией с электромагнитной волной той же частоты. Следовательно, эта частота должна присутствовать в спектре поглощения и излучения ионизированной молекулы водорода.

Вывод формулы Раби в непертурбативной процедуре с помощью матриц Паули

Рассмотрим гамильтониан вида

Собственные значения этой матрицы имеют вид

${ displaystyle lambda _ {+} = E _ {+} = E_ {0} + { sqrt {{ Delta} ^ {2} + {W_ {1}} ^ {2} + {W_ {2}} ^ {2}}} = E_ {0} + { sqrt {{ Delta} ^ {2} + { left vert W right vert} ^ {2}}}}$ и

${ displaystyle lambda _ {-} = E _ {-} = E_ {0} - { sqrt {{ Delta} ^ {2} + {W_ {1}} ^ {2} + {W_ {2}} ^ {2}}} = E_ {0} - { sqrt {{ Delta} ^ {2} + { left vert W right vert} ^ {2}}}}$,

куда ${ Displaystyle mathbf {W} = W_ {1} + imath W_ {2}}$ и ${ displaystyle { left vert W right vert} ^ {2} = {W_ {1}} ^ {2} + {W_ {2}} ^ {2} = WW ^ {*}}$, так что мы можем взять ${ Displaystyle mathbf {W} = { left vert W right vert} е ^ { imath phi}}$.

Теперь собственные векторы для ${ displaystyle E _ {+}}$ можно найти из уравнения

${ displaystyle { begin {pmatrix} E_ {0} + Delta & W_ {1} -iW_ {2} W_ {1} + iW_ {2} & E_ {0} - Delta end {pmatrix}} { begin {pmatrix} a b end {pmatrix}} = E _ {+} { begin {pmatrix} a b end {pmatrix}}}$.

Так

${ displaystyle b = - { frac {a left (E_ {0} + Delta -E _ {+} right)} {W_ {1} -iW_ {2}}}}$.

Применяя условие нормировки к собственным векторам, ${ displaystyle { left vert a right vert} ^ {2} + { left vert b right vert} ^ {2} = 1}$. Так

${ displaystyle { left vert a right vert} ^ {2} + { left vert a right vert} ^ {2} left ({ frac { Delta} { left vert W right vert}} - { frac { sqrt {{ Delta} ^ {2} + { left vert W right vert} ^ {2}}} { left vert W right vert }} right) ^ {2} = 1}$.

Позволять ${ displaystyle sin theta = { frac { left vert W right vert} { sqrt {{ Delta} ^ {2} + { left vert W right vert} ^ {2} }}}}$ и ${ displaystyle cos theta = { frac { Delta} { sqrt {{ Delta} ^ {2} + { left vert W right vert} ^ {2}}}}}$. Так ${ displaystyle tan theta = { frac { left vert W right vert} { Delta}}}$.

Итак, мы получаем ${ displaystyle { left vert a right vert} ^ {2} + { left vert a right vert} ^ {2} { frac {({1- cos theta}) ^ { 2}} { sin ^ {2} theta}} = 1}$. То есть ${ displaystyle { left vert a right vert} ^ {2} = cos ^ {2} left ({ tfrac { theta} {2}} right)}$. Взяв произвольный фазовый угол ${ displaystyle phi}$, мы можем написать ${ Displaystyle а = ехр ( imath phi / 2) соз влево ({ tfrac { theta} {2}} right)}$. по аналогии ${ displaystyle b = exp (- imath phi / 2) sin left ({ tfrac { theta} {2}} right)}$.

Итак, собственный вектор для собственного значения ${ displaystyle E _ {+}}$ дан кем-то

${ displaystyle left | E _ {+} right rangle = { begin {pmatrix} cos left ( theta / 2 right) e ^ { imath phi} sin left ( theta / 2 right) end {pmatrix}}}$.

Поскольку общая фаза несущественна, мы можем написать

${ displaystyle left | E _ {+} right rangle = { begin {pmatrix} cos left ({ tfrac { theta} {2}} right) e ^ { imath phi} sin left ({ tfrac { theta} {2}} right) end {pmatrix}} = cos left ({ tfrac { theta} {2}} right) left | 0 right rangle + e ^ { imath phi} sin left ({ tfrac { theta} {2}} right) left | 1 right rangle}$.

Аналогично, собственный вектор для собственной энергии

${ displaystyle E _ {-}}$ является ${ displaystyle left | E _ {-} right rangle = cos left ({ tfrac { theta} {2}} right) left | 0 right rangle -e ^ { imath phi } sin left ({ tfrac { theta} {2}} right) left | 1 right rangle}$.

Из этих двух уравнений мы можем написать

${ displaystyle left | 0 right rangle = cos left ({ tfrac { theta} {2}} right) left | E _ {+} right rangle + sin left ({ tfrac { theta} {2}} right) left | E _ {-} right rangle}$ и ${ Displaystyle left | 1 right rangle = e ^ {- imath phi} cos left ({ tfrac { theta} {2}} right) left | E _ {+} right rangle -e ^ {- imath phi} sin left ({ tfrac { theta} {2}} right) left | E _ {-} right rangle}$.

Предположим, система запускается в состоянии ${ displaystyle | 0 rangle}$ вовремя ${ textstyle t = 0}$; то есть,

${ displaystyle left | psi left (0 right) right rangle = left | 0 right rangle = cos left ({ tfrac { theta} {2}} right) left | E _ {+} right rangle + sin left ({ tfrac { theta} {2}} right) left | E _ {-} right rangle}$.

По истечении времени т, государство развивается как

${ displaystyle left | psi left (t right) right rangle = e ^ { frac {-i { hat {H}} t} { hbar}} left | psi left ( 0 right) right rangle = cos left ({ tfrac { theta} {2}} right) e ^ { frac {-iE _ {+} t} { hbar}} left | E_ {+} right rangle + sin left ({ tfrac { theta} {2}} right) e ^ { frac {-iE _ {-} t} { hbar}} left | E_ { -} right rangle}$.

Если система находится в одном из собственных состояний ${ displaystyle | E _ {+} rangle}$ или же ${ displaystyle | E _ {-} rangle}$, он останется в том же состоянии. Однако для общего начального состояния, как показано выше, эволюция во времени нетривиальна.

Амплитуда вероятности нахождения системы в момент времени t в состоянии ${ displaystyle | 1 rangle}$ дан кем-то ${ textstyle left langle 1 | psi (t) right rangle = e ^ { imath phi} sin left ({ tfrac { theta} {2}} right) cos left ({ tfrac { theta} {2}} right) left (e ^ { frac {- imath E _ {+} t} { hbar}} - e ^ { frac {- imath E_) {-} t} { hbar}} right)}$.

Теперь вероятность того, что система в состоянии ${ Displaystyle | psi (т) rangle}$ окажется в произвольном состоянии

${ displaystyle | 1 rangle}$ дан кем-то

$${ displaystyle { begin {align} P_ {0 to 1} (t) & = {| langle 1 | psi (t) rangle |} ^ {2} & = e ^ {- imath phi} sin left ({ frac { theta} {2}} right) cos left ({ frac { theta} {2}} right) left (e ^ { frac {+ imath E _ {+} t} { hbar}} - e ^ { frac {+ imath E _ {-} t} { hbar}} right) e ^ {+ imath phi} sin left ({ frac { theta} {2}} right) cos left ({ frac { theta} {2}} right) left (e ^ { frac {- imath E_ { +} t} { hbar}} - e ^ { frac {- imath E _ {-} t} { hbar}} right) & = { frac { sin ^ {2} { theta }} {4}} left (2-2 cos left ({ frac { left (E _ {+} - E _ {-} right) t} { hbar}} right) right) конец {выровнен}}}$$

Это можно упростить до

.........(1).

Это показывает, что существует конечная вероятность найти систему в состоянии ${ displaystyle | 1 rangle}$ когда система изначально находится в состоянии ${ displaystyle | 0 rangle}$. Вероятность колеблется с угловой частотой ${ displaystyle omega = { frac {E _ {+} - E _ {-}} {2 hbar}} = { frac { sqrt {{ Delta} ^ {2} + { left vert W вправо vert} ^ {2}}} { hbar}}}$, которая представляет собой просто уникальную частоту Бора системы и также называется Частота Раби. Формула (1) известна как Раби формула. Теперь по прошествии времени t вероятность того, что система в состоянии ${ displaystyle | 0 rangle}$ дан кем-то${ Displaystyle {| langle 0 | psi (t) rangle |} ^ {2} = 1- sin ^ {2} ( theta) sin ^ {2} left ({ frac {( E _ {+} - E _ {-}) t} {2 hbar}} right)}$, который также является колебательным.

Эти типы колебаний двухуровневых систем называются колебаниями Раби, которые возникают во многих задачах, таких как Колебания нейтрино, то ионизированная молекула водорода, Квантовые вычисления, Аммиачный мазер и Т. Д.

Осцилляция Раби в квантовых вычислениях

Любую квантовую систему с двумя состояниями можно использовать для моделирования кубит. Рассмотрим вращение -${ displaystyle { tfrac {1} {2}}}$ система с магнитным моментом ${ displaystyle { boldsymbol { mu}}}$ помещенный в классическое магнитное поле ${ displaystyle { boldsymbol {B}} = B_ {0} { hat {z}} + B_ {1} left ( cos {( omega t)} { hat {x}} - грех {( ​​omega t)} { hat {y}} right)}$. Позволять ${ displaystyle gamma}$ быть гиромагнитное отношение для системы. Таким образом, магнитный момент ${ displaystyle { boldsymbol { mu}} = { frac { hbar} {2}} gamma { boldsymbol { sigma}}}$. Гамильтониан этой системы тогда определяется выражением ${ displaystyle mathbf {H} = - { boldsymbol { mu}} cdot mathbf {B} = - { frac { hbar} {2}} omega _ {0} sigma _ {z} - { frac { hbar} {2}} omega _ {1} ( sigma _ {x} cos omega t- sigma _ {y} sin omega t)}$ куда ${ displaystyle omega _ {0} = gamma B_ {0}}$ и ${ displaystyle omega _ {1} = gamma B_ {1}}$. Можно найти собственные значения и собственные векторы этого гамильтониана описанной выше процедурой. Теперь пусть кубит находится в состоянии ${ displaystyle | 0 rangle}$ вовремя ${ displaystyle t = 0}$. Затем, в свое время ${ displaystyle t}$, вероятность его нахождения в состоянии ${ displaystyle | 1 rangle}$ дан кем-то ${ displaystyle P_ {0 to 1} (t) = left ({ frac { omega _ {1}} { Omega}} right) ^ {2} sin ^ {2} left ({ frac { Omega t} {2}} right)}$ куда ${ displaystyle Omega = { sqrt {( omega - omega _ {0}) ^ {2} + omega _ {1} ^ {2}}}}$. Это явление называется колебанием Раби. Таким образом, кубит колеблется между ${ displaystyle | 0 rangle}$ и ${ displaystyle | 1 rangle}$ состояния. Максимальная амплитуда колебаний достигается при ${ displaystyle omega = omega _ {0}}$, что является условием резонанс. В резонансе вероятность перехода определяется выражением ${ displaystyle P_ {0 to 1} (t) = sin ^ {2} left ({ frac { omega _ {1} t} {2}} right)}$. Уйти из штата ${ displaystyle | 0 rangle}$ заявить ${ displaystyle | 1 rangle}$ достаточно настроить время ${ displaystyle t}$ во время которого вращающееся поле действует так, что ${ displaystyle { frac { omega _ {1} t} {2}} = { frac { pi} {2}}}$ или же ${ displaystyle t = { frac { pi} { omega _ {1}}}}$. Это называется ${ displaystyle pi}$ пульс. Если промежуточное время между 0 и ${ displaystyle { frac { pi} { omega _ {1}}}}$ выбирается, получаем суперпозицию ${ displaystyle | 0 rangle}$ и ${ displaystyle | 1 rangle}$. В частности для ${ displaystyle t = { frac { pi} {2 omega _ {1}}}}$, у нас есть ${ displaystyle { frac { pi} {2}}}$ импульс, который действует как: ${ displaystyle | 0 rangle to { frac {| 0 rangle + i | 1 rangle} { sqrt {2}}}}$. Эта операция имеет решающее значение в квантовых вычислениях. Уравнения по существу идентичны в случае двухуровневого атома в поле лазера, когда используется обычно хорошо удовлетворяемое приближение вращающейся волны. потом ${ displaystyle hbar omega _ {0}}$ представляет собой разность энергий между двумя атомными уровнями, ${ displaystyle omega}$ - частота лазерной волны и Частота Раби ${ displaystyle omega _ {1}}$ пропорциональна произведению электрического дипольного момента перехода атома ${ displaystyle { vec {d}}}$ и электрическое поле ${ displaystyle { vec {E}}}$ лазерной волны, которая ${ displaystyle omega _ {1} propto hbar { vec {d}} cdot { vec {E}}}$. Таким образом, колебания Раби - это основной процесс, используемый для манипулирования кубитами. Эти колебания достигаются путем воздействия на кубиты периодических электрических или магнитных полей в течение подходящих временных интервалов.^[6]

Смотрите также

• Атомная когерентность
• Сфера Блоха
• Лазерная накачка
• Оптическая накачка
• Проблема раби
• Вакуумные колебания Раби
• Колебания нейтральной частицы

Рекомендации

• Квантовая механика Том 1 К. Коэн-Таннуджи, Бернарда Диу, Фрэнка Лало, ISBN  9780471164333
• Краткое введение в квантовую информацию и квантовые вычисления Мишель Ле Беллак, ISBN  978-0521860567
• Лекции Фейнмана по физике Том 3 Ричарда П. Фейнмана и Р. Б. Лейтона, ISBN  978-8185015842
• Современный подход к квантовой механике Джона С. Таунсенда, ISBN  9788130913148

внешняя ссылка

• Java-апплет, который визуализирует циклы Раби систем с двумя состояниями (управляемыми лазером)
• расширенная версия апплета. Включает электрон-фононное взаимодействие