W-коэффициент Рака - Racah W-coefficient

W-коэффициенты Рака были представлены Джулио Рака в 1942 г.[1] Эти коэффициенты имеют чисто математическое определение. В физике они используются в расчетах с участием квантово-механический описание угловой момент, например в атомная теория.

Коэффициенты появляются, когда в задаче есть три источника углового момента. Например, рассмотрим атом с одним электроном в орбитальный и один электрон в p орбитальный. Каждый электрон имеет спин электрона угловой момент и, кроме того, p-орбиталь имеет орбитальный угловой момент (s-орбиталь имеет нулевой орбитальный угловой момент). Атом можно описать как LS сцеплением или jj сцепление, как описано в статье о связь по угловому моменту. Преобразование между волновыми функциями, которые соответствуют этим двум связям, включает W-коэффициент Рака.

Помимо фазового множителя, W-коэффициенты Рака равны Вигнера. 6-j символы, поэтому любое уравнение, включающее W-коэффициенты Рака, можно переписать, используя 6-j символы. Это часто бывает выгодно, потому что свойства симметрии 6-j символы легче запомнить.

Угловые моменты в коэффициентах Рака W. Верхняя часть представляет собой проекцию на 2d плоскость в виде четырехугольника, нижняя часть представляет собой трехмерное четырехгранное расположение.

Коэффициенты Рака связаны с коэффициентами пересчета соотношением

Коэффициенты повторной связи являются элементами унитарное преобразование и их определение дается в следующем разделе. Коэффициенты Рака обладают более удобными свойствами симметрии, чем коэффициенты пересчета (но менее удобны, чем 6-j символы).[2]

Коэффициенты пересчета

Связь двух угловых моментов и является построением одновременных собственных функций и , куда , как описано в статье о Коэффициенты Клебша – Гордана. Результат

куда и .

Связь трех угловых моментов , , и , может быть выполнено первым соединением и к и следующее сцепление и к полному угловому моменту :

В качестве альтернативы можно сначала пара и к и следующая пара и к :

Обе схемы связи приводят к полному ортонормированному базису для пространственное пространство, охватываемое

Следовательно, две базы полного углового момента связаны унитарным преобразованием. Матричные элементы этого унитарного преобразования задаются скалярное произведение и известны как коэффициенты пересчета. Коэффициенты не зависят от и поэтому у нас есть

Независимость легко следует, записав это уравнение для и применяя оператор опускания к обеим сторонам уравнения.

Алгебра

Позволять

- обычный треугольный множитель, то коэффициент Рака является произведением четырех из них на сумму факториалов,

куда

и

Сумма более конечна в диапазоне[3]

Связь с 6-j символом Вигнера

W-коэффициенты Рака связаны с Вигнером. 6-j символы, которые обладают еще более удобными свойствами симметрии

Ср.[4] или же

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Раках, Г. (1942). «Теория комплексных спектров II». Физический обзор. 62 (9–10): 438–462. Bibcode:1942ПхРв ... 62..438Р. Дои:10.1103 / PhysRev.62.438.
  2. ^ Роуз, М. Э. (1957). Элементарная теория углового момента (Дувр).
  3. ^ Коуэн, Р. Д. (1981). Теория атомной структуры и спектров (Univ of California Press), стр. 148.
  4. ^ Бринк, Д. М. и Сатчлер, Г. Р. (1968). Угловой момент (Издательство Оксфордского университета) 3 изд., с. 142. онлайн

дальнейшее чтение

внешняя ссылка