Радикал целого числа - Radical of an integer

В теория чисел, то радикальный из положительный целое число п определяется как продукт различных простые числа разделение п. Каждый простой фактор п встречается ровно один раз как фактор этого продукта:

${ displaystyle displaystyle mathrm {rad} (n) = prod _ { scriptstyle p mid n atop p { text {prime}}} p}$

Радикал играет центральную роль в утверждении гипотеза abc.^[1]

Примеры

Радикальные числа для первых нескольких натуральных чисел:

1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 3, 10, 11, 6, 13, 14, 15, 2, 17, 6, 19, 10, 21, 22, 23, 6, 5, 26, 3, 14, 29, 30, 31, 2, 33, 34, 35, 6, 37, 38, 39, 10, 41, 42, 43, 22, 15, 46, 47, 6, 7, 10, ... (последовательность A007947 в OEIS ).

Например,

${ Displaystyle 504 = 2 ^ {3} cdot 3 ^ {2} cdot 7}$

и поэтому

${ Displaystyle OperatorName {рад} (504) = 2 cdot 3 cdot 7 = 42}$

Свойства

Функция ${ Displaystyle mathrm {рад}}$ является мультипликативный (но нет полностью мультипликативный ).

Радикал любого целого числа п самый большой без квадратов делитель п и поэтому также описывается как бесквадратное ядро изп.^[2] Не существует известного алгоритма с полиномиальным временем для вычисления бесквадратной части целого числа.^[3]

Определение обобщается до наибольшего т-свободный делитель п, ${ Displaystyle mathrm {рад} _ {т}}$, которые являются мультипликативными функциями, которые действуют на простые степени как

${ displaystyle mathrm {rad} _ {t} (p ^ {e}) = p ^ { mathrm {min} (e, t-1)}}$

Случаи т= 3 и т= 4 приведены в таблице OEIS: A007948 и OEIS: A058035.

Понятие радикала встречается в гипотеза abc, который утверждает, что для любого ε > 0 существует конечное K_ε такой, что для всех троек совмещать положительные целые числа а, б, иc удовлетворение а + б = c,^[1]

${ Displaystyle с <К _ { varepsilon} , operatorname {rad} (abc) ^ {1+ varepsilon}}$

Для любого целого числа ${ displaystyle n}$, то нильпотентный элементы конечное кольцо ${ Displaystyle mathbb {Z} / п mathbb {Z}}$ все кратны ${ Displaystyle OperatorName {рад} (п)}$.

использованная литература