Группа перестановок ранга 3 - Википедия - Rank 3 permutation group

В математике теория конечных групп, а группа перестановок ранга 3 действует транзитивно на таком множестве, что стабилизатор точки имеет 3 орбиты. Изучение этих групп было начато Хигман (1964, 1971 ). Некоторые из спорадические простые группы были открыты как группы перестановок ранга 3.

Классификация

Все примитивные группы перестановок ранга 3 принадлежат к одному из следующих классов:

Кэмерон (1981) классифицировал те, что ${ displaystyle T times T leq G leq T_ {0} operatorname {wr} Z / 2Z}$ где цоколь Т из Т₀ просто, и Т₀ является 2-транзитивной группой степени √п.
Либек (1987) классифицировал те, у которых есть регулярная элементарная абелева нормальная подгруппа
Баннаи (1971–72) классифицировал те, цоколь которых представляет собой простую переменную группу
Кантор и Либлер (1982) классифицировал те, чей цоколь является простой классической группой
Либек и Саксл (1986) классифицировали те, чей цоколь представляет собой простую исключительную или спорадическую группу.

Примеры

Если грамм любая 4-транзитивная группа, действующая на множестве S, то его действие на пары элементов S группа перестановок ранга 3.^[1] В частности, большинство знакопеременных групп, симметрических групп и Матье группы имеют 4-транзитивные действия, поэтому их можно объединить в группы перестановок ранга 3.

Проективная общая линейная группа, действующая на прямых в проективном пространстве размерности не менее 3, является группой перестановок ранга 3.

Несколько 3-транспозиционные группы группы подстановок ранга 3 (в действии на транспозиции).

Обычно точечный стабилизатор группы перестановок ранга 3, действующий на одной из орбит, является группой перестановок ранга 3. Это дает несколько "цепочек" групп перестановок ранга 3, таких как Цепь Suzuki и цепочка, оканчивающаяся на Группы Фишера.

Некоторые необычные группы перестановок ранга 3 (многие из (Либек и Саксл 1986 )) перечислены ниже.

Для каждой строки в таблице ниже в сетке в столбце, помеченном «размер», число слева от знака равенства представляет собой степень группы перестановок для группы перестановок, упомянутой в строке. В сетке сумма справа от знака равенства показывает длины трех орбит стабилизатора точки группы перестановок. Например, выражение 15 = 1 + 6 + 8 в первой строке таблицы под заголовком означает, что группа перестановок для первой строки имеет степень 15, а длины трех орбит стабилизатора точки перестановки группы составляют 1, 6 и 8 соответственно.

Группа	Стабилизатор точки	размер	Комментарии
А₆ = L₂(9) = Sp₄(2) '= М₁₀'	S₄	15 = 1+6+8	Пары точек или наборы из 3 блоков по 2 в представлении перестановки из 6 точек; два класса
А₉	L₂(8):3	120 = 1+56+63	Проективная прямая P₁(8); два класса
А₁₀	(А₅× А₅):4	126 = 1+25+100	Наборы из 2 блоков по 5 в естественном представлении с 10-точечной перестановкой
L₂(8)	7: 2 = Ди (7)	36 = 1+14+21	Пары точек в P₁(8)
L₃(4)	А₆	56 = 1+10+45	Гиперовали в P₂(4); три класса
L₄(3)	PSp₄(3):2	117 = 1+36+80	Симплектические полярности P₃(3); два класса
грамм₂(2) '= U₃(3)	PSL₃(2)	36 = 1+14+21	Цепь Suzuki
U₃(5)	А₇	50 = 1+7+42	Действие на вершинах Граф Хоффмана-Синглтона; три класса
U₄(3)	L₃(4)	162 = 1+56+105	Два класса
Sp₆(2)	грамм₂(2) = U₃(3):2	120 = 1+56+63	Группа Шевалле типа G₂ действующий на алгебру октонионов над GF (2)
Ω₇(3)	грамм₂(3)	1080 = 1+351+728	Группа Шевалле типа G₂ действует на мнимые октонионы алгебры октонионов над GF (3); два класса
U₆(2)	U₄(3):2₂	1408 = 1+567+840	Стабилизатор точки - это изображение линейного представления, полученного в результате "разрушения" комплексного представления группы Митчелла (комплексной группы отражений) по модулю 2; три класса
M₁₁	M₉:2 = 3²: SD₁₆	55 = 1+18+36	Пары точек в представлении перестановок из 11 точек
M₁₂	M₁₀: 2 = А₆.2² = PΓL (2,9)	66 = 1+20+45	Пары точек или пары дополнительных блоков S (5,6,12) в 12-точечном представлении перестановок; два класса
M₂₂	2⁴: А₆	77 = 1+16+60	Блоки S (3,6,22)
J₂	U₃(3)	100 = 1+36+63	Цепь Suzuki; действие на вершины График Холла-Янко
Группа Хигман-Симс HS	M₂₂	100 = 1+22+77	Действие на вершинах График Хигмана-Симса
M₂₂	А₇	176 = 1+70+105	Два класса
M₂₃	M₂₁: 2 = L₃(4):2₂ = PΣL (3,4)	253 = 1+42+210	Пары точек в представлении 23-точечной перестановки
M₂₃	2⁴: А₇	253 = 1+112+140	Блоки S (4,7,23)
Маклафлин группа McL	U₄(3)	275 = 1+112+162	Действие на вершинах График Маклафлина
M₂₄	M₂₂:2	276 = 1+44+231	Пары точек в представлении перестановок из 24 точек
грамм₂(3)	U₃(3):2	351 = 1+126+244	Два класса
грамм₂(4)	J₂	416 = 1+100+315	Цепь Suzuki
M₂₄	M₁₂:2	1288 = 1+495+792	Пары дополнительных додекад в 24-точечном перестановочном представлении
Группа Suzuki Suz	грамм₂(4)	1782 = 1+416+1365	Цепь Suzuki
грамм₂(4)	U₃(4):2	2016 = 1+975+1040
Co₂	БП₆(2):2	2300 = 1+891+1408
Rudvalis group Ru	²F₄ (2)	4060 = 1+1755+2304
Fi₂₂	2. ПСС₆(2)	3510 = 1+693+2816	3-транспозиции
Fi₂₂	Ω₇(3)	14080 = 1+3159+10920	Два класса
Fi₂₃	2.Fi₂₂	31671 = 1+3510+28160	3-транспозиции
грамм₂(8).3	SU₃(8).6	130816 = 1+32319+98496
Fi₂₃	ПОм₈⁺(3) .S₃	137632 = 1+28431+109200
Fi₂₄ '	Fi₂₃	306936 = 1+31671+275264	3-транспозиции

Примечания

^ Этими тремя орбитами являются: сама неподвижная пара; пары, имеющие один общий элемент с фиксированной парой; и те пары, которые не имеют общих элементов с фиксированной парой.

Рекомендации

Баннаи, Эйити (1971–72), "Максимальные подгруппы низкого ранга конечных симметрических и знакопеременных групп", Журнал факультета естественных наук. Токийский университет. Раздел IA. Математика, 18: 475–486, ISSN 0040-8980, МИСТЕР 0357559
Brouwer, A.E .; Коэн, А. М .; Ноймайер, Арнольд (1989), Дистанционно регулярные графы, Ergebnisse der Mathematik и егорер Гренцгебиете (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)], 18, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-50619-5, МИСТЕР 1002568
Кэмерон, Питер Дж. (1981), "Конечные группы подстановок и конечные простые группы", Бюллетень Лондонского математического общества, 13 (1): 1–22, CiteSeerX 10.1.1.122.1628, Дои:10.1112 / blms / 13.1.1, ISSN 0024-6093, МИСТЕР 0599634
Хигман, Дональд Г. (1964), «Конечные группы подстановок ранга 3» (PDF), Mathematische Zeitschrift, 86 (2): 145–156, Дои:10.1007 / BF01111335, ISSN 0025-5874, МИСТЕР 0186724
Хигман, Дональд Г. (1971), "Обзор некоторых вопросов и результатов о группах перестановок ранга 3", Actes du Congrès International des Mathématiciens (Ницца, 1970), 1, Готье-Виллар, стр. 361–365, МИСТЕР 0427435
Кантор, Уильям М.; Либлер, Роберт А. (1982), «Подстановочные представления ранга 3 конечных классических групп» (PDF), Труды Американского математического общества, 271 (1): 1–71, Дои:10.2307/1998750, ISSN 0002-9947, JSTOR 1998750, МИСТЕР 0648077
Либек, Мартин В. (1987), "Аффинные группы перестановок третьего ранга", Труды Лондонского математического общества, Третья серия, 54 (3): 477–516, CiteSeerX 10.1.1.135.7735, Дои:10.1112 / плмс / с3-54.3.477, ISSN 0024-6115, МИСТЕР 0879395
Либек, Мартин В.; Саксл, Ян (1986), "Конечные примитивные группы перестановок ранга три", Бюллетень Лондонского математического общества, 18 (2): 165–172, Дои:10.1112 / blms / 18.2.165, ISSN 0024-6093, МИСТЕР 0818821

[1] Этими тремя орбитами являются: сама неподвижная пара; пары, имеющие один общий элемент с фиксированной парой; и те пары, которые не имеют общих элементов с фиксированной парой.

[1]