Теорема Ротса об арифметических прогрессиях - Википедия - Roths theorem on arithmetic progressions

Теорема Рота об арифметических прогрессиях это результат аддитивная комбинаторика относительно существования арифметические прогрессии в подмножествах натуральные числа. Впервые это было доказано Клаус Рот в 1953 г.^[1] Теорема Рота - частный случай Теорема Семереди для случая ${ displaystyle k = 3}$.

Заявление

Подмножество А натуральных чисел имеет положительную верхнюю плотность, если

${ displaystyle limsup _ {n to infty} { frac {| A cap {1,2,3, dotsc, n } |} {n}}> 0}$.

Теорема Рота об арифметических прогрессиях (бесконечная версия): Подмножество натуральных чисел с положительной верхней плотностью содержит трехчленную арифметическую прогрессию.

Альтернативная, более качественная формулировка теоремы касается максимального размера Набор Салема – Спенсера который является подмножеством ${ Displaystyle [N] = {1, точки, N }}$. Позволять ${ displaystyle r_ {3} ([N])}$ быть размером самого большого подмножества ${ displaystyle [N]}$ который не содержит трехчленной арифметической прогрессии.

Теорема Рота об арифметических прогрессиях (финальная версия): ${ Displaystyle r_ {3} ([N]) = о (N)}$.

Улучшение верхней и нижней границы ${ displaystyle r_ {3} ([N])}$ все еще остается открытой исследовательской проблемой.

История

Первый результат в этом направлении был Теорема Ван дер Вардена в 1927 г., в котором говорится, что для достаточно большого N раскраска целых чисел ${ Displaystyle 1, точки, п}$ с ${ displaystyle r}$ цвета приведут к ${ displaystyle k}$ термин арифметическая прогрессия.^[2]

Позже, в 1936 году, Эрдеш и Туран предположили гораздо более сильный результат, что любое подмножество целых чисел с положительной плотностью содержит сколь угодно длинные арифметические прогрессии. В 1942 г. Рафаэль Салем и Дональд С. Спенсер при условии построения набора без 3-AP (т.е. набора без трехчленных арифметических прогрессий) размера ${ Displaystyle { гидроразрыва {N} {е ^ {O ( log N / log log N)}}}}$^[3], опровергая дополнительную гипотезу Эрдеша и Турана о том, что ${ Displaystyle r_ {3} ([N]) = N ^ {1- delta}}$ для некоторых ${ displaystyle delta> 0}$.^[4]

В 1953 году Рот частично разрешил первоначальную гипотезу, доказав, что они должны содержать арифметическую прогрессию длины 3, используя аналитические методы Фурье. В конце концов, в 1975 году Семереди доказал, что Теорема Семереди используя комбинаторные техники, полностью разрешив исходную гипотезу.

Методы доказательства

Первоначальное доказательство, данное Ротом, использовало аналитические методы Фурье. Позже было дано другое доказательство с использованием Лемма Семереди о регулярности.

Схема доказательства с помощью анализа Фурье

В 1953 году Рот использовал Анализ Фурье доказать верхнюю границу ${ displaystyle r_ {3} ([N]) = O left ({ frac {N} { log log N}} right)}$. Ниже приводится набросок этого доказательства.

Определить преобразование Фурье функции ${ displaystyle f: mathbb {Z} rightarrow mathbb {C}}$ быть функцией ${ displaystyle { widehat {f}}}$ удовлетворение

${ displaystyle { widehat {f}} ( theta) = sum _ {x in mathbb {Z}} f (x) e (-x theta)}$,

куда ${ Displaystyle е (т) = е ^ {2 пи это}}$.

Позволять ${ displaystyle A}$ быть подмножеством 3-AP-free ${ Displaystyle {1, точки, N }}$. Доказательство состоит из 3 шагов.

1. Покажи, что ${ displaystyle A}$ допускает большой коэффициент Фурье.
2. Вывести, что существует подпрогрессия ${ Displaystyle {1, точки, N }}$ такой, что ${ displaystyle A}$ имеет приращение плотности, когда оно ограничено этой подпрограммой.
3. Повторите шаг 2, чтобы получить верхнюю границу ${ displaystyle | A |}$.

Шаг 1

Для функций ${ displaystyle f, g, h: mathbb {Z} rightarrow mathbb {C},}$ определять

${ Displaystyle Lambda (е, г, ч) = сумма _ {х, у в mathbb {Z}} е (х) г (х + у) ч (х + 2у)}$

Считающая лемма Позволять ${ displaystyle f, g: mathbb {Z} rightarrow mathbb {C}}$ удовлетворить ${ displaystyle sum _ {n in mathbb {Z}} | f (n) | ^ {2}, sum _ {n in mathbb {Z}} | g (n) | ^ {2} leq M}$. Определять ${ Displaystyle Lambda _ {3} (е) = Лямбда (е, е, е)}$. потом ${ displaystyle | Lambda _ {3} (f) - Lambda _ {3} (g) | leq 3M | { widehat {f-g}} | _ { infty}}$.

Счетная лемма говорит нам, что если преобразования Фурье ${ displaystyle f}$ и ${ displaystyle g}$ являются «близкими», то количество трехчленных арифметических прогрессий между ними также должно быть «близким». Позволять ${ Displaystyle альфа = | A | / N}$ быть плотностью ${ displaystyle A}$. Определите функции ${ displaystyle f = mathbf {1} _ {A}}$ (т.е. индикаторная функция ${ displaystyle A}$), и ${ Displaystyle г = альфа cdot mathbf {1} _ {[N]}}$. Шаг 1 можно вывести, применив лемму о подсчете к ${ displaystyle f}$ и ${ displaystyle g}$, что говорит нам о существовании некоторых ${ displaystyle theta}$ такой, что

${ displaystyle left | sum _ {n = 1} ^ {N} (1_ {A} - alpha) (n) e ( theta n) right | geq { frac { alpha ^ {2 }} {10}} N}$.

Шаг 2

Учитывая ${ displaystyle theta}$ с шага 1 мы сначала показываем, что можно разделить ${ displaystyle [N]}$ на относительно большие подпроцессы, так что персонаж ${ Displaystyle х mapsto е (х тета)}$ примерно постоянна на каждой подпрограмме.

Лемма 1. Позволять ${ displaystyle 0 < eta <1, theta in mathbb {R}}$. Предположить, что ${ displaystyle N> C eta ^ {- 6}}$ для универсальной постоянной ${ displaystyle C}$. Тогда можно разделить ${ displaystyle [N]}$ в арифметические прогрессии ${ displaystyle P_ {i}}$ с длиной ${ Displaystyle N ^ {1/3} leq | P_ {i} | leq 2N ^ {1/3}}$ такой, что ${ displaystyle sup _ {x, y in P_ {i}} | e (x theta) -e (y theta) | < eta}$ для всех ${ displaystyle i}$.

Далее применим лемму 1, чтобы получить разбиение на подпроцессы. Затем мы используем тот факт, что ${ displaystyle theta}$ произвел большой коэффициент на шаге 1, чтобы показать, что одна из этих подпроцессов должна иметь приращение плотности:

Лемма 2. Позволять ${ displaystyle A}$ быть подмножеством 3-AP-свободных ${ displaystyle [N]}$, с ${ Displaystyle | A | = альфа N}$ и ${ displaystyle N> C alpha ^ {- 12}}$. Тогда существует подпрогрессия ${ Displaystyle P подмножество [N]}$ такой, что ${ displaystyle | P | geq N ^ {1/3}}$ и ${ displaystyle | A cap P | geq ( alpha + alpha ^ {2} / 40) | P |}$.

Шаг 3

Теперь мы повторяем шаг 2. Пусть ${ displaystyle a_ {t}}$ быть плотностью ${ displaystyle A}$ после ${ displaystyle t}$й итерация. У нас есть это ${ Displaystyle альфа _ {0} = альфа,}$ и ${ displaystyle alpha _ {t + 1} geq alpha + alpha ^ {2} / 40.}$ Во-первых, посмотрите, что ${ displaystyle alpha}$ удваивается (т.е. достигает ${ displaystyle T}$ такой, что ${ Displaystyle альфа _ {Т} geq 2 альфа _ {0}}$) не более чем через ${ displaystyle 40 / alpha +1}$ шаги. Мы удваиваем ${ displaystyle alpha}$ снова (т.е. достичь ${ Displaystyle альфа _ {Т} geq 4 альфа _ {0}}$) не более чем через ${ displaystyle 20 / alpha +1}$ шаги. С ${ displaystyle alpha leq 1}$, этот процесс должен завершиться не позднее, чем через ${ Displaystyle О (1 / альфа)}$ шаги.

Позволять ${ displaystyle N_ {t}}$ быть размером нашего текущего прогресса после ${ displaystyle t}$ итераций. По лемме 2 мы всегда можем продолжить процесс, когда ${ displaystyle N_ {t} geq C alpha _ {t} ^ {- 12},}$ и, таким образом, когда процесс завершается, мы имеем ${ displaystyle N_ {t} leq C alpha _ {t} ^ {- 12} leq C alpha ^ {- 12}.}$ Также обратите внимание, что когда мы переходим к подпрограмме, размер нашего набора уменьшается на корень куба. Следовательно

${ Displaystyle N Leq N_ {t} ^ {3 ^ {t}} Leq (C alpha ^ {- 12}) ^ {3 ^ {O (1 / alpha)}} = e ^ {e ^ {O (1 / alpha)}}.}$

Следовательно ${ Displaystyle альфа = О (1 / журнал журнал N),}$ так ${ Displaystyle | A | = О ({ гидроразрыва {N} { log log N}}),}$ по желанию. ${ displaystyle blacksquare}$

К сожалению, этот метод не распространяется непосредственно на более крупные арифметические прогрессии для доказательства теоремы Семереди. Расширение этого доказательства ускользало от математиков в течение десятилетий до 1998 г., когда Тимоти Гауэрс разработал область анализа Фурье высшего порядка специально, чтобы обобщить приведенное выше доказательство для доказательства теоремы Семереди.^[5]

Доказательство скетча через регулярность графа

Ниже приводится схема доказательства с использованием Лемма Семереди о регулярности.

Позволять ${ displaystyle G}$ быть графом и ${ Displaystyle X, Y substeq V (G)}$. Мы называем ${ displaystyle (X, Y)}$ ан ${ displaystyle epsilon}$-регулярная пара, если для всех ${ Displaystyle A подмножество X, B подмножество Y}$ с ${ Displaystyle | A | geq epsilon | X |, | B | geq epsilon | Y |}$, надо ${ displaystyle | d (A, B) -d (X, Y) | leq epsilon}$.

Раздел ${ Displaystyle { mathcal {P}} = {V_ {1}, ldots, V_ {k} }}$ из ${ Displaystyle V (G)}$ является ${ displaystyle epsilon}$-регулярный раздел, если

${ displaystyle sum _ {(i, j) in [k] ^ {2}, (V_ {i}, V_ {j}) { text {not}} epsilon { text {-regular}} } | V_ {i} || V_ {j} | leq epsilon | V (G) | ^ {2}}$.

Тогда лемма Семереди о регулярности утверждает, что для любого ${ displaystyle epsilon> 0}$, существует постоянная ${ displaystyle M}$ такой, что каждый граф имеет ${ displaystyle epsilon}$-регулярное разбиение не более чем на ${ displaystyle M}$ части.

Мы также можем доказать, что треугольники между ${ displaystyle epsilon}$-регулярные наборы вершин должны идти вместе со многими другими треугольниками. Это известно как лемма о подсчете треугольников.

Лемма о подсчете треугольников: Позволять ${ displaystyle G}$ быть графом и ${ displaystyle X, Y, Z}$ - подмножества вершин ${ displaystyle G}$ такой, что ${ Displaystyle (X, Y), (Y, Z), (Z, X)}$ все ${ displaystyle epsilon}$-регулярные пары для некоторых ${ displaystyle epsilon> 0}$. Позволять ${ displaystyle d_ {XY}, d_ {XZ}, d_ {YZ}}$ обозначим плотности краев ${ Displaystyle d (X, Y), d (X, Z), d (Y, Z)}$ соответственно. Если ${ displaystyle d_ {XY}, d_ {XZ}, d_ {YZ} geq 2 epsilon}$, то количество троек ${ Displaystyle (х, у, г) в X раз Y раз Z}$ такой, что ${ displaystyle x, y, z}$ сформировать треугольник в ${ displaystyle G}$ по крайней мере

${ displaystyle (1-2 epsilon) (d_ {XY} - epsilon) (d_ {XZ} - epsilon) (d_ {YZ} - epsilon) cdot | X || Y || Z |}$.

Используя лемму о подсчете треугольников и лемму Семереди о регулярности, мы можем доказать лемму об удалении треугольников, частный случай лемма об удалении графа.^[6]

Лемма об удалении треугольника: Для всех ${ displaystyle epsilon> 0}$, Существует ${ displaystyle delta> 0}$ такой, что любой граф на ${ displaystyle n}$ вершины с меньшим или равным ${ displaystyle delta n ^ {3}}$ треугольники можно сделать без треугольников, удалив не более ${ displaystyle epsilon п ^ {2}}$ края.

Это имеет интересное следствие, относящееся к графам ${ displaystyle G}$ на ${ displaystyle N}$ вершины, где каждое ребро ${ displaystyle G}$ лежит в единственном треугольнике. В частности, все эти графики должны иметь ${ displaystyle o (N ^ {2})}$ края.

Взять набор ${ displaystyle A}$ без трехчленных арифметических прогрессий. Теперь построим трехчастный граф ${ displaystyle G}$ чьи части ${ displaystyle X, Y, Z}$ все копии ${ Displaystyle mathbb {Z} / (2N + 1) mathbb {Z}}$. Соединить вершину ${ displaystyle x in X}$ к вершине ${ displaystyle y in Y}$ если ${ displaystyle y-x in A}$. Аналогично подключаем ${ displaystyle z in Z}$ с ${ displaystyle y in Y}$ если ${ displaystyle z-y in A}$. Наконец, подключите ${ displaystyle x in X}$ с ${ displaystyle z in Z}$ если ${ Displaystyle (г-х) / 2 в А}$.

Эта конструкция устроена так, что если ${ displaystyle x, y, z}$ формируем треугольник, тогда получаем элементы ${ displaystyle y-x, { frac {z-x} {2}}, z-y}$ что все принадлежит ${ displaystyle A}$. Эти числа образуют арифметическую прогрессию в указанном порядке. Предположение о ${ displaystyle A}$ затем сообщает нам, что эта прогрессия должна быть тривиальной: все элементы, перечисленные выше, равны. Но это условие эквивалентно утверждению, что ${ displaystyle x, y, z}$ это арифметическая прогрессия в ${ Displaystyle mathbb {Z} / (2N + 1) mathbb {Z}}$. Следовательно, каждое ребро ${ displaystyle G}$ лежит ровно в одном треугольнике. Желаемый вывод следует. ${ displaystyle blacksquare}$

Расширения и обобщения

Теорема Семереди разрешила исходную гипотезу и обобщила теорему Рота на арифметические прогрессии произвольной длины. С тех пор он был расширен множеством способов для получения новых и интересных результатов.

Фюрстенберг и Кацнельсон^[7] использовал эргодическая теория для доказательства многомерной версии и Лейбмана и Бергельсон^[8] распространил его также на полиномиальные прогрессии. Совсем недавно Зеленый и Дао доказал Теорема Грина-Тао который говорит, что простые числа содержат сколь угодно длинные арифметические прогрессии. Поскольку простые числа являются подмножеством плотности 0, они ввели «относительную» теорему Семереди, которая применяется к подмножествам с плотностью 0, удовлетворяющим определенным условиям псевдослучайности. Позже Конлон, Лиса, и Чжао^[9][10] усилил эту теорему, ослабив необходимое условие псевдослучайности. В 2020 году Блум и Сисаск^[11] доказал, что любой набор ${ displaystyle A}$ такой, что ${ displaystyle sum _ {n in A} { frac {1} {n}}}$ расхождения должны содержать арифметические прогрессии длины 3; это первый нетривиальный случай другого догадка из Erds постулируя, что любой такой набор на самом деле должен содержать сколь угодно длинные арифметические прогрессии.

Улучшение границ

Также была проделана работа по улучшению оценки в теореме Рота. Оценка из первоначального доказательства теоремы Рота показывала, что

${ displaystyle r_ {3} ([N]) leq c cdot { frac {N} { log log N}}}$

для некоторой постоянной ${ displaystyle c}$. С годами Семереди постоянно снижал эту границу.^[12], Хит-Браун^[13], Бургейн^[14][15], и Сандерс^[16][17]. Текущая (июль 2020 г.) лучшая оценка принадлежит Блум и Сисаск.^[11] которые показали существование абсолютной постоянной c> 0 такой, что

${ displaystyle r_ {3} ([N]) leq { frac {N} {( log N) ^ {1 + c}}}.}.$

На другом конце также была проделана работа по построению самого большого множества без трехчленных арифметических прогрессий. Лучшая конструкция не улучшалась с 1946 года, когда Беренд^[18] улучшил первоначальную конструкцию Салема и Спенсера и доказал

${ displaystyle r_ {3} ([N]) geq N exp (-c { sqrt { log N}})}$

так что разрыв между двумя границами все еще довольно велик.

Теорема Рота в конечных полях

В качестве вариации можно рассмотреть аналогичную задачу над конечными полями. Рассмотрим конечное поле ${ displaystyle mathbb {F} _ {3} ^ {n}}$, и разреши ${ displaystyle r_ {3} ( mathbb {F} _ {3} ^ {n})}$ быть размером самого большого подмножества ${ displaystyle mathbb {F} _ {3} ^ {n}}$ который не содержит трехчленной арифметической прогрессии. Эта проблема фактически эквивалентна набор крышек проблема, которая требует наибольшего подмножества ${ displaystyle mathbb {F} _ {3} ^ {n}}$ такие, что никакие 3 точки не лежат на прямой. Задачу установки кепки можно рассматривать как обобщение карточной игры. Набор.

В 1982 году Браун и Бюлер^[19] были первыми, кто показал, что ${ displaystyle r_ {3} ( mathbb {F} _ {3} ^ {n}) = o (3 ^ {n}).}$ В 1995 году Рой Месухлам^[20] использовал технику, аналогичную Фурье-аналитическому доказательству теоремы Рота, чтобы показать, что ${ displaystyle r_ {3} ( mathbb {F} _ {3} ^ {n}) = O left ({ frac {3 ^ {n}} {n}} right).}$ Эта оценка была улучшена до ${ displaystyle O (3 ^ {n} / n ^ {1+ epsilon})}$ в 2012 году Бейтманом и Кацем.^[21]

В 2016 г. Эрни Крут, Всеволод Лев, Петер Пал Пах, Джордан Элленберг и Дион Гийсвейт разработали новую технику, основанную на методе полиномов, чтобы доказать, что ${ displaystyle r_ {3} ( mathbb {F} _ {3} ^ {n}) = O (2,756 ^ {n})}$.^[22][23][24]

Наиболее известная нижняя граница приблизительно равна ${ displaystyle O (2.2 ^ {n})}$, подаренный Иденом в 2004 году.^[25]

Теорема Рота с популярными различиями

Другое обобщение теоремы Рота показывает, что для подмножеств с положительной плотностью не только существует трехчленная арифметическая прогрессия, но и что существует много 3-AP с одинаковыми общими различиями.

Теорема Рота с популярными различиями: Для всех ${ displaystyle epsilon> 0}$, есть некоторые ${ displaystyle n_ {0} = n_ {0} ( epsilon)}$ так что для каждого ${ displaystyle n> n_ {0}}$ и ${ Displaystyle А подмножество mathbb {F} _ {3} ^ {п}}$ с ${ Displaystyle | А | = альфа 3 ^ {п},}$ есть некоторые ${ Displaystyle у neq 0}$ такой, что ${ displaystyle | {x: x, x + y, x + 2y in A } | geq ( alpha ^ {3} - epsilon) 3 ^ {n}.}$

Если ${ displaystyle A}$ выбирается случайным образом из ${ displaystyle mathbb {F} _ {3} ^ {n},}$ тогда мы ожидаем, что будет ${ Displaystyle альфа ^ {3} 3 ^ {п}}$ прогрессии для каждого значения ${ displaystyle y}$. Таким образом, популярная теорема о различиях утверждает, что для каждого ${ displaystyle | A |}$ с положительной плотностью есть некоторые ${ displaystyle y}$ такое, что количество 3-AP с общей разницей ${ displaystyle y}$ близко к тому, что мы ожидали.

Эта теорема была впервые доказана Грином в 2005 г.^[26], который дал оценку ${ displaystyle n_ {0} = { text {tow}} ((1 / epsilon) ^ {O (1)}),}$ куда ${ displaystyle { text {tow}}}$ - функция башни. В 2019 году Фокс и Фам недавно улучшили привязку к ${ displaystyle n_ {0} = { text {tow}} (O ( log { frac {1} { epsilon}})).}$^[27]

Соответствующее утверждение верно и в ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ как для 3-AP, так и для 4-AP^[28]. Однако для 5-AP это утверждение оказалось ложным.^[29]

Рекомендации