Личность Ройса - Википедия - Roys identity

Личность Роя (назван в честь Французский экономист Рене Рой ) является основным результатом микроэкономика имея приложения в потребитель выбор и теория фирмы. В лемма связывает обыкновенный (маршаллианский) функция спроса к производным от косвенная функция полезности. В частности, обозначая косвенную функцию полезности как Маршаллианская функция спроса на товары можно рассчитать как

куда вектор цен товаров и является доход.[1]

Вывод личности Роя

Личность Роя переформулирует Лемма Шепарда чтобы получить Маршаллианская функция спроса на человека и на хорошее () от некоторой косвенной функции полезности.

Первый шаг - рассмотреть тривиальное тождество, полученное подстановкой расходная функция за богатство или же доход в косвенная функция полезности , при использовании :

Это говорит о том, что функция косвенной полезности оценивается таким образом, чтобы минимизировать затраты на достижение определенной полезности при заданном наборе цен (вектор ) равна этой полезности при оценке по этим ценам.

Взяв производную от обеих частей этого уравнения по цене одного товара (при неизменном уровне полезности) дает:

.

Перестановка дает желаемый результат:

с предпоследним равенством, следующим из Лемма Шепарда и последнее равенство из основного свойства Хиксовский спрос.

Альтернативное доказательство с использованием теоремы о конверте

Для простоты изложения рассмотрим случай с двумя товарами. Косвенная функция полезности - функция цены задачи оптимизации с ограничениями, характеризуемая следующим лагранжианом[2]:

Посредством теорема о конверте, производные функции цены по параметрам:

куда является максимизатором (т. е. маршаллианской функцией спроса на товар 1). Следовательно:

Заявление

Это дает метод получения Маршаллианская функция спроса товара для некоторого потребителя из функции косвенной полезности этого потребителя. Это также фундаментально при выводе Уравнение Слуцкого.

Рекомендации

  1. ^ Вариан, Хэл (1992). Микроэкономический анализ (Третье изд.). Нью-Йорк: Нортон. стр.106 –108.
  2. ^ Корнс, Ричард (1992). Двойственность и современная экономика. Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. С. 45–47. ISBN  0-521-33291-5.
  • Рой, Рене (1947). "La Distribution du Revenu Entre Les Divers Biens". Econometrica. 15 (3): 205–225. JSTOR  1905479.