Личность Ройса - Википедия - Roys identity

Личность Роя (назван в честь Французский экономист Рене Рой ) является основным результатом микроэкономика имея приложения в потребитель выбор и теория фирмы. В лемма связывает обыкновенный (маршаллианский) функция спроса к производным от косвенная функция полезности. В частности, обозначая косвенную функцию полезности как ${ displaystyle v (p, w),}$ Маршаллианская функция спроса на товары ${ displaystyle i}$ можно рассчитать как

${ displaystyle x_ {i} ^ {m} = - { frac { frac { partial v} { partial p_ {i}}} { frac { partial v} { partial w}}}}$

куда ${ displaystyle p}$ вектор цен товаров и ${ displaystyle w}$ является доход.^[1]

Вывод личности Роя

Личность Роя переформулирует Лемма Шепарда чтобы получить Маршаллианская функция спроса на человека и на хорошее (${ displaystyle i}$) от некоторой косвенной функции полезности.

Первый шаг - рассмотреть тривиальное тождество, полученное подстановкой расходная функция за богатство или же доход ${ displaystyle w}$ в косвенная функция полезности ${ displaystyle v (p, w)}$, при использовании ${ displaystyle u}$:

${ Displaystyle v (p, e (p, u)) = u}$

Это говорит о том, что функция косвенной полезности оценивается таким образом, чтобы минимизировать затраты на достижение определенной полезности при заданном наборе цен (вектор ${ displaystyle p}$) равна этой полезности при оценке по этим ценам.

Взяв производную от обеих частей этого уравнения по цене одного товара ${ displaystyle p_ {i}}$ (при неизменном уровне полезности) дает:

${ displaystyle { frac { partial v [p, e (p, u)]} { partial w}} { frac { partial e (p, u)} { partial p_ {i}}} + { frac { partial v [p, e (p, u)]} { partial p_ {i}}} = 0}$.

Перестановка дает желаемый результат:

${ displaystyle - { frac { frac { partial v [p, e (p, u)]} { partial p_ {i}}} { frac { partial v [p, e (p, u) ]} { partial w}}} = { frac { partial e (p, u)} { partial p_ {i}}} = h_ {i} (p, u) = x_ {i} (p, e (p, u))}$

с предпоследним равенством, следующим из Лемма Шепарда и последнее равенство из основного свойства Хиксовский спрос.

Альтернативное доказательство с использованием теоремы о конверте

Для простоты изложения рассмотрим случай с двумя товарами. Косвенная функция полезности ${ displaystyle v (p_ {1}, p_ {2}, w)}$ - функция цены задачи оптимизации с ограничениями, характеризуемая следующим лагранжианом^[2]:

${ displaystyle { mathcal {L}} = u (x_ {1}, x_ {2}) + lambda (w-p_ {1} x_ {1} -p_ {2} x_ {2})}$

Посредством теорема о конверте, производные функции цены ${ displaystyle v (p_ {1}, p_ {2}, w)}$ по параметрам:

${ displaystyle { frac { partial v} { partial p_ {1}}} = - lambda x_ {1} ^ {m}}$

${ displaystyle { frac { partial v} { partial w}} = lambda}$

куда ${ displaystyle x_ {1} ^ {m}}$ является максимизатором (т. е. маршаллианской функцией спроса на товар 1). Следовательно:

${ displaystyle - { frac { frac { partial v} { partial p_ {1}}} { frac { partial v} { partial w}}} = - { frac {- lambda x_ { 1} ^ {m}} { lambda}} = x_ {1} ^ {m}}$

Заявление

Это дает метод получения Маршаллианская функция спроса товара для некоторого потребителя из функции косвенной полезности этого потребителя. Это также фундаментально при выводе Уравнение Слуцкого.

Рекомендации

• Рой, Рене (1947). "La Distribution du Revenu Entre Les Divers Biens". Econometrica. 15 (3): 205–225. JSTOR  1905479.