Уравнение Слуцкого - Википедия - Slutsky equation

В Уравнение Слуцкого (или же Слуцкий идентичность) в экономика, названный в честь Евгений Слуцкий, связывает изменения в Маршаллианский (некомпенсированный) спрос к изменениям в Хиксианский (компенсированный) спрос, который известен как таковой, поскольку он компенсирует поддержание фиксированного уровня полезности. Уравнение Слуцкого состоит из двух частей: эффекта замещения и эффекта дохода. В целом эффект замещения отрицательный. Он разработал эту формулу, чтобы изучить реакцию потребителя на изменение цены. Когда цена увеличивается, бюджетный набор перемещается внутрь, что приводит к уменьшению объема спроса. Напротив, когда цена снижается, установленный бюджет перемещается наружу, что приводит к увеличению объема спроса. Уравнение показывает, что изменение спроса на товар, вызванное изменением цены, является результатом двух эффектов:

• а эффект замещения: товар становится относительно дешевле, поэтому потребитель покупает другие товары в качестве заменителей
• ан эффект дохода: покупательная способность потребителя увеличивается в результате снижения цены, поэтому теперь потребитель может позволить себе более качественные продукты или большее количество тех же продуктов, в зависимости от того, является ли сам продукт нормально хорошо или низшее хорошее.

Уравнение Слуцкого разлагает изменение спроса на товары я в ответ на изменение цены товара j:

${ displaystyle { partial x_ {i} ( mathbf {p}, w) over partial p_ {j}} = { partial h_ {i} ( mathbf {p}, u) over partial p_ {j}} - { partial x_ {i} ( mathbf {p}, w) over partial w} x_ {j} ( mathbf {p}, w), ,}$

куда ${ Displaystyle ч ( mathbf {p}, и)}$ - требование Хикса и ${ Displaystyle х ( mathbf {p}, ш)}$ это маршаллианский спрос на векторе уровней цен ${ displaystyle mathbf {p}}$, уровень благосостояния (или, альтернативно, уровень дохода) ${ displaystyle w}$, и фиксированный уровень полезности ${ displaystyle u}$ дается путем максимизации полезности по первоначальной цене и дохода, формально заданного косвенная функция полезности ${ Displaystyle v ( mathbf {p}, ш)}$. Правая часть уравнения равна изменению спроса на товары я фиксированная полезность ты минус количество добра j спрос, помноженный на изменение спроса на товары я когда богатство меняется.

Первый член в правой части представляет эффект замещения, а второй член представляет эффект дохода.^[1] Обратите внимание, что, поскольку полезность не наблюдаема, эффект замещения не наблюдается напрямую, но его можно рассчитать, ссылаясь на два других члена в уравнении Слуцкого, которые наблюдаются. Этот процесс иногда называют разложением Хикса изменения спроса.^[2]

Уравнение можно переписать в терминах эластичность:

${ displaystyle epsilon _ {p, ij} = epsilon _ {p, ij} ^ {h} - epsilon _ {w, i} b_ {j}}$

куда ε_п это (без компенсации) эластичность цены, ε_п^час компенсированная эластичность цены, ε_{ш, я} то эластичность дохода добра я, и б_j доля бюджета хорошо j.

Вывод

Хотя есть несколько способов вывести уравнение Слуцкого, следующий метод, вероятно, самый простой. Начните с обозначения личности ${ displaystyle h_ {i} ( mathbf {p}, u) = x_ {i} ( mathbf {p}, e ( mathbf {p}, u))}$ куда ${ Displaystyle е ( mathbf {p}, u)}$ это расходная функция, и ты это полезность, полученная путем максимизации полезности данной п и ш. Полностью дифференцирующий по п_j дает следующее:

${ displaystyle { frac { partial h_ {i} ( mathbf {p}, u)} { partial p_ {j}}} = { frac { partial x_ {i} ( mathbf {p}, e ( mathbf {p}, u))} { partial p_ {j}}} + { frac { partial x_ {i} ( mathbf {p}, e ( mathbf {p}, u)) } { partial e ( mathbf {p}, u)}} cdot { frac { partial e ( mathbf {p}, u)} { partial p_ {j}}}}$.

Воспользовавшись тем, что ${ displaystyle { frac { partial e ( mathbf {p}, u)} { partial p_ {j}}} = h_ {j} ( mathbf {p}, u)}$ к Лемма Шепарда и что при оптимуме

${ displaystyle h_ {j} ( mathbf {p}, u) = h_ {j} ( mathbf {p}, v ( mathbf {p}, w)) = x_ {j} ( mathbf {p} , w),}$ куда ${ Displaystyle v ( mathbf {p}, ш)}$ это косвенная функция полезности,

можно заменить и переписать приведенный выше вывод как уравнение Слуцкого.

Пример

Функция полезности Кобба-Дугласа (см. Производственная функция Кобба-Дугласа ) с двумя товарами и доходом ${ displaystyle w}$ генерирует маршаллианский спрос на товары 1 и 2 из ${ displaystyle x_ {1} =. 7w / p_ {1}}$ и ${ displaystyle x_ {2} =. 3w / p_ {2}.}$Переставьте уравнение Слуцкого, поместив производную Хикса в левую часть, дает эффект замещения:

${ displaystyle { frac { partial h_ {1}} { partial p_ {1}}} = { frac { partial x_ {1}} { partial p_ {1}}} + { frac { частичный x_ {1}} { partial w_ {1}}} x_ {1} = - { frac {.7w} {p_ {1} ^ {2}}} + { frac {.7} {p_ { 1}}} { frac {.7w} {p_ {1}}} = - { frac {.21w} {p_ {1} ^ {2}}}}$

Возвращение к исходному уравнению Слуцкого показывает, как в сумме эффекты замещения и дохода дают общий эффект роста цен на объем спроса:

${ displaystyle { frac { partial x_ {1}} { partial p_ {1}}} = { frac { partial h_ {1}} { partial p_ {1}}} - { frac { частичный x_ {1}} { partial w}} x_ {1} = - { frac {.21w} {p_ {1} ^ {2}}} - { frac {.49w} {p_ {1} ^ {2}}}}$

Таким образом, из общего снижения ${ displaystyle .7w / p_ {1} ^ {2}}$ в количестве, требуемом, когда ${ displaystyle p_ {1}}$ повышается, 21/70 - от эффекта замещения и 49/70 - от эффекта дохода. Товар 1 - это товар, на который потребитель тратит большую часть своего дохода (${ displaystyle p_ {1} q_ {1} =. 7w}$), поэтому эффект дохода так велик.

Можно проверить, что ответ от уравнения Слуцкого такой же, как от прямого дифференцирования функции спроса Хикса, которая здесь^[3]

${ displaystyle h_ {1} (p_ {1}, p_ {2}, u) =. 7p_ {1} ^ {-. 3} p_ {2} ^ {. 3} u,}$

куда ${ displaystyle u}$ это полезность. Производная

${ displaystyle { frac { partial h_ {1}} { partial p_ {1}}} = -. 21p_ {1} ^ {- 1.3} p_ {2} ^ {. 3} u,}$

поэтому, поскольку косвенная функция полезности Кобба-Дугласа равна ${ displaystyle v = wp_ {1} ^ {-. 7} p_ {2} ^ {-. 3},}$ и ${ displaystyle u = v}$ когда потребитель использует указанные функции спроса, производная:

${ displaystyle { frac { partial h_ {1}} { partial p_ {1}}} = -. 21p_ {1} ^ {- 1.3} p_ {2} ^ {. 3} (wp_ {1} ^ {-.7} p_ {2} ^ {-. 3}) = -. 21wp_ {1} ^ {- 2} p_ {2} ^ {0} = - { frac {.21w} {p_ {1} ^ {2}}},}$

что и есть ответ на уравнение Слуцкого.

Уравнение Слуцкого также можно применить для вычисления эффекта замещения перекрестных цен. Можно было подумать, что здесь было ноль, потому что когда ${ displaystyle p_ {2}}$ возрастает маршаллианское количество потребляемого товара 1, ${ displaystyle x_ {1} (p_ {1}, p_ {2}, w),}$ не затронут (${ displaystyle partial x_ {1} / partial p_ {2} = 0}$), но это неправильно. Снова переформулируя уравнение Слуцкого, эффект замещения перекрестных цен имеет вид:

${ displaystyle { frac { partial h_ {1}} { partial p_ {2}}} = { frac { partial x_ {1}} { partial p_ {2}}} + { frac { частичный x_ {1}} { partial w}} x_ {2} = 0 + { frac {.7} {p_ {1}}} { frac {.3w} {p_ {2}}} = - { frac {.21w} {p_ {1} p_ {2}}}}$

Это говорит о том, что когда ${ displaystyle p_ {2}}$ повышается, возникает эффект замещения ${ displaystyle -.21w / (p_ {1} p_ {2})}$ в сторону хорошего 1. В то же время рост ${ displaystyle p_ {2}}$ оказывает отрицательное влияние на доход на спрос на товар 1, противоположный эффект того же размера, что и эффект замещения, поэтому чистый эффект равен нулю. Это особое свойство функции Кобба-Дугласа.

Изменение сразу нескольких цен: матрица Слуцкого

То же уравнение можно переписать в матричной форме, чтобы разрешить сразу несколько изменений цены:

${ displaystyle mathbf {D_ {p} x} ( mathbf {p}, w) = mathbf {D_ {p} h} ( mathbf {p}, u) - mathbf {D_ {w} x} ( mathbf {p}, w) mathbf {x} ( mathbf {p}, w) ^ { top}, ,}$

куда D_п является производным оператором по цене и D_ш является производным оператором по богатству.

Матрица ${ Displaystyle mathbf {D_ {p} h} ( mathbf {p}, u)}$ известен как Слуцкий матрица, и при достаточных условиях гладкости функции полезности она является симметричной, отрицательно полуопределенной и Гессен расходной функции.

При наличии двух товаров уравнение Слуцкого в матричной форме имеет вид:^[4]

${ displaystyle { begin {bmatrix} { frac { partial x_ {1}} { partial p_ {1}}} & { frac { partial x_ {1}} { partial p_ {2}}} { frac { partial x_ {2}} { partial p_ {1}}} & { frac { partial x_ {2}} { partial p_ {2}}} end {bmatrix} } = { begin {bmatrix} { frac { partial h_ {1}} { partial p_ {1}}} & { frac { partial h_ {1}} { partial p_ {2}}} { frac { partial h_ {2}} { partial p_ {1}}} & { frac { partial h_ {2}} { partial p_ {2}}} end {bmatrix}} - { begin {bmatrix} { frac { partial x_ {1}} { partial w}} x_ {1} & { frac { partial x_ {1}} { partial w}} x_ {1} { frac { partial x_ {2}} { partial w}} x_ {2} & { frac { partial x_ {2}} { partial w}} x_ {2} end { bmatrix}}}$

Хотя, строго говоря, уравнение Слуцкого применимо только к бесконечно малым изменениям цен, для конечных изменений обычно используется линейное приближение. Если цены двух товаров изменяются на Delta p_1 и Delta p_2, влияние на спрос на эти два товара будет следующим:

${ displaystyle { begin {bmatrix} Delta x_ {1} Delta x_ {2} end {bmatrix}} приблизительно { begin {bmatrix} { frac { partial h_ {1}} { частичный p_ {1}}} и { frac { partial h_ {1}} { partial p_ {2}}} { frac { partial h_ {2}} { partial p_ {1}}} & { frac { partial h_ {2}} { partial p_ {2}}} end {bmatrix}} cdot { begin {bmatrix} Delta p_ {1} Delta p_ {2 } end {bmatrix}} - { begin {bmatrix} { frac { partial x_ {1}} { partial w}} x_ {1} & { frac { partial x_ {1}} { partial w}} x_ {1} { frac { partial x_ {2}} { partial w}} x_ {2} & { frac { partial x_ {2}} { partial w}} x_ { 2} конец {bmatrix}} cdot { begin {bmatrix} Delta p_ {1} Delta p_ {2} end {bmatrix}}}$

Если перемножить матрицы, то влияние на товар 1, например, будет

${ displaystyle Delta x_ {1} приблизительно left ({ frac { partial h_ {1}} { partial p_ {1}}} Delta p_ {1} + { frac { partial h_ {1} }} { partial p_ {2}}} Delta p_ {2} right) - left ({ frac { partial x_ {1}} { partial w}} right) left (x_ {1 } Delta p_ {1} + x_ {2} Delta p_ {2} right)}$

Первое слагаемое - эффект замещения. Второй член - это эффект дохода, состоящий из реакции потребителя на потерю дохода, умноженной на размер потери дохода от каждого повышения цены.

Товары Giffen

А Гиффен хорошо - это продукт, который пользуется большим спросом при повышении цены, что также является частным случаем низкокачественных товаров.^[5] В крайнем случае неполноценного дохода размер эффекта дохода превосходил размер эффекта замещения, что приводило к положительному общему изменению спроса в ответ на увеличение цены. Разложение Слуцким изменения спроса на чистый эффект замещения и эффект дохода объясняет, почему закон спроса не выполняется для товаров Гиффена.

Смотрите также

• Потребительский выбор
• Лемма Хотеллинга
• Функция спроса Хикса
• Маршаллианская функция спроса
• Производственная функция Кобба-Дугласа
• Giffen Товары

Рекомендации