Маршаллианская функция спроса - Marshallian demand function

В микроэкономика, потребительский Маршаллианская функция спроса (названный в честь Альфред Маршалл ) определяет, что покупатель будет покупать в каждой ситуации цены и дохода или богатства, предполагая, что он идеально решает проблема максимизации полезности. Маршаллианский спрос иногда называют Вальрасовское требование (названный в честь Леон Вальрас ) или функция некомпенсированного спроса вместо этого, потому что первоначальный маршаллианский анализ отказался эффекты богатства.

Согласно задаче максимизации полезности существуют L товары с ценовым вектором п и выбираемый вектор количества Икс. У потребителя есть доход я, а значит набор бюджета доступных пакетов

${ Displaystyle B (p, I) = {x: langle p, x rangle leq I },}$

где ${ displaystyle langle p, x rangle}$ это внутренний продукт векторов цены и количества. У потребителя есть вспомогательная функция

${ displaystyle u: { textbf {R}} _ {+} ^ {L} rightarrow { textbf {R}}.}$

Потребительский Маршаллианская переписка по требованию определяется как

${ displaystyle x ^ {*} (p, I) = operatorname {argmax} _ {x in B (p, I)} u (x).}$

Уникальность

${ Displaystyle х ^ {*} (п, я)}$ называется переписка потому что, как правило, он может быть установленным - может быть несколько разных пакетов, которые достигают одной и той же максимальной полезности. В некоторых случаях есть уникальный пакет, максимизирующий полезность для каждой ситуации с ценой и доходом; тогда, ${ Displaystyle х ^ {*} (п, я)}$ является функцией и называется Маршаллианская функция спроса.

Если у потребителя строго выпуклые предпочтения и цены на все товары строго положительны, тогда существует уникальный набор, максимизирующий полезность.^[1]:156 Чтобы доказать это, предположим от противного, что существуют два разных пучка: ${ displaystyle x_ {1}}$ и ${ displaystyle x_ {2}}$, которые максимизируют полезность. потом ${ displaystyle x_ {1}}$ и ${ displaystyle x_ {2}}$ одинаково предпочтительны. По определению строгой выпуклости смешанное расслоение ${ displaystyle 0,5x_ {1} + 0,5x_ {2}}$ строго лучше, чем ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}}$. Но это противоречит оптимальности ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}}$.

Непрерывность

В максимальная теорема означает, что если:

• Функция полезности ${ Displaystyle и (х)}$ непрерывна относительно ${ displaystyle x}$,
• Переписка ${ displaystyle B (p, I)}$ непусто, компактнозначно и непрерывно относительно ${ displaystyle p, I}$,

тогда ${ Displaystyle х ^ {*} (п, я)}$ является полунепрерывный сверху переписка. Более того, если ${ Displaystyle х ^ {*} (п, я)}$ единственна, то она является непрерывной функцией ${ displaystyle p}$ и ${ displaystyle I}$.^[1]:156,506

В сочетании с предыдущим подразделом, если у потребителя есть строго выпуклые предпочтения, то маршаллианский спрос уникален и непрерывен. Напротив, если предпочтения не являются выпуклыми, то маршаллианский спрос может быть неуникальным и непостоянным.

Однородность

Соответствие маршаллианских требований - это однородная функция со степенью 0. Это означает, что для любой константы ${ displaystyle a> 0,}$

${ displaystyle x ^ {*} (a cdot p, a cdot I) = x ^ {*} (p, I).}$

Это интуитивно понятно. Предположим ${ displaystyle p}$ и ${ displaystyle I}$ измеряются в долларах. Когда ${ displaystyle a = 100}$, ${ displaystyle ap}$ и ${ displaystyle aI}$ точно такие же величины, измеренные в центах. Очевидно, что изменение единицы измерения не должно повлиять на спрос.

Примеры

В следующих примерах есть два товара: 1 и 2.

1. Функция полезности имеет Форма Кобба-Дугласа:

${ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = x_ {1} ^ { alpha} x_ {2} ^ { beta}.}$

Оптимизация с ограничениями приводит к маршаллианской функции спроса:

${ displaystyle x ^ {*} (p_ {1}, p_ {2}, I) = left ({ frac { alpha I} {( alpha + beta) p_ {1}}}, { frac { beta I} {( alpha + beta) p_ {2}}} right).}$

2. Функция полезности - это Функция полезности CES:

${ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = left [{ frac {x_ {1} ^ { delta}} { delta}} + { frac {x_ {2} ^ { delta}} { delta}} right] ^ { frac {1} { delta}}.}$

потом${ displaystyle x ^ {*} (p_ {1}, p_ {2}, I) = left ({ frac {Ip_ {1} ^ { epsilon -1}} {p_ {1} ^ { epsilon) } + p_ {2} ^ { epsilon}}}, { frac {Ip_ {2} ^ { epsilon -1}} {p_ {1} ^ { epsilon} + p_ {2} ^ { epsilon} }} right), quad { text {with}} quad epsilon = { frac { delta} { delta -1}}.}$

В обоих случаях предпочтения строго выпуклые, спрос уникален, а функция спроса непрерывна.

3. Функция полезности имеет линейная форма:

${ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = x_ {1} + x_ {2}.}$

Функция полезности слабо выпуклая, да и спрос не уникален: когда ${ displaystyle p_ {1} = p_ {2}}$, потребитель может разделить свой доход в произвольных соотношениях между типами продукта 1 и 2 и получить одинаковую полезность.

4. Функция полезности показывает неуменьшающуюся предельную норму замещения:

${ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = (x_ {1} ^ { alpha} + x_ {2} ^ { alpha}), quad { text {with}} quad альфа> 1.}$

Функция полезности не является вогнутой, и действительно, спрос не является непрерывным: когда ${ displaystyle p_ {1}$, потребитель требует только товар 1, а когда ${ displaystyle p_ {2}$, потребитель требует только товар 2 (когда ${ displaystyle p_ {1} = p_ {2}}$ соответствие спроса содержит два различных пакета: либо покупайте только товар 1, либо покупайте только товар 2).

Смотрите также

• Функция спроса Хикса
• Проблема максимизации полезности
• Кривая спроса

использованная литература

• Мас-Колелл, Андреу; Уинстон, Майкл и Грин, Джерри (1995). Микроэкономическая теория. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-507340-1.
• Николсон, Уолтер (1978). Микроэкономическая теория (Второе изд.). Хинсдейл: Драйден Пресс. С. 90–93. ISBN  0-03-020831-9.