Длина рассеяния - Википедия - Scattering length

В длина рассеяния в квантовая механика описывает низкоэнергетические рассеяние. Для потенциалов, которые распадаются быстрее, чем ${ displaystyle 1 / r ^ {3}}$ в качестве ${ Displaystyle г к infty}$, он определяется как следующие низкоэнергетические предел:

${ displaystyle lim _ {k to 0} k cot delta (k) = - { frac {1} {a}} ;,}$

куда ${ displaystyle a}$ - длина рассеяния, ${ displaystyle k}$ это волновое число, и ${ Displaystyle дельта (к)}$ это сдвиг фазы исходящей сферической волны. Эластичный поперечное сечение, ${ displaystyle sigma _ {e}}$, при низких энергиях определяется исключительно длиной рассеяния:

${ displaystyle lim _ {k to 0} sigma _ {e} = 4 pi a ^ {2} ;.}$

Общая концепция

Когда медленная частица рассеивается рассеивателем с малым радиусом действия (например, примесью в твердом теле или тяжелой частице), она не может разрешить структуру объекта, поскольку его длина волны де Бройля очень долго. По идее, тогда не должно быть важно, что именно потенциал ${ Displaystyle V (г)}$ один рассеивается, но только так, как потенциал выглядит на больших масштабах. Формальный способ решить эту проблему - сделать частичное волновое расширение (несколько аналогично мультипольное расширение в классическая электродинамика ), где один разлагается в угловой момент составляющие уходящей волны. При очень низкой энергии падающая частица не видит никакой структуры, поэтому в самом низком порядке у нее есть только исходящая сферическая волна, называемая s-волной по аналогии с атомная орбиталь по угловому моменту квантовое число л= 0. При более высоких энергиях также необходимо учитывать p- и d-волны (л= 1,2) рассеяние и так далее.

Идея описания низкоэнергетических свойств с помощью нескольких параметров и симметрий очень сильна, а также лежит в основе концепции перенормировка.

Понятие длины рассеяния можно распространить также на потенциалы, которые затухают медленнее, чем ${ displaystyle 1 / r ^ {3}}$ в качестве ${ Displaystyle г к infty}$. Известный пример, имеющий отношение к протон-протонному рассеянию, - это длина рассеяния, модифицированная кулонами.

Пример

В качестве примера того, как вычислить s-волну (т.е. угловой момент ${ displaystyle l = 0}$) длины рассеяния для данного потенциала смотрим на бесконечно отталкивающую сферическую потенциальная яма радиуса ${ displaystyle r_ {0}}$ в 3-х измерениях. Радиальный Уравнение Шредингера (${ displaystyle l = 0}$) вне ямы точно так же, как для свободной частицы:

${ displaystyle - { frac { hbar ^ {2}} {2m}} u '' (r) = Eu (r),}$

где потенциал жесткого ядра требует, чтобы волновая функция ${ Displaystyle и (г)}$ исчезает в ${ displaystyle r = r_ {0}}$, ${ displaystyle u (r_ {0}) = 0}$Решение легко найти:

${ Displaystyle и (г) = А грех (kr + дельта _ {s})}$.

Здесь ${ Displaystyle к = { sqrt {2mE}} / hbar}$ и ${ displaystyle delta _ {s} = - к cdot r_ {0}}$ это s-волна сдвиг фазы (разность фаз между приходящей и уходящей волной), которая фиксируется граничным условием ${ displaystyle u (r_ {0}) = 0}$; ${ displaystyle A}$ - произвольная нормировочная константа.

Можно показать, что в целом ${ displaystyle delta _ {s} (k) приблизительно -k cdot a_ {s} + O (k ^ {2})}$ для маленьких ${ displaystyle k}$ (т. е. низкоэнергетическое рассеяние). Параметр ${ displaystyle a_ {s}}$ размерной длины определяется как длина рассеяния. Поэтому для нашего потенциала у нас есть ${ displaystyle a = r_ {0}}$, другими словами, длина рассеяния для твердой сферы - это просто радиус. (В качестве альтернативы можно было бы сказать, что произвольный потенциал с длиной рассеяния s-волны ${ displaystyle a_ {s}}$ обладает такими же низкоэнергетическими рассеивающими свойствами, что и твердая сфера радиуса ${ displaystyle a_ {s}}$.) Чтобы связать длину рассеяния с физическими наблюдаемыми, которые могут быть измерены в эксперименте по рассеянию, нам нужно вычислить поперечное сечение ${ displaystyle sigma}$. В теория рассеяния можно записать асимптотическую волновую функцию в виде (мы предполагаем, что в начале координат имеется рассеиватель конечного диапазона, а вдоль ${ displaystyle z}$-ось):

${ displaystyle psi (r, theta) = e ^ {ikz} + f ( theta) { frac {e ^ {ikr}} {r}}}$

куда ${ displaystyle f}$ это амплитуда рассеяния. Согласно вероятностной интерпретации квантовой механики дифференциальное сечение дан кем-то ${ Displaystyle д сигма / д Омега = | е ( тета) | ^ {2}}$ (вероятность в единицу времени разлететься в сторону ${ displaystyle mathbf {k}}$). Если рассматривать только рассеяние s-волн, то дифференциальное сечение не зависит от угла ${ displaystyle theta}$, а общая сечение рассеяния просто ${ Displaystyle sigma = 4 pi | е | ^ {2}}$. S-волновая часть волновой функции ${ displaystyle psi (г, theta)}$ проецируется с помощью стандартного разложения плоской волны по сферическим волнам и Полиномы Лежандра ${ Displaystyle P_ {l} ( соз тета)}$:

${ Displaystyle е ^ {ikz} приблизительно { гидроразрыва {1} {2ikr}} sum _ {l = 0} ^ { infty} (2l + 1) P_ {l} ( cos theta) left [(-1) ^ {l + 1} e ^ {- ikr} + e ^ {ikr} right]}$

Сопоставив ${ displaystyle l = 0}$ компонент ${ displaystyle psi (г, theta)}$ к s-волновому решению ${ Displaystyle пси (г) = А грех (kr + дельта _ {s}) / г}$ (где мы нормализуем ${ displaystyle A}$ так что приходящая волна ${ displaystyle e ^ {ikz}}$ имеет предварительный множитель единицы):

${ displaystyle f = { frac {1} {2ik}} (e ^ {2i delta _ {s}} - 1) приблизительно delta _ {s} / k приблизительно -a_ {s}}$

Это дает:

${ displaystyle sigma = { frac {4 pi} {k ^ {2}}} sin ^ {2} delta _ {s} = 4 pi a_ {s} ^ {2}}$

Смотрите также

• Псевдопотенциал Ферми
• Длина рассеяния нейтронов

Рекомендации

• Ландау, Л. Д .; Лифшиц, Э. М. (2003). Квантовая механика: нерелятивистская теория. Амстердам: Баттерворт-Хайнеманн. ISBN  0-7506-3539-8.