Лемма Шрейерса - Википедия - Schreiers lemma

В математике Лемма Шрайера это теорема в теория групп используется в Алгоритм Шрайера – Симса а также для поиска презентация из подгруппа.

Заявление

Предполагать ${ displaystyle H}$ это подгруппа из ${ displaystyle G}$, который конечно порожден порождающим множеством ${ displaystyle S}$, то есть, грамм = ${ Displaystyle scriptstyle langle S rangle}$.

Позволять ${ displaystyle R}$ быть правым поперечный из ${ displaystyle H}$ в ${ displaystyle G}$. Другими словами, ${ displaystyle R}$ это (образ) раздел факторной карты ${ displaystyle G to H backslash G}$, куда ${ Displaystyle H обратная косая черта G}$ обозначает набор правые классы из ${ displaystyle H}$ в ${ displaystyle G}$.

Мы даем определение, которое дает ${ displaystyle g}$∈${ displaystyle G}$, ${ displaystyle { overline {g}}}$ выбранный представитель в трансверсальной ${ displaystyle R}$ сословия ${ displaystyle Hg}$, то есть,

${ displaystyle g in H { overline {g}}.}$

потом ${ displaystyle H}$ порождается множеством

${ displaystyle {rs ({ overline {rs}}) ^ {- 1} | r in R, s in S }}$

Пример

Установим очевидный факт, что группа Z₃ = Z/3Z действительно цикличен. Через Теорема Кэли, Z₃ является подгруппой симметричная группа S₃. Сейчас же,

${ Displaystyle mathbb {Z} _ {3} = {е, (1 2 3), (1 3 2) }}$

${ Displaystyle S_ {3} = {е, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2) }}$

куда ${ displaystyle e}$ - тождественная перестановка. Примечание S₃ = ${ Displaystyle scriptstyle langle}${ s₁=(1 2), s₂ = (1 2 3) }${ displaystyle scriptstyle rangle}$.

Z₃ имеет всего два смежных класса, Z₃ и S₃ \ Z₃, поэтому выбираем трансверсаль { т₁ = е, т₂= (1 2)}, и имеем

${ displaystyle { begin {matrix} t_ {1} s_ {1} = (1 2), & quad { text {so}} quad & { overline {t_ {1} s_ {1}} } = (1 2) t_ {1} s_ {2} = (1 2 3), & quad { text {so}} quad & { overline {t_ {1} s_ {2 }}} = e t_ {2} s_ {1} = e, & quad { text {so}} quad & { overline {t_ {2} s_ {1}}} = e t_ {2} s_ {2} = (2 3), & quad { text {so}} quad & { overline {t_ {2} s_ {2}}} = (1 2). end {matrix}}}$

Ну наконец то,

${ displaystyle t_ {1} s_ {1} { overline {t_ {1} s_ {1}}} ^ {- 1} = e}$

${ displaystyle t_ {1} s_ {2} { overline {t_ {1} s_ {2}}} ^ {- 1} = (1 2 3)}$

${ displaystyle t_ {2} s_ {1} { overline {t_ {2} s_ {1}}} ^ {- 1} = e}$

${ displaystyle t_ {2} s_ {2} { overline {t_ {2} s_ {2}}} ^ {- 1} = (1 2 3).}$

Таким образом, по лемме Шрайера о подгруппах {e, (1 2 3)} порождает Z₃, но наличие идентификатора в генераторной установке является избыточным, поэтому мы можем удалить его, чтобы получить другую генераторную установку для Z₃, {(1 2 3)} (как и ожидалось).

Рекомендации

• Сересс, А. Алгоритмы группы перестановок. Издательство Кембриджского университета, 2002.