Теорема Шура о произведении - Schur product theorem

В математика, особенно в линейная алгебра, то Теорема Шура о произведении заявляет, что Произведение Адамара из двух положительно определенные матрицы также является положительно определенной матрицей. Результат назван в честь Иссай Шур^[1] (Schur 1911, стр. 14, теорема VII) (заметьте, что Шур подписался как J. Schur в Журнал für die reine und angewandte Mathematik.^[2]^[3])

Доказательство

Доказательство с использованием формулы следа

Для любых матриц ${ displaystyle M}$ и ${ displaystyle N}$ , произведение Адамара ${ Displaystyle M circ N}$ рассматривается как билинейная форма, действует на векторы ${ displaystyle a, b}$ в качестве

{ displaystyle a ^ {*} (M circ N) b = operatorname {tr} left (M ^ { extf {T}} operatorname {diag} left (a ^ {*} right) N operatorname {diag} (b) right)}

куда ${ displaystyle operatorname {tr}}$ это матрица след и ${ displaystyle operatorname {diag} (а)}$ это диагональная матрица имея в качестве диагональных входов элементы ${ displaystyle a}$ .

Предполагать ${ displaystyle M}$ и ${ displaystyle N}$ положительно определены, и поэтому Эрмитский. Мы можем рассматривать их квадратные корни ${ displaystyle M ^ { frac {1} {2}}}$ и ${ displaystyle N ^ { frac {1} {2}}}$ , которые также являются эрмитскими, и пишем

{ displaystyle operatorname {tr} left (M ^ { extf {T}} operatorname {diag} left (a ^ {*} right) N operatorname {diag} (b) right) = имя оператора {tr} left ({ overline {M}} ^ { frac {1} {2}} { overline {M}} ^ { frac {1} {2}} operatorname {diag} left (a ^ {*} right) N ^ { frac {1} {2}} N ^ { frac {1} {2}} operatorname {diag} (b) right) = operatorname {tr} left ({ overline {M}} ^ { frac {1} {2}} operatorname {diag} left (a ^ {*} right) N ^ { frac {1} {2}} N ^ { frac {1} {2}} operatorname {diag} (b) { overline {M}} ^ { frac {1} {2}} right)}

Тогда для ${ displaystyle a = b}$ , это записывается как ${ displaystyle operatorname {tr} left (A ^ {*} A right)}$ за ${ displaystyle A = N ^ { frac {1} {2}} operatorname {diag} (a) { overline {M}} ^ { frac {1} {2}}}$ и поэтому строго положительно для ${ displaystyle A neq 0}$ , что происходит тогда и только тогда, когда ${ displaystyle a neq 0}$ . Это показывает, что ${ Displaystyle (M circ N)}$ - положительно определенная матрица.

Доказательство с использованием гауссова интегрирования

В случае если M = N

Позволять ${ displaystyle X}$ быть ${ displaystyle n}$ -размерный центрированный Гауссовская случайная величина с ковариация ${ Displaystyle langle X_ {i} X_ {j} rangle = M_ {ij}}$ . Тогда ковариационная матрица ${ displaystyle X_ {i} ^ {2}}$ и ${ Displaystyle X_ {j} ^ {2}}$ является

{ displaystyle operatorname {Cov} left (X_ {i} ^ {2}, X_ {j} ^ {2} right) = left langle X_ {i} ^ {2} X_ {j} ^ { 2} right rangle - left langle X_ {i} ^ {2} right rangle left langle X_ {j} ^ {2} right rangle}

С помощью Теорема Вика разрабатывать ${ displaystyle left langle X_ {i} ^ {2} X_ {j} ^ {2} right rangle = 2 left langle X_ {i} X_ {j} right rangle ^ {2} + left langle X_ {i} ^ {2} right rangle left langle X_ {j} ^ {2} right rangle}$ у нас есть

{ displaystyle operatorname {Cov} left (X_ {i} ^ {2}, X_ {j} ^ {2} right) = 2 left langle X_ {i} X_ {j} right rangle ^ {2} = 2M_ {ij} ^ {2}}

Поскольку ковариационная матрица положительно определена, это доказывает, что матрица с элементами ${ displaystyle M_ {ij} ^ {2}}$ - положительно определенная матрица.

Общий случай

Позволять ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle Y}$ быть ${ displaystyle n}$ -размерный центрированный Гауссовские случайные величины с ковариации ${ displaystyle left langle X_ {i} X_ {j} right rangle = M_ {ij}}$ , ${ displaystyle left langle Y_ {i} Y_ {j} right rangle = N_ {ij}}$ и независимы друг от друга, так что мы

{ displaystyle left langle X_ {i} Y_ {j} right rangle = 0}

для любого

{ displaystyle i, j}

Тогда ковариационная матрица ${ displaystyle X_ {i} Y_ {i}}$ и ${ displaystyle X_ {j} Y_ {j}}$ является

{ displaystyle operatorname {Cov} left (X_ {i} Y_ {i}, X_ {j} Y_ {j} right) = left langle X_ {i} Y_ {i} X_ {j} Y_ { j} right rangle - left langle X_ {i} Y_ {i} right rangle left langle X_ {j} Y_ {j} right rangle}

С помощью Теорема Вика разрабатывать

{ displaystyle left langle X_ {i} Y_ {i} X_ {j} Y_ {j} right rangle = left langle X_ {i} X_ {j} right rangle left langle Y_ { i} Y_ {j} right rangle + left langle X_ {i} Y_ {i} right rangle left langle X_ {j} Y_ {j} right rangle + left langle X_ { i} Y_ {j} right rangle left langle X_ {j} Y_ {i} right rangle}

а также используя независимость ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle Y}$ , у нас есть

{ displaystyle operatorname {Cov} left (X_ {i} Y_ {i}, X_ {j} Y_ {j} right) = left langle X_ {i} X_ {j} right rangle left langle Y_ {i} Y_ {j} right rangle = M_ {ij} N_ {ij}}

Поскольку ковариационная матрица положительно определена, это доказывает, что матрица с элементами ${ displaystyle M_ {ij} N_ {ij}}$ - положительно определенная матрица.

Доказательство с использованием собственного разложения

Доказательство положительной полуопределенности

Позволять ${ Displaystyle М = сумма му _ {я} м_ {я} м_ {я} ^ { extf {T}}}$ и ${ displaystyle N = sum nu _ {i} n_ {i} n_ {i} ^ { extf {T}}}$ . потом

{ Displaystyle M circ N = sum _ {ij} mu _ {i} nu _ {j} left (m_ {i} m_ {i} ^ { extf {T}} right) circ left (n_ {j} n_ {j} ^ { extf {T}} right) = sum _ {ij} mu _ {i} nu _ {j} left (m_ {i} circ n_ {j} right) left (m_ {i} circ n_ {j} right) ^ { extf {T}}}

Каждый ${ displaystyle left (m_ {i} circ n_ {j} right) left (m_ {i} circ n_ {j} right) ^ { extf {T}}}$ положительно полуопределено (но, за исключением одномерного случая, не положительно определено, так как они классифицировать 1 матрицы). Также, ${ displaystyle mu _ {i} nu _ {j}> 0}$ таким образом сумма ${ Displaystyle M circ N}$ также положительно полуопределено.

Доказательство определенности

Чтобы показать, что результат положительно определенный, требуются дополнительные доказательства. Покажем, что для любого вектора ${ displaystyle a neq 0}$ , у нас есть ${ Displaystyle а ^ { extf {T}} (М circ N) а> 0}$ . Продолжая, как указано выше, каждый ${ displaystyle a ^ { extf {T}} left (m_ {i} circ n_ {j} right) left (m_ {i} circ n_ {j} right) ^ { extf {T }} а geq 0}$ , поэтому остается показать, что существуют ${ displaystyle i}$ и ${ displaystyle j}$ для которых соответствующий член выше неотрицателен. Для этого заметим, что

{ displaystyle a ^ { extf {T}} (m_ {i} circ n_ {j}) (m_ {i} circ n_ {j}) ^ { extf {T}} a = left ( сумма _ {k} m_ {i, k} n_ {j, k} a_ {k} right) ^ {2}}

С ${ displaystyle N}$ положительно определен, существует ${ displaystyle j}$ для которого ${ displaystyle n_ {j} circ a neq 0}$ (так как иначе ${ displaystyle n_ {j} ^ { extf {T}} a = sum _ {k} (n_ {j} circ a) _ {k} = 0}$ для всех ${ displaystyle j}$ ), а также поскольку ${ displaystyle M}$ положительно определен, существует ${ displaystyle i}$ для которого ${ displaystyle sum _ {k} m_ {i, k} (n_ {j} circ a) _ {k} = m_ {i} ^ { extf {T}} (n_ {j} circ a) neq 0.}$ Однако эта последняя сумма просто ${ displaystyle sum _ {k} m_ {i, k} n_ {j, k} a_ {k}}$ . Таким образом, его квадрат положительный. Это завершает доказательство.