Лемма Зигельса - Википедия - Siegels lemma

В трансцендентная теория чисел и Диофантово приближение, Лемма Зигеля относится к оценкам решений линейных уравнений, полученным путем построения вспомогательные функции. Существование этих многочленов было доказано Аксель Туэ;^[1] Использовано доказательство Ту Принцип ящика Дирихле. Карл Людвиг Сигель опубликовал свою лемму в 1929 г.^[2] Это чистый теорема существования для система линейных уравнений.

В последние годы лемма Зигеля была усовершенствована для получения более точных оценок оценок, даваемых леммой.^[3]

Заявление

Предположим, нам дана система M линейные уравнения в N неизвестные такие, что N > M, сказать

${ displaystyle a_ {11} X_ {1} + cdots + a_ {1N} X_ {N} = 0}$

${ displaystyle cdots}$

${ displaystyle a_ {M1} X_ {1} + cdots + a_ {MN} X_ {N} = 0}$

где коэффициенты - целые рациональные числа, не все 0, и ограничены B. Тогда у системы есть решение

${ displaystyle (X_ {1}, X_ {2}, dots, X_ {N})}$

с Иксs все целые рациональные числа, не все 0, и ограничены

${ Displaystyle (NB) ^ {M / (N-M)}.}$^[4]

Бомбьери и Ваалер (1983) дал следующую более точную оценку для ИКС's:

${ displaystyle max | X_ {j} | leq left (D ^ {- 1} { sqrt { det (AA ^ {T})}} right) ^ {1 / (N-M)}}$

куда D является наибольшим общим делителем M к M миноры матрицы А, и А^Т является его транспонированием. Их доказательство заключалось в замене принцип дырки методами из геометрия чисел.

Смотрите также

• Диофантово приближение

Рекомендации

• Bombieri, E .; Ваалер, Дж. (1983). «По лемме Зигеля». Inventiones Mathematicae. 73 (1): 11–32. Дои:10.1007 / BF01393823.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Хиндри, Марк; Сильверман, Джозеф Х. (2000). Диофантова геометрия. Тексты для выпускников по математике. 201. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-98981-5. МИСТЕР  1745599.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Вольфганг М. Шмидт. Диофантово приближение. Конспект лекций по математике 785. Springer. (1980 [1996 с небольшими исправлениями]) (Страницы 125-128 и 283-285)
• Вольфганг М. Шмидт. «Глава I: Лемма Зигеля и высоты» (страницы 1–33). Диофантовы приближения и диофантовы уравнения, Конспект лекций по математике, Springer Verlag 2000.