Техника построения треугольных диаграмм пространства-времени - Spacetime triangle diagram technique

В физика и математика, то метод диаграммы пространственно-временного треугольника (STTD), также известный как Смирнов метод неполного разделения переменных, является прямым методом пространственно-временной области для электромагнитного и скалярного волнового движения.

Основные этапы

1. (Электромагнетизм ) Система уравнений Максвелла сводится ко второму порядку PDE для компонент поля, или потенциалов, или их производных.
2. Пространственные переменные разделяются с помощью удобных разложений в ряды и / или интегральные преобразования - за исключением одного, которое остается ограниченным с помощью временной переменной, что приводит к PDE гиперболического типа.
3. Результирующий гиперболический УЧП и одновременно преобразованные начальные условия составляют задачу, которая решается с помощью Интегральная формула Римана – Вольтерра. Это дает общее решение, выражаемое через двойной интеграл по треугольной области в ограниченном пространстве координат-времени. Затем эта область заменяется более сложной, но меньшей областью, в которой интегрант существенно отличен от нуля, найденный с использованием строго формализованной процедуры, включающей конкретные треугольные диаграммы пространства-времени (см., Например,^[1][2][3]).
4. В большинстве случаев полученные решения, умноженные на известные функции предварительно разделенных переменных, приводят к выражениям, имеющим ясный физический смысл (нестационарные режимы). Однако во многих случаях более явные решения могут быть найдены путем суммирования разложений или выполнения обратного интегрального преобразования.

STTD против метода функции Грина

Техника STTD занимает второе место среди двух основных анзац для теоретического рассмотрения волн - частотной области и прямого пространства-времени. Наиболее хорошо зарекомендовавший себя метод для неоднородных (связанных с источником) описательных уравнений волнового движения основан на методе функций Грина.^[4] Для обстоятельств, описанных в Разделе 6.4 и Главе 14 Джексона. Классическая электродинамика,^[4] его можно свести к вычислению волнового поля через запаздывающие потенциалы (в частности, Потенциалы Льенара – Вихерта ).

Несмотря на определенное сходство между методами Грина и Римана – Вольтерра (в некоторой литературе функция Римана называется функцией Римана – Грина ^[5]), их применение к задачам волнового движения приводит к различным ситуациям:

• Определения как функции Грина, так и соответствующего решения Грина не уникальны, поскольку они оставляют место для добавления произвольного решения однородного уравнения; в некоторых случаях конкретный выбор функции Грина и окончательное решение определяется граничными условиями или правдоподобностью и физической допустимостью построенных волновых функций.^[6] Функция Римана - это решение однородного уравнения, которое дополнительно должно принимать определенное значение в характеристиках и, таким образом, определяется уникальным образом.
• В отличие от метода Грина, который дает частное решение неоднородной уравнениеметод Римана – Вольтерра связан с соответствующим проблема, состоящий из PDE и начальных условий,

^[7][8] и именно представление Римана – Вольтерра Смирнов используется в его Курс высшей математики для доказательства единственности решения поставленной задачи (см.^[8] пункт 143).

• В общем случае формула Грина подразумевает интегрирование по всей области изменения координат и времени, в то время как интегрирование в решении Римана – Вольтерра проводится в ограниченной области треугольника, обеспечивая ограниченность решения поддерживать.
• Причинность (уникального) решения Римана – Вольтерра обеспечивается автоматически, без необходимости возвращаться к дополнительным соображениям, таким как запаздывающий характер аргумента, распространение волны в определенном направлении, конкретный выбор пути интегрирования и т. Д. (Обычно описательный уравнения, такие как классическое скалярное волновое уравнение, обладают Т-симметрия. Именно асимметричные по времени начальные условия определяют стрела времени за счет ограничения области интегрирования в формуле Римана на ${ displaystyle t> 0}$, см. больше в^[2] и конкретный пример, приведенный ниже.)
• Функцию Грина можно легко получить из потенциала Льенара – Вихерта движущегося точечного источника, но конкретный расчет волновой функции, неизбежно связанный с анализом запаздывающего аргумента, может превратиться в довольно сложную задачу, если не использовать специальные методы, такие как параметрический метод ,^[9]

вызываются. Подход Римана-Вольтерра представляет те же или даже более серьезные трудности, особенно когда речь идет об источниках с ограниченными опорами: здесь фактические пределы интегрирования должны быть определены из системы неравенств, включающих пространственно-временные переменные и параметры источника. срок. Однако это определение может быть строго формализовано с помощью треугольных диаграмм пространства-времени. Играя ту же роль, что и Диаграммы Фейнмана в физике элементарных частиц STTD обеспечивают строгую и иллюстративную процедуру для определения областей с таким же аналитическим представлением области интегрирования в 2D-пространстве, охватываемом неразделенной пространственной переменной и временем.

Недостатки метода

• Метод применим только к задачам, обладающим известной функцией Римана.
• Применение метода и анализ полученных результатов требуют более глубоких знаний специальные функции математической физики (например, работа с обобщенные функции, Функции Матье разных видов и Функции двух переменных Ломмеля ), чем метод функций Грина.
• В некоторых случаях окончательные интегралы требуют специального рассмотрения в областях быстрой осцилляции функции Римана.

Важнейшие конкретизации

Общие Соображения

Несколько эффективных методов скаляризации электромагнитных задач в ортогональных координатах ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}}$ обсуждались Борисовым в работе [2].^[10] Важнейшие условия их применимости: ${ displaystyle h_ {3} = 1}$ и ${ displaystyle partial _ {3} (h_ {1} / h_ {2}) = 0}$, куда ${ displaystyle h_ {i}, i = 1,2,3}$ являются метрические (Ламе) коэффициенты (так что элемент квадрата длины равен ${ displaystyle ds ^ {2} = h_ {1} ^ {2} dx_ {1} ^ {2} + h_ {2} ^ {2} dx_ {2} ^ {2} + h_ {3} ^ {2 } dx_ {3} ^ {2}}$). Примечательно, что это условие выполняется для большинства практически важных систем координат, включая декартову, цилиндрическую и сферическую общего типа.

Для задач волнового движения - свободное пространство, основным методом разделения пространственных переменных является применение интегральных преобразований, а для задач генерации и распространения волн в направляющих системах переменные обычно разделяются с помощью разложений по основным функциям (режимы), удовлетворяющие требуемым граничным условиям на поверхности направляющей системы.

Декартовы и цилиндрические координаты

в Декартово ${ displaystyle left {x_ {1} = x, ; x_ {2} = y, ; x_ {3} = z right }}$ и цилиндрические координаты общего вида ${ displaystyle left {x_ {1} = x_ {1} (x, y), ; x_ {2} = x_ {2} (x, y), ; x_ {3} = z right }}$ разделение пространственных переменных приводит к задаче начального значения для гиперболический PDE известный как 1D уравнение Клейна – Гордона (KGE)

${ displaystyle { begin {align} & left ( partial _ { tau} ^ {2} - partial _ {z} ^ {2} + k ^ {2} right) psi ( tau, z) = f ( tau, z) & psi ( tau, z) = 0 { text {for}} tau <0 end {align}}}$

Здесь ${ Displaystyle тау}$ - временная переменная, выраженная в единицах длины с использованием некоторой характеристической скорости (например, скорости света или звука),${ displaystyle k}$ - константа, возникающая из разделения переменных, а ${ Displaystyle е ( тау, г)}$ представляет собой часть исходного члена в исходном волновом уравнении, которая остается после применения процедур разделения переменных (рядный коэффициент или результат интегрального преобразования).

Указанная выше задача обладает известной функцией Римана

${ Displaystyle R_ {к} ( tau, z; tau ', z') = J_ {0} left (k { sqrt {( tau - tau ') ^ {2} - (z-z ') ^ {2}}} right),}$

куда ${ Displaystyle J_ {0} ( cdot)}$ - функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

Канонические переменные ξ, η.

Начальные переменные z, τ.

Простейший стандарт STTD, представляющий область интеграции треугольника, возник в результате Интегральная формула Римана – Вольтерра.

Переход к каноническим переменным ${ Displaystyle Z, тау к xi, eta}$ получается простейшая диаграмма STTD, отражающая прямое применение метода Римана – Вольтерра,^[7][8] с фундаментальной областью интегрирования, представленной пространственно-временным треугольником MPQ (темно-серым).

Поворот STTD на 45 ° против часовой стрелки дает более распространенную форму STTD в традиционном пространстве-времени. ${ Displaystyle г, тау}$.

Для однородных начальных условий (единственное^[8]) решение задачи дается формулой Римана

${ displaystyle psi ( tau, z) = { frac {1} {2}} iint limits _ { треугольник MPQ} , d tau ', dz'R ( tau, z; тау ', z') f ( tau ', z').}$

Развитие волнового процесса можно проследить с помощью фиксированной точки наблюдения (${ displaystyle z = { text {const}}}$), последовательно увеличивая высоту треугольника (${ Displaystyle тау}$) или, в качестве альтернативы, получение «моментального снимка» волновой функции ${ displaystyle psi}$ сдвигая пространственно-временной треугольник вдоль ${ displaystyle z}$ ось (${ Displaystyle тау = { текст {const}}}$).

Более полезные и сложные STTD соответствуют импульсным источникам, чьи поддерживать ограничено в пространстве-времени. Каждое ограничение приводит к определенным модификациям в STTD, что приводит к меньшим и более сложным областям интеграции, в которых интеграция по существу не равна нулю. Примеры наиболее распространенных модификаций и их комбинированных действий показаны ниже.

Статические ограничения на исходную область^[10]

STTD для источника, ограниченного слева самолетом ${ displaystyle z = 0}$, т.е. ${ Displaystyle е ( тау, г) = 0 { текст {для}} г <0}$, что имеет место, например, для бегущего источника, распространяющегося вдоль полубесконечного излучателя ${ displaystyle l}$.

STTD для источника, ограниченного справа самолетом ${ displaystyle z = l}$, т.е. ${ displaystyle f ( tau, z) = 0 { text {for}} z> l.}$

STTD для источника, ограниченного с обеих сторон, т.е. ${ Displaystyle е ( тау, г) = 0 { текст {для}} г notin [0, л]}$, что имеет место, например, для бегущего источника, распространяющегося вдоль излучателя конечной длины ${ displaystyle l}$.

Совместное действие ограничений разного типа, см.^{[1][10][11][12][13]} для подробностей и более сложных примеров

STTD для полубесконечного бегущего импульса источника.

STTD для конечного бегущего импульса источника.

STTD для импульса конечного бегущего источника, распространяющегося вдоль полубесконечного излучателя ${ Displaystyle г в влево [0, infty вправо)}$.

Последовательность стандартных STTD для «короткого» импульса конечной длительности ${ displaystyle T}$ распространяется вдоль конечного излучателя ${ Displaystyle г в [0, л]}$ с постоянной скоростью ${ displaystyle beta}$.^{[нужна цитата ]} В этом случае источник можно выразить в виде

${ Displaystyle е ( тау, г) = е_ {0} ( тау, г) раз ч (г) ч (лз) ч влево ( тау - { гидроразрыва {г} { бета}} right) h left (T- tau + { frac {z} { beta}} right),}$

куда ${ Displaystyle ч ( cdot)}$ это Ступенчатая функция Хевисайда.

Та же последовательность STTD для «длинного» импульса.^{[нужна цитата ]}

Сферические координаты

в сферическая система координат - что с учетом Общие Соображения должны быть представлены в последовательности ${ displaystyle left {x_ {1} = theta, ; x_ {2} = varphi, ; x_ {3} = r right }}$, заверяя ${ displaystyle h_ {3} = 1}$ - можно скаляризовать задачи для поперечных электрических (TE) или поперечных магнитных (TM) волн, используя функции Боргниса, потенциалы Дебая или векторы Герца. Последующее разделение угловых переменных ${ displaystyle theta, varphi}$ через разложение начальной волновой функции ${ displaystyle psi left ( tau, theta, varphi, r right)}$ и источник

${ Displaystyle ; е влево ( тау, тета, varphi, г вправо)}$ с точки зрения

${ displaystyle left ({ begin {array} {c} sin m varphi cos m varphi end {array}} right) P_ {n} ^ {(m)} ( cos тета),}$

куда ${ Displaystyle P_ {п} ^ {(м)} ! влево ( cdot right)}$ это связанный многочлен Лежандра степени ${ displaystyle n}$ и заказать ${ displaystyle m}$, приводит к задаче начального значения для гиперболического Уравнение Эйлера – Пуассона – Дарбу.^[3][10]

${ displaystyle { begin {align} & left ( partial _ { tau} ^ {2} - partial _ {r} ^ {2} + { frac {n (n + 1)} {r ^ {2}}} right) psi _ {nm} ( tau, r) = f_ {nm} ( tau, r) & psi _ {nm} ( tau, r) = 0 { текст {для}} тау <0 конец {выровнено}}}$

известно, что имеет функцию Римана

${ displaystyle R ( tau, r; tau ', r') = {P_ {n}} left ({ frac {r ^ {2} + {r '} ^ {2} - ( tau - tau ') ^ {2}} {2rr'}} right),}$

куда ${ Displaystyle P_ {п} ! влево ( cdot right)}$ это (обычный) Полином Лежандра степени ${ displaystyle n}$.

Эквивалентность решений STTD (Римана) и функций Грина

Метод STTD представляет собой альтернативу классическому методу функций Грина. Ввиду однозначности решения рассматриваемой начальной задачи,^[8] в частном случае нулевых начальных условий решение Римана, предоставляемое методом STTD, должно совпадать со сверткой причинной функции Грина и источника.

Эти два метода обеспечивают явно разные описания волновой функции: например, функция Римана в задаче Клейна – Гордона является функцией Бесселя (которая должна быть интегрирована вместе с исходным членом по ограниченной области, представленной фундаментальным треугольником MPQ), в то время как запаздывающая функция Грина уравнения Клейна – Гордона является преобразованием Фурье мнимого экспоненциального члена (интегрируемого по всей плоскости ${ displaystyle z ', tau'}$, см., например, разд. 3.1. реф.^[14]) сводится к

${ displaystyle G_ {k} ( tau, z; tau ', z') = - { frac {1} {(2 pi) ^ {2}}} int limits _ {- infty} ^ { infty} dp , { rm {e}} ^ {ip (z-z ')} int limits _ {- infty} ^ { infty} d Omega , { frac {{ rm {e}} ^ {i Omega ( tau - tau ')}} { Omega ^ {2} -p ^ {2} -k ^ {2}}}.}.}$

Расширение интеграции в отношении ${ displaystyle Omega}$ в комплексную область, используя теорему о вычетах (с полюсами ${ displaystyle Omega _ {1,2}}$ выбран как ${ displaystyle lim _ { varepsilon to 0 +} left ( pm { sqrt {p ^ {2} + k ^ {2} + i varepsilon}} right)}$для удовлетворения условий причинности) получается

${ displaystyle G_ {k} ( tau, z; tau ', z') = { frac {1} { pi}} int limits _ {0} ^ { infty} dp , { frac { sin left (( tau - tau ') { sqrt {p ^ {2} + k ^ {2}}} right)} { sqrt {p ^ {2} + k ^ {2 }}}} cos (p (z-z ')).}$

Используя формулу 3.876-1 из Градштейн и Рыжик,^[15]

${ displaystyle int limits _ {0} ^ { infty} dx , { frac { sin (p { sqrt {x ^ {2} + a ^ {2}}})} { sqrt { x ^ {2} + a ^ {2}}}} cos (bx) = left {{ begin {align} & { frac { pi} {2}} J_ {0} (a { sqrt {p ^ {2} -b ^ {2}}}) & { text {for}} & 0$ p> 0 end {выровнено}} right. qquad (a> 0),}

последнее представление функции Грина сводится к выражению^[16]

${ displaystyle { frac {1} {2}} J_ {0} left (к { sqrt {( tau - tau ') ^ {2} - (z-z') ^ {2}}} right) h ( tau - tau '- | z-z' |),}$

в которой 1/2 - коэффициент масштабирования формулы Римана и ${ Displaystyle J_ {0} ( cdot)}$ функция Римана, а ступенчатая функция Хевисайда ${ Displaystyle ч ( cdot)}$ уменьшает, для ${ displaystyle tau> 0}$, область интегрирования в фундаментальный треугольник MPQ, делая решение функции Грина таким же, как и в методе STTD.

Ссылки и примечания