Сферическая мера - Spherical measure

В математика - в частности, в геометрическая теория меры — сферическая мера σ^п это «естественный» Мера Бореля на п-сфера S^п. Сферическую меру часто нормируют, так что это вероятностная мера на сфере, т.е. так, чтобы σ^п(S^п) = 1.

Определение сферической меры

Есть несколько способов определить сферическую меру. Один из способов - использовать обычные «круглые» или «длина дуги ” метрика ρ_п на S^п; то есть для очков Икс и у в S^п, ρ_п(Икс, у) определяется как (евклидов) угол, который они составляют в центре сферы (начало р^п+1). Теперь построим п-размерный Мера Хаусдорфа ЧАС^п на метрическом пространстве (S^п, ρ_п) и определим

${displaystyle sigma ^ {n} = {frac {1} {H ^ {n} (mathbf {S} ^ {n})}} H ^ {n}.}$

Можно было бы также дать S^п метрика, которую он наследует как подпространство евклидова пространства р^п+1; та же сферическая мера получается из этого выбора метрики.

Другой метод использует Мера Лебега λ^п+1 на окружающем евклидовом пространстве р^п+1: для любого измеримого подмножества А из S^п, определять σ^п(А) быть (п + 1) -мерный объем «клина» в шаре B^п+1 что он находится в начале координат. То есть,

${displaystyle sigma ^ {n} (A): = {frac {1} {alpha (n + 1)}} lambda ^ {n + 1} ({txmid xin A, tin [0,1]}),}$

куда

${displaystyle alpha (m): = lambda ^ {m} (mathbf {B} _ {1} ^ {m} (0)).}$

Тот факт, что все эти методы определяют одну и ту же меру на S^п следует из элегантного результата Кристенсена: все эти меры очевидно равномерно распределены на S^п, и любые две равномерно распределенные борелевские регулярные меры на сепарабельном метрическом пространстве должны быть постоянными (положительными) кратными друг другу. Поскольку все наши кандидаты σ^пБыли нормализованы как вероятностные меры, все они являются одной и той же мерой.

Связь с другими мерами

Связь сферической меры с мерой Хаусдорфа на сфере и мерой Лебега на объемлющем пространстве уже обсуждалась.

Сферическая мера имеет хорошее отношение к Мера Хаара на ортогональная группа. Пусть O (п) обозначают ортогональную группу игра актеров на р^п и разреши θ^п обозначим его нормированную меру Хаара (так что θ^п(O (п)) = 1). Ортогональная группа действует также на сфере S^п−1. Тогда для любого Икс ∈ S^п−1 и любой А ⊆ S^п−1,

${displaystyle heta ^ {n} ({gin mathrm {O} (n) mid g (x) in A}) = sigma ^ {n-1} (A).}$

В случае, если S^п это топологическая группа (то есть когда п равно 0, 1 или 3), сферическая мера σ^п совпадает с (нормированной) мерой Хаара на S^п.

Изопериметрическое неравенство

Существует изопериметрическое неравенство для сферы с ее обычной метрической и сферической мерой (см. Ledoux & Talagrand, глава 1):

Если А ⊆ S^п−1 - произвольное борелевское множество и B⊆ S^п−1 это ρ_п-бол с таким же σ^п-измерять как А, то для любого р > 0,

${displaystyle sigma ^ {n} (A_ {r}) geq sigma ^ {n} (B_ {r}),}$

куда А_р обозначает «инфляцию» А к р, т.е.

${displaystyle A_ {r}: = {xin mathbf {S} ^ {n} mid ho _ {n} (x, A) leq r}.}$

В частности, если σ^п(А) ≥ ½ и п ≥ 2, то

${displaystyle sigma ^ {n} (A_ {r}) geq 1- {sqrt {frac {pi} {8}}}, exp left (- {frac {(n-1) r ^ {2}} {2}) } ight).}$

Рекомендации

• Кристенсен, Йенс Петер Реус (1970). «О некоторых мерах, аналогичных мере Хаара». Mathematica Scandinavica. 26: 103–106. ISSN  0025-5521. МИСТЕР0260979
• Леду, Мишель; Талагранд, Мишель (1991). Вероятность в банаховых пространствах. Берлин: Springer-Verlag. С. xii + 480. ISBN  3-540-52013-9. МИСТЕР1102015 (См. Главу 1)
• Маттила, Пертти (1995). Геометрия множеств и мер в евклидовых пространствах: фракталы и спрямляемость. Кембриджские исследования по высшей математике № 44. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. С. xii + 343. ISBN  0-521-46576-1. МИСТЕР1333890 (См. Главу 3)