Семантика стабильной модели - Википедия - Stable model semantics

Концепция стабильная модель, или же набор ответов, используется для определения декларативного семантика за логические программы с отрицание как неудача. Это один из нескольких стандартных подходов к значению отрицание в логическом программировании, наряду с завершение программы и обоснованная семантика. Семантика стабильной модели является основойпрограммирование набора ответов.

Мотивация

Исследования декларативной семантики отрицания в логическом программировании были мотивированы тем, что поведение SLDNF разрешение - обобщение Разрешение SLD использован Пролог при наличии отрицания в своде правил - не полностью соответствует таблицы истинности знакомый по классике логика высказываний. Рассмотрим, например, программу

${ displaystyle p }$

${ displaystyle r leftarrow p, q}$

${ displaystyle s leftarrow p, operatorname {not} q.}$

Учитывая эту программу, запрос ${ displaystyle p}$ будет успешным, потому что программа включает ${ displaystyle p}$ как факт; запрос ${ displaystyle q}$ не получится, потому что этого не происходит в голове ни одного из правил. Запрос ${ displaystyle r}$ также потерпит неудачу, потому что единственное правило с ${ displaystyle r}$ в голове содержится подцель ${ displaystyle q}$ в его теле; как мы видели, эта подцель не выполняется. Наконец, запрос ${ displaystyle s}$ удается, потому что каждая из подцелей ${ displaystyle p}$, ${ displaystyle operatorname {not} q}$ удается. (Последнее удается, потому что соответствующая положительная цель ${ displaystyle q}$ Подводя итог, поведение разрешения SLDNF в данной программе может быть представлено следующим назначением истинности:

${ displaystyle p}$	${ displaystyle q}$	${ displaystyle r}$	${ displaystyle s}$
Т	F	F	Т.

С другой стороны, правила данной программы можно рассматривать как пропозициональные формулы если мы отождествим запятую с союзом ${ displaystyle land}$, символ ${ displaystyle operatorname {not}}$ с отрицанием ${ displaystyle neg}$и соглашаемся лечить ${ Displaystyle F leftarrow G}$ как следствие ${ Displaystyle G rightarrow F}$ написано наоборот. Например, последнее правило данной программы с этой точки зрения является альтернативной записью пропозициональной формулы

${ displaystyle p land not { text {}} q rightarrow s.}$

Если подсчитать ценности истины правил программы для присвоения истинности, показанной выше, то мы увидим, что каждое правило получает значение Т. Другими словами, это задание - модель программы. Но в этой программе есть и другие модели, например

${ displaystyle p}$	${ displaystyle q}$	${ displaystyle r}$	${ displaystyle s}$
Т	Т	Т	F.

Таким образом, одна из моделей данной программы является особенной в том смысле, что она правильно отображает поведение разрешения SLDNF. Какие математические свойства этой модели делают ее особенной? Ответ на этот вопрос дает определение устойчивой модели.

Отношение к немонотонной логике

Смысл отрицания в логических программах тесно связан с двумя теориями немонотонное рассуждение  — аутоэпистемическая логика и логика по умолчанию. Открытие этих взаимосвязей стало ключевым шагом на пути к созданию семантики стабильной модели.

Синтаксис аутоэпистемической логики использует модальный оператор это позволяет нам отличать истину от того, во что верят. Майкл Гельфонд [1987] предложил читать ${ displaystyle operatorname {not} p}$ в теле правила как "${ displaystyle p}$ не верится ", и понимать правило с отрицанием как соответствующую формулу аутоэпистемической логики. Семантику стабильной модели в ее базовой форме можно рассматривать как переформулировку этой идеи, которая избегает явных ссылок на аутоэпистемическую логику.

В логике по умолчанию значение по умолчанию аналогично правило вывода, за исключением того, что он включает, помимо посылок и заключения, список формул, называемых обоснованиями. По умолчанию можно сделать вывод, исходя из предположения, что его обоснования соответствуют тому, что принято в настоящее время. Николь Бидо и Кристин Фройдево [1987] предложили рассматривать отрицаемые атомы в своде правил как оправдания. Например, правило

${ displaystyle s leftarrow p, operatorname {not} q}$

можно понимать как значение по умолчанию, которое позволяет нам выводить ${ displaystyle s}$ из ${ displaystyle p}$ при условии, что ${ displaystyle neg q}$ согласуется. Семантика стабильной модели использует ту же идею, но не ссылается явно на логику по умолчанию.

Стабильные модели

В приведенном ниже определении стабильной модели, воспроизведенном из [Gelfond and Lifschitz, 1988], используются два соглашения. Во-первых, присвоение истинности идентифицируется с набором атомов, которые получают значение Т. Например, задание истинности

${ displaystyle p}$	${ displaystyle q}$	${ displaystyle r}$	${ displaystyle s}$
Т	F	F	Т.

отождествляется с множеством ${ displaystyle {p, s }}$. Это соглашение позволяет нам использовать отношение включения множества для сравнения назначений истинности друг с другом. Наименьшее из всех заданий правды ${ displaystyle emptyset}$ это тот, который делает ложным каждый атом; наибольшее назначение истинности делает истинным каждый атом.

Во-вторых, логическая программа с переменными рассматривается как сокращение для набора всех земля экземпляров ее правил, то есть результата замены переменных без переменных термами в правилах программы всеми возможными способами. Например, логическое программирование определения четных чисел

${ displaystyle operatorname {даже} (0) }$

${ displaystyle operatorname {even} (s (X)) leftarrow operatorname {not} operatorname {even} (X)}$

понимается как результат замены ${ displaystyle X}$ в этой программе по основным условиям

${ Displaystyle 0, s (0), s (s (0)), точек.}$

всеми возможными способами. Результат - бесконечная наземная программа

${ displaystyle operatorname {даже} (0) }$

${ displaystyle operatorname {even} (s (0)) leftarrow operatorname {not} operatorname {even} (0)}$

${ displaystyle operatorname {even} (s (s (0))) leftarrow operatorname {not} operatorname {even} (s (0))}$

${ displaystyle dots}$

Определение

Позволять ${ displaystyle P}$ быть набором правил формы

${ displaystyle A leftarrow B_ {1}, dots, B_ {m}, operatorname {not} C_ {1}, dots, operatorname {not} C_ {n}}$

куда ${ displaystyle A, B_ {1}, dots, B_ {m}, C_ {1}, dots, C_ {n}}$ являются основными атомами. Если ${ displaystyle P}$ не содержит отрицания (${ displaystyle n = 0}$ в каждом правиле программы), то по определению единственная устойчивая модель ${ displaystyle P}$ является его моделью, минимальной относительно включения множества.^[1] (Любая программа без отрицания имеет ровно одну минимальную модель.) Чтобы распространить это определение на случай программ с отрицанием, нам понадобится вспомогательная концепция редукции, определяемая следующим образом.

Для любого набора ${ displaystyle I}$ основных атомов, сокращать из ${ displaystyle P}$ относительно ${ displaystyle I}$ набор правил без отрицания, полученный из ${ displaystyle P}$ сначала отбросив все правила так, чтобы хотя бы один из атомов ${ displaystyle C_ {i}}$ в его теле

${ displaystyle B_ {1}, dots, B_ {m}, operatorname {not} C_ {1}, dots, operatorname {not} C_ {n}}$

принадлежит ${ displaystyle I}$, а затем сбросив детали ${ displaystyle operatorname {not} C_ {1}, dots, operatorname {not} C_ {n}}$ из тел всех остальных правил.

Мы говорим что ${ displaystyle I}$ это стабильная модель из ${ displaystyle P}$ если ${ displaystyle I}$ стабильная модель редукции ${ displaystyle P}$ относительно ${ displaystyle I}$. (Поскольку редукт не содержит отрицания, его стабильная модель уже определена.) Как предполагает термин «стабильная модель», каждая стабильная модель ${ displaystyle P}$ это модель ${ displaystyle P}$.

Пример

Чтобы проиллюстрировать эти определения, проверим, что ${ displaystyle {p, s }}$ стабильная модель программы

${ displaystyle p }$

${ displaystyle r leftarrow p, q}$

${ displaystyle s leftarrow p, operatorname {not} q.}$

Редукция этой программы относительно ${ displaystyle {p, s }}$ является

${ displaystyle p }$

${ displaystyle r leftarrow p, q}$

${ displaystyle s leftarrow p.}$

(Действительно, поскольку ${ displaystyle q not in {p, s }}$, редукт получается из программы отбрасыванием части ${ displaystyle operatorname {not} q. }$) Устойчивая модель редукта ${ displaystyle {p, s }}$. (Действительно, этот набор атомов удовлетворяет каждому правилу редукта, и у него нет собственных подмножеств с таким же свойством.) Таким образом, после вычисления стабильной модели редукта мы пришли к тому же самому набору ${ displaystyle {p, s }}$ с чего мы начали. Следовательно, этот набор является стабильной моделью.

Аналогичным образом проверяя остальные 15 наборов, состоящих из атомов ${ displaystyle p, q, r, s}$ показывает, что у этой программы нет других стабильных моделей. Например, сокращение программы относительно ${ Displaystyle {п, д, г }}$ является

${ displaystyle p }$

${ displaystyle r leftarrow p, q.}$

Стабильная модель редукта ${ displaystyle {p }}$, который отличается от множества ${ Displaystyle {п, д, г }}$ с чего мы начали.

Программы без единой стабильной модели

Программа с отрицанием может иметь много стабильных моделей или не иметь стабильных моделей. Например, программа

${ displaystyle p leftarrow operatorname {not} q}$

${ displaystyle q leftarrow operatorname {not} p}$

имеет две стабильные модели ${ displaystyle {p }}$, ${ Displaystyle {д }}$. Программа одного правила

${ displaystyle p leftarrow operatorname {not} p}$

стабильных моделей нет.

Если мы подумаем о семантике стабильной модели как о описании поведения Пролог при наличии отрицания программы без уникальной стабильной модели можно считать неудовлетворительными: они не обеспечивают однозначной спецификации для ответа на запросы в стиле Пролога. Например, две вышеупомянутые программы не подходят для программ Пролога - разрешение SLDNF на них не завершается.

Но использование стабильных моделей в программирование набора ответов предлагает другой взгляд на такие программы. В этой парадигме программирования данная задача поиска представлена ​​логической программой, так что стабильные модели программы соответствуют решениям. Тогда программы со многими стабильными моделями соответствуют задачам с множеством решений, а программы без стабильных моделей соответствуют неразрешимым задачам. Например, пазл восемь королев имеет 92 решения; чтобы решить ее с помощью программирования наборов ответов, мы кодируем ее логической программой с 92 стабильными моделями. С этой точки зрения логические программы с ровно одной стабильной моделью являются довольно особенными в программировании набора ответов, как многочлены с ровно одним корнем в алгебре.

Свойства семантики стабильной модели

В этом разделе, как и в определение стабильной модели Выше под логической программой мы понимаем набор правил вида

${ displaystyle A leftarrow B_ {1}, dots, B_ {m}, operatorname {not} C_ {1}, dots, operatorname {not} C_ {n}}$

куда ${ displaystyle A, B_ {1}, dots, B_ {m}, C_ {1}, dots, C_ {n}}$ являются основными атомами.

Головные атомы: Если атом ${ displaystyle A}$ принадлежит к стабильной модели логической программы ${ displaystyle P}$ тогда ${ displaystyle A}$ является главой одного из правил ${ displaystyle P}$.

Минимальность: Любая стабильная модель логической программы ${ displaystyle P}$ минимален среди моделей ${ displaystyle P}$ относительно набора включения.

Свойство антицепи: Если ${ displaystyle I}$ и ${ displaystyle J}$ являются стабильными моделями одной и той же логической программы, тогда ${ displaystyle I}$ не является правильным подмножеством ${ displaystyle J}$. Другими словами, множество устойчивых моделей программы - это антицепь.

NP-полнота: Проверка того, имеет ли программа конечной базовой логики стабильную модель, НП-полный.

Отношение к другим теориям отрицания как неудачи

Завершение программы

Любая устойчивая модель конечной наземной программы - это не только модель самой программы, но и модель ее завершение [Марек и Субрахманян, 1989]. Обратное, однако, неверно. Например, завершение программы по одному правилу

${ displaystyle p leftarrow p}$

это тавтология ${ displaystyle p leftrightarrow p}$. Модель ${ displaystyle emptyset}$ этой тавтологии - устойчивая модель ${ displaystyle p leftarrow p}$, но его другая модель ${ Displaystyle {п } }$ не является. Франсуа Фажес [François Fages, 1994] обнаружил синтаксическое условие для логических программ, которое исключает такие контрпримеры и гарантирует стабильность каждой модели завершения программы. Программы, удовлетворяющие его условию, называются в обтяжку.

Fangzhen Lin и Yuting Zhao [2004] показали, как сделать завершение нестабильной программы более сильным, чтобы все ее нестабильные модели были исключены. Дополнительные формулы, которые они добавляют к завершению, называются формулы цикла.

Обоснованная семантика

В обоснованная модель логической программы разбивает все основные атомы на три набора: истинное, ложное и неизвестное. Если атом верен в хорошо обоснованной модели ${ displaystyle P}$ то он принадлежит каждой стабильной модели ${ displaystyle P}$. Обратное, как правило, неверно. Например, программа

${ displaystyle p leftarrow operatorname {not} q}$

${ displaystyle q leftarrow operatorname {not} p}$

${ displaystyle r leftarrow p}$

${ displaystyle r leftarrow q}$

имеет две стабильные модели, ${ Displaystyle {п, г }}$ и ${ Displaystyle {д, г }}$. Хотя ${ displaystyle r}$ принадлежит им обоим, его ценность в обоснованной модели составляет неизвестный.

Более того, если атом ложен в хорошо обоснованной модели программы, то он не принадлежит ни к одной из ее стабильных моделей. Таким образом, хорошо обоснованная модель логической программы обеспечивает нижнюю границу пересечения ее стабильных моделей и верхнюю границу их объединения.

Сильное отрицание

Представление неполной информации

С точки зрения представление знаний, набор основных атомов можно рассматривать как описание полного состояния знания: известно, что атомы, принадлежащие набору, истинны, а атомы, которые не принадлежат этому набору, известны как ложные. Возможно неполный состояние знаний можно описать с помощью последовательного, но, возможно, неполного набора литералов; если атом ${ displaystyle p}$ не принадлежит множеству, и его отрицание не принадлежит множеству, тогда неизвестно, ${ displaystyle p}$ верно или неверно.

В контексте логического программирования эта идея приводит к необходимости различать два вида отрицания: отрицание как неудача, обсуждалось выше, и сильное отрицание, который здесь обозначен ${ displaystyle sim}$.^[2] Следующий пример, иллюстрирующий разницу между двумя видами отрицания, относится к Джон Маккарти. Школьный автобус может пересекать железнодорожные пути при условии, что нет приближающегося поезда. Если мы не обязательно знаем, приближается ли поезд, то правило, использующее отрицание как отказ

${ displaystyle { hbox {Cross}} leftarrow { hbox {not Train}}}$

не является адекватным представлением этой идеи: он говорит, что можно пересечь при отсутствии информации о приближающемся поезде. Более слабое правило, использующее сильное отрицание в теле, предпочтительнее:

${ displaystyle { hbox {Cross}} leftarrow , sim { hbox {Train}}.}$

Он говорит, что можно переходить, если мы знать что поезд не приближается.

Когерентные стабильные модели

Чтобы включить сильное отрицание в теорию стабильных моделей, Гельфонд и Лифшиц [1991] разрешили каждое из выражений ${ displaystyle A}$, ${ displaystyle B_ {i}}$, ${ displaystyle C_ {i}}$ в правиле

${ displaystyle A leftarrow B_ {1}, dots, B_ {m}, operatorname {not} C_ {1}, dots, operatorname {not} C_ {n}}$

быть либо атомом, либо атомом с префиксом сильного отрицания. Вместо стабильных моделей в этом обобщении используются наборы ответов, который может включать как атомы, так и атомы с сильным отрицанием.

Альтернативный подход [Ferraris and Lifschitz, 2005] рассматривает сильное отрицание как часть атома и не требует каких-либо изменений в определении стабильной модели. В этой теории сильного отрицания мы различаем атомы двух видов: положительный и отрицательный, и предположим, что каждый отрицательный атом является выражением формы ${ displaystyle sim A}$, куда ${ displaystyle A }$ является положительным атомом. Набор атомов называется последовательный если он не содержит «дополнительных» пар атомов ${ displaystyle A, sim A}$. Когерентные стабильные модели программы идентичны ее последовательным наборам ответов в смысле [Gelfond and Lifschitz, 1991].

Например, программа

${ displaystyle p leftarrow operatorname {not} q}$

${ displaystyle q leftarrow operatorname {not} p}$

${ displaystyle r }$

${ displaystyle sim r leftarrow operatorname {not} p}$

имеет две стабильные модели, ${ Displaystyle {п, г } }$ и ${ Displaystyle {д, г, сим г }}$. Первая модель последовательна; второй нет, потому что он содержит как атом ${ displaystyle r}$ и атом ${ displaystyle sim r}$.

Предположение о закрытом мире

Согласно [Gelfond, Lifschitz, 1991], предположение о закрытом мире для предиката ${ displaystyle p }$ можно выразить правилом

${ displaystyle sim p (X_ {1}, dots, X_ {n}) leftarrow operatorname {not} p (X_ {1}, dots, X_ {n})}$

(Соотношение ${ displaystyle p }$ не выполняется для кортежа ${ Displaystyle X_ {1}, точки, X_ {n}}$ если нет доказательств того, что это так). Например, стабильная модель программы

${ Displaystyle р (а, Ь) }$

${ Displaystyle р (с, г) }$

${ displaystyle sim p (X, Y) leftarrow operatorname {not} p (X, Y)}$

состоит из 2 положительных атомов

${ Displaystyle р (а, Ь), р (с, d) }$

и 14 отрицательных атомов

${ Displaystyle сим р (а, а), сим р (а, с), точки}$

т.е. сильное отрицание всех других положительных основных атомов, образованных из ${ Displaystyle р, а, б, с, d}$.

Логическая программа с сильным отрицанием может включать в себя правила допущения замкнутого мира для некоторых из своих предикатов и оставлять другие предикаты в области предположение об открытом мире.

Программы с ограничениями

Семантика стабильной модели была обобщена на многие виды логических программ, отличных от описанных выше наборов «традиционных» правил - правил формы

${ displaystyle A leftarrow B_ {1}, dots, B_ {m}, operatorname {not} C_ {1}, dots, operatorname {not} C_ {n}}$

куда ${ displaystyle A, B_ {1}, dots, B_ {m}, C_ {1}, dots, C_ {n}}$ атомы. Одно простое расширение позволяет программам содержать ограничения - правила с пустой головой:

${ displaystyle leftarrow B_ {1}, dots, B_ {m}, operatorname {not} C_ {1}, dots, operatorname {not} C_ {n}.}$

Напомним, что традиционное правило можно рассматривать как альтернативную запись пропозициональной формулы, если мы отождествляем запятую с конъюнкцией ${ displaystyle land}$, символ ${ displaystyle operatorname {not}}$ с отрицанием ${ displaystyle neg}$и соглашаемся лечить ${ Displaystyle F leftarrow G}$ как следствие ${ Displaystyle G rightarrow F}$ написано наоборот. Чтобы распространить это соглашение на ограничения, мы идентифицируем ограничение с отрицанием формулы, соответствующей его телу:

${ displaystyle neg (B_ {1} land cdots land B_ {m} land neg C_ {1} land cdots land neg C_ {n}).}$

Теперь мы можем распространить определение стабильной модели на программы с ограничениями. Как и в случае с традиционными программами, мы начинаем с программ, не содержащих отрицания. Такая программа может быть непоследовательной; тогда мы говорим, что у него нет стабильных моделей. Если такая программа ${ displaystyle P}$ непротиворечиво тогда ${ displaystyle P}$ имеет уникальную минимальную модель, и эта модель считается единственной стабильной моделью ${ displaystyle P}$.

Затем с помощью редуктов определяются устойчивые модели произвольных программ с ограничениями, которые формируются так же, как и в случае традиционных программ (см. определение стабильной модели над). Множество ${ displaystyle I}$ атомов - это стабильная модель программы ${ displaystyle P}$ с ограничениями, если редукция ${ displaystyle P}$ относительно ${ displaystyle I}$ имеет стабильную модель, и эта стабильная модель равна ${ displaystyle I}$.

В свойства семантики стабильной модели Сказанное выше для традиционных программ сохраняется и при наличии ограничений.

Ограничения играют важную роль в программирование набора ответов потому что добавление ограничения в логическую программу ${ displaystyle P}$ влияет на коллекцию стабильных моделей ${ displaystyle P}$ очень простым способом: он удаляет стабильные модели, которые нарушают ограничение. Другими словами, для любой программы ${ displaystyle P}$ с ограничениями и любым ограничением ${ displaystyle C}$, стабильные модели ${ Displaystyle P чашка {C }}$ можно охарактеризовать как устойчивые модели ${ displaystyle P}$ это удовлетворяет ${ displaystyle C}$.

Дизъюнктивные программы

В дизъюнктивное правило, голова может быть дизъюнкцией нескольких атомов:

${ displaystyle A_ {1}; dots; A_ {k} leftarrow B_ {1}, dots, B_ {m}, operatorname {not} C_ {1}, dots, operatorname {not} C_ { n}}$

(точка с запятой рассматривается как альтернативное обозначение дизъюнкции ${ displaystyle lor}$). Традиционные правила соответствуют ${ displaystyle k = 1}$, и ограничения к ${ displaystyle k = 0}$. Чтобы расширить семантику стабильной модели на дизъюнктивные программы [Gelfond and Lifschitz, 1991], мы сначала определяем, что при отсутствии отрицания (${ displaystyle n = 0}$ в каждом правиле) стабильными моделями программы являются ее минимальные модели. Определение редукции для дизъюнктивных программ остается так же, как прежде. Множество ${ displaystyle I}$ атомов - это стабильная модель из ${ displaystyle P}$ если ${ displaystyle I}$ стабильная модель редукции ${ displaystyle P}$ относительно ${ displaystyle I}$.

Например, набор ${ Displaystyle {п, г }}$ стабильная модель дизъюнктивной программы

${ displaystyle p; q }$

${ displaystyle r leftarrow operatorname {not} q}$

потому что это одна из двух минимальных моделей редукта

${ displaystyle p; q }$

${ displaystyle r. }$

В приведенной выше программе есть еще одна стабильная модель, ${ Displaystyle {д }}$.

Как и в случае с традиционными программами, каждый элемент любой стабильной модели дизъюнктивной программы ${ displaystyle P}$ это головной атом ${ displaystyle P}$, в том смысле, что это происходит в заголовке одного из правил ${ displaystyle P}$. Как и в традиционном случае, устойчивые модели дизъюнктивной программы минимальны и образуют антицепь. Проверка наличия стабильной модели у конечной дизъюнктивной программы ${ Displaystyle Sigma _ {2} ^ { rm {P}}}$-полный [Эйтер и Готтлоб, 1993].

Устойчивые модели набора пропозициональных формул

Правила и даже дизъюнктивные правила, имеют довольно особую синтаксическую форму по сравнению с произвольными пропозициональные формулы. Каждое дизъюнктивное правило по сути является импликацией, так что его предшествующий (основная часть правила) представляет собой сочетание литералы, и это последующий (голова) - дизъюнкция атомов. Дэвид Пирс [1997] и Паоло Феррарис [2005] показали, как расширить определение стабильной модели на наборы произвольных пропозициональных формул. Это обобщение имеет приложения к программирование набора ответов.

Формулировка Пирса сильно отличается от оригинальное определение стабильной модели. Вместо сокращений это относится к логика равновесия - система немонотонная логика на основе Крипке модели. Формулировка Феррариса, с другой стороны, основана на редуктах, хотя процесс построения редукта, который он использует, отличается от такового. описано выше. Два подхода к определению стабильных моделей для наборов пропозициональных формул эквивалентны друг другу.

Общее определение стабильной модели

Согласно [Ferraris, 2005], сокращать пропозициональной формулы ${ displaystyle F}$ относительно набора ${ displaystyle I}$ атомов - формула, полученная из ${ displaystyle F}$ заменяя каждую максимальную подформулу, которая не удовлетворяется ${ displaystyle I}$ с логической константой ${ displaystyle bot}$ (ложный). В сокращать набора ${ displaystyle P}$ пропозициональных формул относительно ${ displaystyle I}$ состоит из редуктов всех формул из ${ displaystyle P}$ относительно ${ displaystyle I}$. Как и в случае дизъюнктивных программ, мы говорим, что множество ${ displaystyle I}$ атомов - это стабильная модель из ${ displaystyle P}$ если ${ displaystyle I}$ является минимальным (по включению множества) среди моделей редукции ${ displaystyle P}$ относительно ${ displaystyle I}$.

Например, редукция множества

${ displaystyle {p, p land q rightarrow r, p land neg q rightarrow s }}$

относительно ${ displaystyle {p, s }}$ является

${ displaystyle {p, bot rightarrow bot, p land neg bot rightarrow s }.}$

С ${ displaystyle {p, s }}$ является моделью редукции, и соответствующие подмножества этого набора не являются моделями редукции, ${ displaystyle {p, s }}$ является устойчивой моделью данного набора формул.

Мы видел который ${ displaystyle {p, s }}$ также является стабильной моделью той же формулы, записанной в нотации логического программирования, в смысле исходное определение. Это пример общего факта: применительно к набору (соответствующих формулам) традиционных правил определение стабильной модели по Феррари эквивалентно первоначальному определению. То же самое верно и для программы с ограничениями и для дизъюнктивные программы.

Свойства общей семантики стабильной модели

Теорема, утверждающая, что все элементы любой стабильной модели программы ${ displaystyle P}$ главные атомы ${ displaystyle P}$ может быть расширен до наборов пропозициональных формул, если мы определим головные атомы следующим образом. Атом ${ displaystyle A}$ это голова атома набора ${ displaystyle P}$ пропозициональных формул, если хотя бы одно вхождение ${ displaystyle A}$ в формуле из ${ displaystyle P}$ не входит ни в область отрицания, ни в предшественник импликации. (Мы предполагаем, что здесь эквивалентность рассматривается как сокращение, а не как примитивная связка.)

В минимальность и антицепное свойство устойчивых моделей традиционной программы в общем случае не выполняются. Например, (одноэлементный набор, состоящий из) формула

${ displaystyle p lor neg p}$

имеет две стабильные модели, ${ displaystyle emptyset}$ и ${ displaystyle {p }}$. Последний не является минимальным, и он является надстройкой первого.

Проверка того, имеет ли конечный набор пропозициональных формул стабильную модель: ${ Displaystyle Sigma _ {2} ^ { rm {P}}}$-полный, как и в случае дизъюнктивные программы.

Смотрите также

• Программирование набора ответов
• Логическое программирование
• Отрицание как неудача

Примечания

Рекомендации

• Н. Бидо и К. Фридево [1987] Минимализм включает логику по умолчанию и ограниченность. В кн .: Материалы LICS-87, стр. 89–97.
• Т. Эйтер и Г. Готтлоб [1993] Результаты о сложности дизъюнктивного логического программирования и приложения к немонотонным логикам. В кн .: Материалы ИЛПС-93, стр. 266–278.
• М. ван Эмден и Р. Ковальски [1976] Семантика логики предикатов как языка программирования. Журнал ACM, Vol. 23, страницы 733–742.
• Ф. Фагес [1994] Последовательность завершения Кларка и существование стабильных моделей. Журнал методов логики в компьютерных науках, Vol. 1, страницы 51–60.
• П. Феррарис [2005] Наборы ответов для теорий высказываний. В кн .: Труды ЛПНМР-05, стр. 119–131.
• П. Феррарис и В. Лифшиц [2005] Математические основы программирования набора ответов. В: Мы их покажем! Очерки в честь Дов Габбая, Публикации Королевского колледжа, страницы 615–664.
• М. Гельфонд [1987] О стратифицированных аутоэпистемических теориях. В: Proceedings of AAAI-87, pages 207–211.
• М. Гельфонд и В. Лифшиц [1988] Семантика стабильной модели для логического программирования. В: Труды Пятой Международной конференции по логическому программированию (ICLP), страницы 1070–1080.
• М. Гельфонд и В. Лифшиц [1991] Классическое отрицание в логических программах и дизъюнктивных базах данных. Вычислительная техника нового поколения, Vol. 9, страницы 365–385.
• С. Хэнкс и Д. Макдермотт [1987] Немонотонная логика и временная проекция. Искусственный интеллект, Vol. 33, страницы 379–412.
• Ф. Линь и Ю. Чжао [2004] ASSAT: Вычисление наборов ответов логической программы решателями SAT. Искусственный интеллект, Vol. 157, страницы 115–137.
• В. Марек, В.С. Субрахманиан [1989] Связь между семантикой логической программы и немонотонными рассуждениями. В: Труды ICLP-89, страницы 600–617.
• Д. Пирс [1997] Новая логическая характеристика стабильных моделей и наборов ответов. В: Немонотонные расширения логического программирования (конспект лекций по искусственному интеллекту 1216), страницы 57–70.
• Р. Райтер [1980] Логика рассуждений по умолчанию. Искусственный интеллект, Vol. 13, страницы 81–132.