Факторизация Штейна - Stein factorization

В алгебраической геометрии Факторизация Штейна, представлен Карл Штайн  (1956 ) для случая комплексных пространств, утверждает, что собственный морфизм может быть факторизован как композиция конечного отображения и собственного морфизма со связными слоями. Грубо говоря, факторизация Штейна стягивает связные компоненты слоев отображения в точки.

Заявление

Одна из версий схем гласит следующее :(EGA, III.4.3.1) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFEGA (помощь)

Позволять Икс быть схема, S локально нетерова схема и ${ displaystyle f: X to S}$ а правильный морфизм. Тогда можно написать

${ displaystyle f = g circ f '}$

куда ${ displaystyle g двоеточие S ' to S}$ это конечный морфизм и ${ displaystyle f ' двоеточие X to S'}$ - правильный морфизм, так что ${ displaystyle f '_ {*} { mathcal {O}} _ {X} = { mathcal {O}} _ {S'}.}$

Само существование этого разложения нетрудно. Смотри ниже. Но, по Теорема Зарисского о связности, последняя часть выше говорит о том, что волокно ${ displaystyle f '^ {- 1} (s)}$ подключается для любого ${ displaystyle s in S}$. Следует:

Следствие: Для любого ${ displaystyle s in S}$, множество компонент связности волокна ${ displaystyle f ^ {- 1} (s)}$ находится в биекции с множеством точек в слое ${ displaystyle g ^ {- 1} (s)}$.

Доказательство

Набор:

${ displaystyle S '= operatorname {Spec} _ {S} f _ {*} { mathcal {O}} _ {X}}$

где Spec_S это относительный Спецификация. Конструкция дает естественную карту ${ Displaystyle g двоеточие S ' to S}$, что конечно, поскольку ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$ последовательна и ж правильно. Морфизм ж факторы через грамм и один получает ${ displaystyle f ' двоеточие X to S'}$, что правильно. По конструкции, ${ displaystyle f '_ {*} { mathcal {O}} _ {X} = { mathcal {O}} _ {S'}}$. Затем используется теорема о формальных функциях чтобы показать, что из последнего равенства следует ${ displaystyle f '}$ соединил волокна. (Эту часть иногда называют теоремой Зарисского о связности.)

Смотрите также

• Морфизм сокращения

Рекомендации

• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия, Тексты для выпускников по математике, 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90244-9, МИСТЕР  0463157
• Гротендик, Александр; Дьедонне, Жан (1961). "Eléments de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie". Публикации Mathématiques de l'IHÉS. 11. Дои:10.1007 / bf02684274. МИСТЕР  0217085.
• Штейн, Карл (1956), "Analytische Zerlegungen komplexer Räume", Mathematische Annalen, 132: 63–93, Дои:10.1007 / BF01343331, ISSN  0025-5831, МИСТЕР  0083045