Парадокс Стокса - Википедия - Stokes paradox

В науке о поток жидкости, Парадокс Стокса это явление, что не может быть ползущего потока жидкость вокруг диска в двух измерениях; или, что то же самое, отсутствие нетривиального стационарного решения для Уравнения Стокса вокруг бесконечно длинного цилиндра. Это противоположно 3-мерному случаю, где метод Стокса дает решение проблемы обтекания сферы.^[1][2]

Вывод

Вектор скорости ${ displaystyle u}$ из жидкость можно записать в терминах функция потока ${ displaystyle psi}$ в качестве

${ displaystyle mathbf {u} = { begin {pmatrix} { frac { partial psi} { partial y}} & - { frac { partial psi} { partial x}}. end {pmatrix}}}$

Как функция тока в задаче Стокса, ${ displaystyle psi}$ удовлетворяет бигармоническое уравнение.^[3] Поскольку самолет можно рассматривать как комплексная плоскость, проблема может быть решена методами комплексный анализ. В этом подходе ${ displaystyle psi}$ либо настоящий или же мнимая часть из

${ displaystyle { bar {z}} е (г) + г (г)}$.^[4]

Здесь ${ displaystyle z = x + iy}$, куда ${ displaystyle i}$ это воображаемый единица измерения, ${ displaystyle { bar {z}} = x-iy}$, и ${ Displaystyle f (z), g (z)}$ находятся голоморфные функции вне диска. Мы возьмем на себя реальную роль не теряя общий смысл.Теперь функция ${ displaystyle u}$, определяется ${ displaystyle u = u_ {x} + iu_ {y}}$ вводится. ${ displaystyle u}$ можно записать как ${ displaystyle u = -2i { frac { partial psi} { partial { bar {z}}}}}$, или же ${ displaystyle { frac {1} {2}} iu = { frac { partial psi} { partial { bar {z}}}}}$ (с использованием Производные Виртингера Это вычислено, чтобы быть равным

${ displaystyle { frac {1} {2}} iu = f (z) + z { bar {f prime}} (z) + { bar {g prime}} (z).}$

Без ограничения общности диск можно считать единичный диск, состоящий из всех сложные числа z из абсолютная величина меньше или равно 1.

В граничные условия находятся:

${ Displaystyle lim _ {г к infty} и = 1,}$

${ displaystyle u = 0,}$

в любое время ${ displaystyle | z | = 1}$,^[1][5]и представляя функции ${ displaystyle f, g}$ в качестве Серия Laurent:^[6]

${ displaystyle f (z) = sum _ {n = - infty} ^ { infty} f_ {n} z ^ {n}, quad g (z) = sum _ {n = - infty} ^ { infty} g_ {n} z ^ {n},}$

первое условие подразумевает ${ displaystyle f_ {n} = 0, g_ {n} = 0}$ для всех ${ Displaystyle п geq 2}$.

Используя полярную форму ${ displaystyle z}$ приводит к ${ displaystyle z ^ {n} = r ^ {n} e ^ {in theta}, { bar {z}} ^ {n} = r ^ {n} e ^ {- in theta}}$.После вывода в виде ряда ты, подставив в него это вместе с ${ displaystyle r = 1}$, и при изменении некоторых индексов второе граничное условие переводится как

${ displaystyle sum _ {n = - infty} ^ { infty} e ^ {in theta} left (f_ {n} + (2-n) { bar {f}} _ {2-n } + (1-n) { bar {g}} _ {1-n} right) = 0.}$

Поскольку комплексные тригонометрические функции ${ displaystyle e ^ {in theta}}$ составить линейно независимый множества, следует, что все коэффициенты в ряду равны нулю. Рассматривая эти условия для каждого ${ displaystyle n}$ после учета условия на бесконечности показывает, что ${ displaystyle f}$ и ${ displaystyle g}$ обязательно имеют форму

${ Displaystyle F (Z) = AZ + B, quad g (z) = - BZ + C,}$

куда ${ displaystyle a}$ мнимое число (противоположное собственному комплексно сопряженный ), и ${ displaystyle b}$ и ${ displaystyle c}$ - комплексные числа. Подставив это в ${ displaystyle u}$ дает результат, что ${ displaystyle u = 0}$ во всем мире ${ displaystyle u_ {x}}$ и ${ displaystyle u_ {y}}$ быть нулевым. Следовательно, движения быть не может - единственное решение состоит в том, что цилиндр покоится относительно всех точек жидкости.

Разрешение

Парадокс вызван ограниченной достоверностью приближения Стокса, как объясняется в Осеена критика: справедливость уравнений Стокса зависит от Число Рейнольдса мала, и это условие не может выполняться на сколь угодно больших расстояниях ${ displaystyle r}$.^[7][2]

Правильное решение для цилиндра было получено с использованием Уравнения Озеена, и те же уравнения приводят к улучшенной аппроксимации сила сопротивления на сфере.^[8][9]

Смотрите также

• Приближение Озеена
• Закон Стокса

Рекомендации