Стратифолд - Stratifold

В дифференциальная топология, филиал математика, а стратифолд является обобщением дифференцируемое многообразие где определенные виды особенности разрешены. В частности, стратифолд стратифицируется на дифференцируемые многообразия (возможно) различных размерностей. Стратифолды можно использовать для построения новых теории гомологии. Например, они предоставляют новую геометрическую модель для обычных гомологий. Концепция стратифолдов была изобретена Маттиас Крек. Основная идея аналогична идее топологически стратифицированное пространство, но адаптированный к дифференциальной топологии.

Определения

Прежде чем перейти к стратифолдам, мы определим предварительное понятие, которое отражает минимальное понятие гладкой структуры в пространстве: A дифференциальное пространство (в смысле Сикорского) - пара (Икс, C), куда Икс является топологическим пространством и C является подалгеброй непрерывных функций ${ displaystyle X to mathbb {R}}$ так что функция находится в C если это локально в C и ${ displaystyle g circ (f_ {1}, dots, f_ {n}): X to mathbb {R}}$ находится в C для ${ displaystyle g: mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R}}$ гладкий и ${ displaystyle f_ {i} in C}$ . Простой пример берет Икс гладкое многообразие и для C просто гладкие функции.

Для общего дифференциального пространства (Икс, C) и точка Икс в Икс мы можем определить, как и в случае многообразий a касательное пространство ${ displaystyle T_ {x} X}$ как векторное пространство из всех производные функции микробы вИкс. Определить страты ${ displaystyle X_ {i} = {x in X двоеточие T_ {x} X}$ имеет измерение i ${ displaystyle }}$ . Для п-мерное многообразие M у нас есть это ${ displaystyle M_ {n} = M}$ а все остальные слои пусты. Теперь мы готовы к определению стратифолда, в котором несколько слоев могут быть непустыми:

А k-размерный стратифолд является дифференциальным пространством (S, C), куда S это локально компактный Пространство Хаусдорфа с счетная база топологии. Все скелеты должны быть закрыты. Кроме того, мы предполагаем:

Подвеска

В ${ displaystyle (S_ {i}, C | _ {S_ {i}})}$ находятся я-мерные гладкие многообразия.
Для всех Икс в S, ограничение определяет изоморфизм из стебли ${ displaystyle C_ {x} to C ^ { infty} (S_ {i}) _ {x}}$ .
Все касательные пространства имеют размерность ≤k.
Для каждого Икс в S и каждый район U из Икс, существует функция ${ Displaystyle rho двоеточие U to mathbb {R}}$ с ${ Displaystyle rho (х) neq 0}$ и ${ displaystyle { text {supp}} ( rho) подмножество U}$ (функция удара).

А п-мерное стратифолд называется ориентированный если это (п - 1) -слой пуст, а его верхний слой ориентирован. Можно также определить стратифолды с краем, так называемые c-стратифолды. Один определяет их как пару ${ displaystyle (T, partial T)}$ топологических пространств таких, что ${ displaystyle T- partial T}$ является п-мерное стратифолд и ${ displaystyle partial T}$ является (п - 1) -мерное стратифолд вместе с классом эквивалентности воротники.

Важным подклассом стратифолдов являются обычный стратифолд, который можно грубо охарактеризовать как локальный взгляд вокруг точки в я-слоя как я-страта, умноженного на (п − я) -мерное стратифолд. Это условие выполняется в большинстве случаев стратифолда.

Примеры

Примеров стратифолдов предостаточно. В первую очередь следует рассмотреть открытый конус над многообразием M. Определим непрерывную функцию из S к реальности, чтобы быть в C если только это гладко на M × (0, 1) и локально постоянен вокруг точки конуса. Последнее условие автоматически согласно пункту 2 в определении стратифолда. Мы можем заменить M стратифолдом S в этой конструкции. Конус ориентирован тогда и только тогда, когда S ориентирован и не нульмерен. Если рассматривать (замкнутый) конус с дном, мы получим стратифолд с краемS.

Другие примеры стратифолдов: одноточечные компактификации и подвески многообразий, (реальных) алгебраических многообразий только с изолированными особенностями и (конечных) симплициальных комплексов.

Теории бордизма

Пример отношения бордизма

В этом разделе мы будем предполагать, что все стратифолды регулярны. Мы называем две карты ${ displaystyle S, S ' to X}$ из двух ориентированных компактных k-мерные стратифолды в пространство Икс бордант если существует ориентированный (k + 1) -мерное компактное стратифолд Т с границей S + (−S') такая, что отображение на Икс распространяется наТ. Множество классов эквивалентности таких отображений ${ displaystyle S to X}$ обозначается ${ displaystyle SH_ {k} X}$ . Множества фактически имеют структуру абелевых групп с несвязным объединением в качестве сложения. Можно разработать достаточно дифференциальную топологию стратифолдов, чтобы показать, что они определяют теория гомологии. Четко, ${ displaystyle SH_ {k} ({ text {point}}) = 0}$ за k > 0, поскольку каждое ориентированное стратифолд S - граница его конуса, ориентированная, если dim (S)> 0. Можно показать, что ${ displaystyle SH_ {0} ({ text {point}}) cong mathbb {Z}}$ . Следовательно, по Эйленберг-Стинрод теорема единственности, ${ Displaystyle SH_ {k} (X) cong H_ {k} (X)}$ для каждого места Икс гомотопически эквивалентен CW-комплекс, куда ЧАС обозначает особые гомологии. Для других пространств эти две теории гомологии могут не быть изоморфными (например, одноточечная компактификация поверхности бесконечного рода).

Существует также простой способ определить эквивариантные гомологии с помощью стратифолдов. Позволять грамм быть компактным Группа Ли. Затем мы можем определить теорию бордизмов стратифолдов, отображаемых в пространство Икс с грамм-действие такое же, как указано выше, только мы требуем, чтобы все стратифолды были оснащены сохраняющим ориентацию свободным грамм-действие и все отображения должны быть G-эквивариантными. Обозначим через ${ displaystyle SH_ {k} ^ {G} (X)}$ классы бордизма. Можно доказать ${ Displaystyle SH_ {к} ^ {G} (X) cong H_ {k- dim (G)} ^ {G} (X)}$ для любой X гомотопии, эквивалентной CW-комплексу.

Связь с теорией родов

А род является кольцевым гомоморфизмом из кольца бордизмов в другое кольцо. Например, Эйлерова характеристика определяет гомоморфизм колец ${ displaystyle Omega ^ {O} ({ text {point}}) to mathbb {Z} / 2 [t]}$ от неориентированное кольцо бордизма и подпись определяет гомоморфизм колец ${ displaystyle Omega ^ {SO} ({ text {point}}) to mathbb {Z} [t]}$ от кольцо ориентированного бордизма. Здесь т имеет в первом случае степень 1 а во втором случае степень 4, поскольку только многообразия размерностей, кратных 4 может иметь ненулевую подпись. Левые части этих гомоморфизмов являются теориями гомологий, оцениваемыми в точке. С помощью стратифолдов можно построить теории гомологий так, чтобы правые части были этими теориями гомологий, вычисленными в точке, гомологиями Эйлера и гомологиями Хирцебруха соответственно.

Карты Умкера

Предположим, имеется замкнутое вложение ${ displaystyle i: N hookrightarrow M}$ многообразий с ориентированным нормальным расслоением. Тогда можно определить карта умкера ${ Displaystyle H_ {k} (M) к H_ {k + dim (N) - dim (M)} (N)}$ . Одна из возможностей - использовать стратифолд: представить класс ${ Displaystyle х в H_ {k} (M)}$ стратифолдом ${ displaystyle f: S to M}$ . Тогда сделай ƒ поперекN. Пересечение S и N определяет новый стратифолд S'с картой N, который представляет класс в ${ Displaystyle Н_ {К + тусклый (N) - тусклый (М)} (N)}$ . Эту конструкцию можно повторить в контексте вложения Гильбертовы многообразия конечной коразмерности, которые можно использовать в строковая топология.