Результирующие напряжения - Stress resultants

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален Найдите источники: «Итоги стресса»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Август 2012 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Результирующие напряжения являются упрощенными представлениями стресс состояние в структурные элементы Такие как балки, тарелки, или же снаряды.^[1] Геометрия типичных структурных элементов позволяет упростить внутреннее напряженное состояние из-за наличия направления «толщины», в котором размер элемента намного меньше, чем в других направлениях. Как следствие, три тяга компоненты, которые изменяются от точки к точке в поперечном сечении, могут быть заменены набором результирующие силы и результирующие моменты. Эти результирующие напряжения (также называемый мембранные силы, поперечные силы, и изгибающий момент ), который может использоваться для определения подробного напряженного состояния в структурном элементе. Тогда трехмерная задача может быть сведена к одномерной задаче (для балок) или двумерной задаче (для пластин и оболочек).

Результирующие напряжения определяются как интегралы напряжения по толщине элемента конструкции. Интегралы взвешиваются целыми степенями координаты толщины z (или же Икс₃). Результирующие напряжения определены таким образом, чтобы представить эффект напряжения как мембранную силу. N (нулевая мощность в z), изгибающий момент M (мощность 1) на балке или оболочка (структура). Результирующие напряжения необходимы для устранения z зависимость напряжения от уравнений теории пластин и оболочек.

Результирующие напряжения в балках

Компоненты напряжения на поверхностях конструктивного элемента.

Рассмотрим элемент, изображенный на соседнем рисунке. Предположим, что направление толщины Икс₃. Если элемент был извлечен из балки, ширина и толщина сопоставимы по размеру. Позволять Икс₂ быть направлением ширины. потом Икс₁ - направление длины.

Мембранные и поперечные силы

Вектор результирующей силы за счет тяги в поперечном сечении (А) перпендикулярно Икс₁ ось

${ displaystyle mathbf {F} _ {1} = int _ {A} ( sigma _ {11} mathbf {e} _ {1} + sigma _ {12} mathbf {e} _ {2 } + sigma _ {13} mathbf {e} _ {3}) , dA}$

куда е₁, е₂, е₃ являются единичными векторами вдоль Икс₁, Икс₂, и Икс₃, соответственно. Определим результирующие напряжения так, что

${ displaystyle mathbf {F} _ {1} =: N_ {11} mathbf {e} _ {1} + V_ {2} mathbf {e} _ {2} + V_ {3} mathbf {e } _ {3}}$

куда N₁₁ это мембранная сила и V₂, V₃ - поперечные силы. Точнее, для балки высотой т и ширина б,

${ Displaystyle N_ {11} = int _ {- b / 2} ^ {b / 2} int _ {- t / 2} ^ {t / 2} sigma _ {11} , dx_ {3} , dx_ {2} ,.}$

Аналогичным образом равнодействующие силы сдвига равны

${ displaystyle { begin {bmatrix} V_ {2} V_ {3} end {bmatrix}} = int _ {- b / 2} ^ {b / 2} int _ {- t / 2} ^ {t / 2} { begin {bmatrix} sigma _ {12} sigma _ {13} end {bmatrix}} , dx_ {3} , dx_ {2} ,.}$

Изгибающие моменты

Вектор изгибающего момента от напряжений в поперечном сечении А перпендикулярно к Икс₁-ось задается

${ displaystyle mathbf {M} _ {1} = int _ {A} mathbf {r} times ( sigma _ {11} mathbf {e} _ {1} + sigma _ {12} mathbf {e} _ {2} + sigma _ {13} mathbf {e} _ {3}) , dA quad { text {where}} quad mathbf {r} = x_ {2} , mathbf {e} _ {2} + x_ {3} , mathbf {e} _ {3} ,.}$

Расширяя это выражение, мы имеем

${ displaystyle mathbf {M} _ {1} = int _ {A} left (-x_ {2} sigma _ {11} mathbf {e} _ {3} + x_ {2} sigma _ {13} mathbf {e} _ {1} + x_ {3} sigma _ {11} mathbf {e} _ {2} -x_ {3} sigma _ {12} mathbf {e} _ { 1} right) dA =: M_ {11} , mathbf {e} _ {1} + M_ {12} , mathbf {e} _ {2} + M_ {13} , mathbf {e } _ {3} ,.}$

Результирующие компоненты изгибающего момента можно записать как

${ displaystyle { begin {bmatrix} M_ {11} M_ {12} M_ {13} end {bmatrix}}: = int _ {- b / 2} ^ {b / 2} int _ {- t / 2} ^ {t / 2} { begin {bmatrix} x_ {2} sigma _ {13} -x_ {3} sigma _ {12} x_ {3} sigma _ { 11} - x_ {2} sigma _ {11} end {bmatrix}} , dx_ {3} , dx_ {2} ,.}$

Результирующие напряжения в пластинах и оболочках

Для пластин и раковин Икс₁ и Икс₂ размеры намного больше, чем размер в Икс₃ направление. Интегрирование по площади поперечного сечения должно было бы включать одно из более крупных измерений и привело бы к модели, которая слишком проста для практических расчетов. По этой причине напряжения интегрируются только по толщине, а результирующие напряжения обычно выражаются в единицах силы. на единицу длины (или момент на единицу длины) вместо истинной силы и момента, как в случае балок.

Мембранные и поперечные силы

Для пластин и оболочек необходимо учитывать два поперечных сечения. Первый перпендикулярен Икс₁ ось, а вторая перпендикулярна оси Икс₂ ось. Следуя той же процедуре, что и для балок, и учитывая, что теперь результирующие на единицу длины, мы имеем

${ displaystyle mathbf {F} _ {1} = int _ {- t / 2} ^ {t / 2} ( sigma _ {11} mathbf {e} _ {1} + sigma _ {12 } mathbf {e} _ {2} + sigma _ {13} mathbf {e} _ {3}) , dx_ {3} quad { text {and}} quad mathbf {F} _ {2} = int _ {- t / 2} ^ {t / 2} ( sigma _ {12} mathbf {e} _ {1} + sigma _ {22} mathbf {e} _ {2 } + sigma _ {23} mathbf {e} _ {3}) , dx_ {3}}$

Мы можем записать это как

${ displaystyle mathbf {F} _ {1} = N_ {11} mathbf {e} _ {1} + N_ {12} mathbf {e} _ {2} + V_ {1} mathbf {e} _ {3} quad { text {and}} quad mathbf {F} _ {2} = N_ {12} mathbf {e} _ {1} + N_ {22} mathbf {e} _ { 2} + V_ {2} mathbf {e} _ {3}}$

где мембранные силы определяются как

${ displaystyle { begin {bmatrix} N_ {11} N_ {22} N_ {12} end {bmatrix}}: = int _ {- t / 2} ^ {t / 2} { begin {bmatrix} sigma _ {11} sigma _ {22} sigma _ {12} end {bmatrix}} , dx_ {3}}$

а поперечные силы определяются как

${ Displaystyle { begin {bmatrix} V_ {1} V_ {2} end {bmatrix}} = int _ {- t / 2} ^ {t / 2} { begin {bmatrix} sigma _ {13} sigma _ {23} end {bmatrix}} , dx_ {3} ,.}$

Изгибающие моменты

Для результирующих изгибающих моментов имеем

${ displaystyle mathbf {M} _ {1} = int _ {- t / 2} ^ {t / 2} mathbf {r} times ( sigma _ {11} mathbf {e} _ {1 } + sigma _ {12} mathbf {e} _ {2} + sigma _ {13} mathbf {e} _ {3}) , dx_ {3} quad { text {and}} quad mathbf {M} _ {2} = int _ {- t / 2} ^ {t / 2} mathbf {r} times ( sigma _ {12} mathbf {e} _ {1} + sigma _ {22} mathbf {e} _ {2} + sigma _ {23} mathbf {e} _ {3}) , dx_ {3}}$

куда р = Икс₃ е₃. Расширяя эти выражения, мы получаем

${ displaystyle mathbf {M} _ {1} = int _ {- t / 2} ^ {t / 2} [- x_ {3} sigma _ {12} mathbf {e} _ {1} + x_ {3} sigma _ {11} mathbf {e} _ {2}] , dx_ {3} quad { text {and}} quad mathbf {M} _ {2} = int _ {-t / 2} ^ {t / 2} [- x_ {3} sigma _ {22} mathbf {e} _ {1} + x_ {3} sigma _ {12} mathbf {e} _ {2}] , dx_ {3}}$

Определите равнодействующие изгибающего момента так, чтобы

${ displaystyle mathbf {M} _ {1} =: - M_ {12} mathbf {e} _ {1} + M_ {11} mathbf {e} _ {2} quad { text {and} } quad mathbf {M} _ {2} =: - M_ {22} mathbf {e} _ {1} + M_ {12} mathbf {e} _ {2} ,.}$

Тогда равнодействующие изгибающих моментов имеют вид

${ displaystyle { begin {bmatrix} M_ {11} M_ {22} M_ {12} end {bmatrix}}: = int _ {- t / 2} ^ {t / 2} x_ { 3} , { begin {bmatrix} sigma _ {11} sigma _ {22} sigma _ {12} end {bmatrix}} , dx_ {3} ,.}$

Это результаты, которые часто встречаются в литературе, но необходимо следить за тем, чтобы знаки правильно интерпретировались.

Смотрите также

• Сдвигающая сила
• Изгибающий момент
• Теория пластин
• Гибка плит
• Теория пластин Кирхгофа – Лява
• Теория пластин Миндлина – Рейсснера
• Вибрация плит

Рекомендации