Теория пластин Миндлина – Рейсснера - Mindlin–Reissner plate theory

Деформация пластины с выделением смещения, средней поверхности (красный) и нормали к средней поверхности (синий)

В Теория Уфлянд-Миндлина виброплит является продолжением Теория пластин Кирхгофа – Лява что принимает во внимание срезать деформации по толщине пластины. Теория была предложена в 1948 году Яковом Соломоновичем Уфляндом.^[1] (1916-1991) и в 1951 г. Раймонд Миндлин^[2] Миндлин ссылается на работы Уфлянда. Следовательно, эта теория должна быть отнесена к нам теорией пластин Уфлянда-Миндлина, как это сделано в справочнике Елисаков^[3], и в статьях Андронова^[4], Елисаков, Аче и Халламель^[5], Локтев^[6], Россихин и Шитикова^[7] и Войнар^[8]. В 1994 году Елисаков^[9] предложил пренебречь производной четвертого порядка по времени в уравнениях Уфлянд-Миндлина. Похожая, но не идентичная теория в статических условиях была предложена ранее Эрик Рейсснер в 1945 г.^[10] Обе теории предназначены для толстых пластин, в которых нормаль к средней поверхности остается прямой, но не обязательно перпендикулярно средней поверхности. Теория Уфлянда-Миндлина используется для расчета деформации и подчеркивает в пластине, толщина которой составляет порядка одной десятой плоского размера, тогда как теория Кирхгофа – Лява применима к более тонким пластинам.

Наиболее часто используемая форма теории тарелок Уфлянд-Миндлина на самом деле принадлежит Миндлину. Теория Рейсснера немного отличается и является статическим аналогом теории Уфлянд-Миндлина. Обе теории включают деформации сдвига в плоскости, и обе являются расширением теории пластин Кирхгофа – Лява, включающей эффекты сдвига первого порядка.

Теория Уфлянд-Миндлина предполагает, что существует линейное изменение смещения по толщине пластины, но что толщина пластины не изменяется во время деформации. Дополнительным предположением является игнорирование нормального напряжения по толщине; предположение, которое также называют плоское напряжение состояние. С другой стороны, статическая теория Рейсснера предполагает, что напряжение изгиба является линейным, в то время как напряжение сдвига квадратично зависит от толщины пластины. Это приводит к ситуации, когда смещение по толщине не обязательно является линейным, а толщина пластины может изменяться во время деформации. Следовательно, статическая теория Рейсснера не использует условие плоского напряжения.

Теорию Уфлянд-Миндлина часто называют деформация сдвига первого порядка теория пластин. Поскольку теория деформации сдвига первого порядка подразумевает линейное изменение смещения по толщине, она несовместима со статической теорией пластин Райсснера.

Теория Миндлина

Теория Миндлина была первоначально выведена для изотропных пластин с использованием соображений равновесия Уфляндом. ^[1]. Здесь обсуждается более общий вариант теории, основанный на энергетических соображениях.^[11]

Предполагаемое поле смещения

Гипотеза Миндлина предполагает, что смещения в пластине имеют вид

${ displaystyle { begin {align} u _ { alpha} ( mathbf {x}) & = u _ { alpha} ^ {0} (x_ {1}, x_ {2}) - x_ {3} ~ varphi _ { alpha} ~; ~~ alpha = 1,2 u_ {3} ( mathbf {x}) & = w ^ {0} (x_ {1}, x_ {2}) end { выровнено}}}$

где ${ displaystyle x_ {1}}$ и ${ displaystyle x_ {2}}$ - декартовы координаты на средней поверхности недеформированной пластины и ${ displaystyle x_ {3}}$ - координата направления толщины, ${ displaystyle u _ { alpha} ^ {0}, ~ alpha = 1,2}$ - смещения средней поверхности в плоскости,${ Displaystyle ш ^ {0}}$ это смещение средней поверхности в ${ displaystyle x_ {3}}$ направление ${ displaystyle varphi _ {1}}$ и ${ displaystyle varphi _ {2}}$ обозначьте углы, которые нормаль к средней поверхности образует с ${ displaystyle x_ {3}}$ ось. В отличие от теории пластин Кирхгофа – Лява, где ${ displaystyle varphi _ { alpha}}$ напрямую связаны с ${ Displaystyle ш ^ {0}}$, Теория Миндлина не требует, чтобы ${ Displaystyle varphi _ {1} = ш _ {, 1} ^ {0}}$ и ${ Displaystyle varphi _ {2} = ш _ {, 2} ^ {0}}$.

Смещение средней поверхности (слева) и нормали (справа)

Отношения деформация-смещение

В зависимости от величины вращения нормалей пластины из основных кинематических допущений могут быть получены два различных приближения для деформаций.

Для малых деформаций и малых вращений соотношения деформация – перемещение для пластин Миндлина – Рейсснера имеют вид

${ displaystyle { begin {align} varepsilon _ { alpha beta} & = { frac {1} {2}} (u _ { alpha, beta} ^ {0} + u _ { beta, альфа} ^ {0}) - { frac {x_ {3}} {2}} ~ ( varphi _ { alpha, beta} + varphi _ { beta, alpha}) varepsilon _ { alpha 3} & = { cfrac {1} {2}} left (w _ {, alpha} ^ {0} - varphi _ { alpha} right) varepsilon _ {33} & = 0 конец {выровнено}}}$

Деформация сдвига и, следовательно, напряжение сдвига по толщине пластины не игнорируется в этой теории. Однако деформация сдвига постоянна по толщине пластины. Это не может быть точным, поскольку известно, что напряжение сдвига параболическое даже для пластин простой формы. Чтобы учесть неточность деформации сдвига, коэффициент поправки на сдвиг (${ displaystyle kappa}$) применяется так, чтобы правильное количество внутренней энергии предсказывалось теорией. потом

${ displaystyle varepsilon _ { alpha 3} = { cfrac {1} {2}} ~ kappa ~ left (w _ {, alpha} ^ {0} - varphi _ { alpha} right) }$

Уравнения равновесия

Уравнения равновесия пластины Миндлина – Рейсснера при малых деформациях и малых поворотах имеют вид

${ displaystyle { begin {align} & N _ { alpha beta, alpha} = 0 & M _ { alpha beta, beta} -Q _ { alpha} = 0 & Q _ { alpha, alpha } + q = 0 end {выровнено}}}$

где ${ displaystyle q}$ представляет собой приложенную внеплоскостную нагрузку, равнодействующие напряжения в плоскости определяются как

${ displaystyle N _ { alpha beta}: = int _ {- h} ^ {h} sigma _ { alpha beta} ~ dx_ {3} ,,}$

равнодействующие момента определяются как

${ Displaystyle M _ { alpha beta}: = int _ {- h} ^ {h} x_ {3} ~ sigma _ { alpha beta} ~ dx_ {3} ,,}$

а результирующие сдвига определяются как

${ displaystyle Q _ { alpha}: = kappa ~ int _ {- h} ^ {h} sigma _ { alpha 3} ~ dx_ {3} ,.}$

Вывод уравнений равновесия.

Для ситуации, когда деформации и повороты пластины малы, виртуальная внутренняя энергия определяется выражением ${ displaystyle { begin {align} delta U & = int _ { Omega ^ {0}} int _ {- h} ^ {h} { boldsymbol { sigma}}: delta { boldsymbol { epsilon}} ~ dx_ {3} ~ d Omega = int _ { Omega ^ {0}} int _ {- h} ^ {h} left [ sigma _ { alpha beta} ~ delta varepsilon _ { alpha beta} + 2 ~ sigma _ { alpha 3} ~ delta varepsilon _ { alpha 3} right] ~ dx_ {3} ~ d Omega & = int _ { Omega ^ {0}} int _ {- h} ^ {h} left [{ frac {1} {2}} ~ sigma _ { alpha beta} ~ ( delta u _ { alpha, beta} ^ {0} + delta u _ { beta, alpha} ^ {0}) - { frac {x_ {3}} {2}} ~ sigma _ { alpha beta} ~ ( delta varphi _ { alpha, beta} + delta varphi _ { beta, alpha}) + kappa ~ sigma _ { alpha 3} left ( delta w _ {, alpha} ^ {0} - delta varphi _ { alpha} right) right] ~ dx_ {3} ~ d Omega & = int _ { Omega ^ {0}} left [{ frac {1} {2}} ~ N _ { alpha beta} ~ ( delta u _ { alpha, beta} ^ {0} + delta u _ { beta, alpha} ^ {0}) - { frac {1} {2}} M _ { alpha beta} ~ ( delta varphi _ { alpha, beta} + delta varphi _ { beta, alpha}) + Q _ { alpha} left ( delta w _ {, alpha} ^ {0} - delta varphi _ { alpha} right) right] ~ d Omega конец {выровнен}}}$ где равнодействующие напряжения и равнодействующие момента напряжения определяются аналогично тому, как это делается для пластин Кирхгофа. Результирующая величина сдвига определяется как ${ displaystyle Q _ { alpha}: = kappa ~ int _ {- h} ^ {h} sigma _ { alpha 3} ~ dx_ {3}}$ Интеграция по частям дает ${ displaystyle { begin {align} delta U & = int _ { Omega ^ {0}} left [- { frac {1} {2}} ~ (N _ { alpha beta, beta} ~ delta u _ { alpha} ^ {0} + N _ { alpha beta, alpha} ~ delta u _ { beta} ^ {0}) + { frac {1} {2}} (M_ { alpha beta, beta} ~ delta varphi _ { alpha} + M _ { alpha beta, alpha} delta varphi _ { beta}) - Q _ { alpha, alpha} ~ delta w ^ {0} -Q _ { alpha} ~ delta varphi _ { alpha} right] ~ d Omega & + int _ { Gamma ^ {0}} left [{ frac {1} {2}} ~ (n _ { beta} ~ N _ { alpha beta} ~ delta u _ { alpha} ^ {0} + n _ { alpha} ~ N _ { alpha beta} ~ delta u _ { beta} ^ {0}) - { frac {1} {2}} (n _ { beta} ~ M _ { alpha beta} ~ delta varphi _ { alpha} + n _ { alpha} M _ { alpha beta} delta varphi _ { beta}) + n _ { alpha} ~ Q _ { alpha} ~ delta w ^ {0} right] ~ d Gamma end {выровнено }}}$ Из симметрии тензора напряжений следует, что ${ Displaystyle N _ { alpha beta} = N _ { beta alpha}}$ и${ Displaystyle М _ { альфа бета} = М _ { бета альфа}}$. Следовательно, ${ displaystyle { begin {align} delta U & = int _ { Omega ^ {0}} left [-N _ { alpha beta, alpha} ~ delta u _ { beta} ^ {0} + left (M _ { alpha beta, beta} -Q _ { alpha} right) ~ delta varphi _ { alpha} -Q _ { alpha, alpha} ~ delta w ^ {0} right] ~ d Omega & + int _ { Gamma ^ {0}} left [n _ { alpha} ~ N _ { alpha beta} ~ delta u _ { beta} ^ {0} -n _ { beta} ~ M _ { alpha beta} ~ delta varphi _ { alpha} + n _ { alpha} ~ Q _ { alpha} ~ delta w ^ {0} right] ~ d Гамма конец {выровнено}}}$ Для особого случая, когда верхняя поверхность пластины нагружена силой на единицу площади ${ Displaystyle д ( mathbf {х} ^ {0})}$, виртуальная работа внешних сил равна ${ displaystyle delta V _ { mathrm {ext}} = int _ { Omega ^ {0}} q ~ delta w ^ {0} ~ mathrm {d} Omega}$ Затем из принцип виртуальной работы, ${ displaystyle { begin {align} & int _ { Omega ^ {0}} left [N _ { alpha beta, alpha} ~ delta u _ { beta} ^ {0} - left ( M _ { alpha beta, beta} -Q _ { alpha} right) ~ delta varphi _ { alpha} + left (Q _ { alpha, alpha} + q right) ~ delta w ^ {0} right] ~ d Omega & qquad qquad = int _ { Gamma ^ {0}} left [n _ { alpha} ~ N _ { alpha beta} ~ delta u_ { beta} ^ {0} -n _ { beta} ~ M _ { alpha beta} ~ delta varphi _ { alpha} + n _ { alpha} ~ Q _ { alpha} ~ delta w ^ { 0} right] ~ d Gamma end {выровнено}}}$ Используя стандартные аргументы из вариационное исчисление, уравнения равновесия пластины Миндлина – Рейсснера имеют вид ${ displaystyle { begin {align} & N _ { alpha beta, alpha} = 0 & M _ { alpha beta, beta} -Q _ { alpha} = 0 & Q _ { alpha, alpha } + q = 0 end {выровнено}}}$

Изгибающие моменты и нормальные напряжения

Моменты и напряжения сдвига

Результирующие сдвиговые и касательные напряжения

Граничные условия

Граничные условия обозначаются граничными членами в принципе виртуальной работы.

Если единственной внешней силой является вертикальная сила на верхней поверхности пластины, граничные условия

${ displaystyle { begin {align} n _ { alpha} ~ N _ { alpha beta} & quad mathrm {или} quad u _ { beta} ^ {0} n _ { alpha} ~ M_ { alpha beta} & quad mathrm {или} quad varphi _ { alpha} n _ { alpha} ~ Q _ { alpha} & quad mathrm {или} quad w ^ {0 } конец {выровнено}}}$

Отношения напряжения и деформации

Соотношения между напряжениями и деформациями для линейной упругой пластины Миндлина – Рейсснера имеют вид

${ displaystyle { begin {align} sigma _ { alpha beta} & = C _ { alpha beta gamma theta} ~ varepsilon _ { gamma theta} sigma _ { alpha 3 } & = C _ { alpha 3 gamma theta} ~ varepsilon _ { gamma theta} sigma _ {33} & = C_ {33 gamma theta} ~ varepsilon _ { gamma theta } конец {выровнено}}}$

поскольку ${ displaystyle sigma _ {33}}$ не появляется в уравнениях равновесия, неявно предполагается, что он не влияет на баланс импульса и им пренебрегают. Это предположение также называется плоское напряжение предположение. Остальные соотношения напряжение – деформация для ортотропный материал в матричной форме можно записать как

${ displaystyle { begin {bmatrix} sigma _ {11} sigma _ {22} sigma _ {23} sigma _ {31} sigma _ {12} end { bmatrix}} = { begin {bmatrix} C_ {11} & C_ {12} & 0 & 0 & 0 C_ {12} & C_ {22} & 0 & 0 & 0 0 & 0 & C_ {44} & 0 & 0 0 & 0 & 0 & C_ {55} & 0 0 & 0 & 0 & 0 & C_ {66} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} varepsilon _ {11} varepsilon _ {22} varepsilon _ {23} varepsilon _ {31} varepsilon _ {12} end {bmatrix}}}$

потом

${ displaystyle { begin {align} { begin {bmatrix} N_ {11} N_ {22} N_ {12} end {bmatrix}} & = int _ {- h} ^ {h} { begin {bmatrix} C_ {11} & C_ {12} & 0 C_ {12} & C_ {22} & 0 0 & 0 & C_ {66} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} varepsilon _ {11} varepsilon _ {22} varepsilon _ {12} end {bmatrix}} dx_ {3} [5pt] & = left { int _ {- h} ^ {h} { begin {bmatrix} C_ {11} & C_ {12} & 0 C_ {12} & C_ {22} & 0 0 & 0 & C_ {66} end {bmatrix}} ~ dx_ {3} right } { begin {bmatrix } u_ {1,1} ^ {0} u_ {2,2} ^ {0} { frac {1} {2}} ~ (u_ {1,2} ^ {0} + u_ { 2,1} ^ {0}) конец {bmatrix}} конец {выровненный}}}$

и

${ displaystyle { begin {align} { begin {bmatrix} M_ {11} M_ {22} M_ {12} end {bmatrix}} & = int _ {- h} ^ {h} x_ {3} ~ { begin {bmatrix} C_ {11} & C_ {12} & 0 C_ {12} & C_ {22} & 0 0 & 0 & C_ {66} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} varepsilon _ {11} varepsilon _ {22} varepsilon _ {12} end {bmatrix}} dx_ {3} [5pt] & = - left { int _ {- h} ^ {h} x_ {3} ^ {2} ~ { begin {bmatrix} C_ {11} & C_ {12} & 0 C_ {12} & C_ {22} & 0 0 & 0 & C_ {66} end {bmatrix} } ~ dx_ {3} right } { begin {bmatrix} varphi _ {1,1} varphi _ {2,2} { frac {1} {2}} ( varphi _ {1,2} + varphi _ {2,1}) end {bmatrix}} end {align}}}$

Для условий сдвига

${ displaystyle { begin {bmatrix} Q_ {1} Q_ {2} end {bmatrix}} = kappa ~ int _ {- h} ^ {h} { begin {bmatrix} C_ {55} & 0 0 & C_ {44} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} varepsilon _ {31} varepsilon _ {32} end {bmatrix}} dx_ {3} = { cfrac { kappa } {2}} left { int _ {- h} ^ {h} { begin {bmatrix} C_ {55} & 0 0 & C_ {44} end {bmatrix}} ~ dx_ {3} right } { begin {bmatrix} w _ {, 1} ^ {0} - varphi _ {1} w _ {, 2} ^ {0} - varphi _ {2} end {bmatrix}}}$

В жесткость на растяжение количества

${ displaystyle A _ { alpha beta}: = int _ {- h} ^ {h} C _ { alpha beta} ~ dx_ {3}}$

В жесткость на изгиб количества

${ displaystyle D _ { alpha beta}: = int _ {- h} ^ {h} x_ {3} ^ {2} ~ C _ { alpha beta} ~ dx_ {3} ,.}$

Теория Миндлина для изотропных пластин

Для однородно толстых, однородных и изотропных пластин зависимости напряжения от деформации в плоскости пластины имеют вид

${ displaystyle { begin {bmatrix} sigma _ {11} sigma _ {22} sigma _ {12} end {bmatrix}} = { cfrac {E} {1- nu ^ {2}}} { begin {bmatrix} 1 & nu & 0 nu & 1 & 0 0 & 0 & { cfrac {1- nu} {2}} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} varepsilon _ {11} varepsilon _ {22} 2 varepsilon _ {12} end {bmatrix}} ,.}$

где ${ displaystyle E}$ - модуль Юнга, ${ displaystyle nu}$ - коэффициент Пуассона, а ${ displaystyle varepsilon _ { alpha beta}}$ деформации в плоскости. Напряжения и деформации сдвига по толщине связаны соотношением

${ displaystyle sigma _ {31} = 2G varepsilon _ {31} quad { text {and}} quad sigma _ {32} = 2G varepsilon _ {32}}$

где ${ Displaystyle G = E / (2 (1+ nu))}$ это модуль сдвига.

Учредительные отношения

Соотношения между результирующими напряжениями и обобщенными деформациями:

${ displaystyle { begin {align} { begin {bmatrix} N_ {11} N_ {22} N_ {12} end {bmatrix}} & = { cfrac {2Eh} {1- nu ^ {2}}} { begin {bmatrix} 1 & nu & 0 nu & 1 & 0 0 & 0 & 1- nu end {bmatrix}} { begin {bmatrix} u_ {1,1} ^ {0} u_ {2,2} ^ {0} { frac {1} {2}} ~ (u_ {1,2} ^ {0} + u_ {2,1} ^ {0}) end { bmatrix}}, [5pt] { begin {bmatrix} M_ {11} M_ {22} M_ {12} end {bmatrix}} & = - { cfrac {2Eh ^ {3}} {3 (1- nu ^ {2})}} { begin {bmatrix} 1 & nu & 0 nu & 1 & 0 0 & 0 & 1- nu end {bmatrix}} { begin {bmatrix} varphi _ {1,1} varphi _ {2,2} { frac {1} {2}} ( varphi _ {1,2} + varphi _ {2,1}) end {bmatrix }}, end {выровнены}}}$

и

${ displaystyle { begin {bmatrix} Q_ {1} Q_ {2} end {bmatrix}} = kappa G2h { begin {bmatrix} w _ {, 1} ^ {0} - varphi _ {1 } w _ {, 2} ^ {0} - varphi _ {2} end {bmatrix}} ,.}$

Жесткость при изгибе определяется как величина

${ Displaystyle D = { cfrac {2Eh ^ {3}} {3 (1- nu ^ {2})}} ,.}$

Для плиты толщиной ${ displaystyle h}$ (${ displaystyle h}$ из следующего все указывает на толщину), жесткость на изгиб имеет вид

${ Displaystyle D = { cfrac {Эх ^ {3}} {12 (1- nu ^ {2})}} ,.}$

Основные уравнения

Если мы проигнорируем продолжение пластины в плоскости, основные уравнения будут

${ displaystyle { begin {align} M _ { alpha beta, beta} -Q _ { alpha} & = 0 Q _ { alpha, alpha} + q & = 0 ,. end {align} }}$

В терминах обобщенных деформаций эти уравнения можно записать как

${ displaystyle { begin {align} & nabla ^ {2} left ({ frac { partial varphi _ {1}} { partial x_ {1}}} + { frac { partial varphi) _ {2}} { partial x_ {2}}} right) = { frac {q} {D}} & nabla ^ {2} w ^ {0} - { frac { partial varphi _ {1}} { partial x_ {1}}} - { frac { partial varphi _ {2}} { partial x_ {2}}} = - { frac {q} { kappa Gh }} & nabla ^ {2} left ({ frac { partial varphi _ {1}} { partial x_ {2}}} - { frac { partial varphi _ {2}} { partial x_ {1}}} right) = { frac {2 kappa Gh} {D (1- nu)}} left ({ frac { partial varphi _ {1}} { частичный x_ {2}}} - { frac { partial varphi _ {2}} { partial x_ {1}}} right) ,. end {align}}}$

Вывод уравнений равновесия в терминах деформаций.

Если мы расширим основные уравнения пластины Миндлина, мы получим ${ displaystyle { begin {align} { frac { partial M_ {11}} { partial x_ {1}}} + { frac { partial M_ {12}} { partial x_ {2}}} & = Q_ {1} quad ,, quad { frac { partial M_ {21}} { partial x_ {1}}} + { frac { partial M_ {22}} { partial x_ { 2}}} = Q_ {2} { frac { partial Q_ {1}} { partial x_ {1}}} + { frac { partial Q_ {2}} { partial x_ {2} }} & = - q ,. end {выровнено}}}$ Напоминая, что ${ displaystyle M_ {11} = - D left ({ frac { partial varphi _ {1}} { partial x_ {1}}} + nu { frac { partial varphi _ {2}) } { partial x_ {2}}} right) ~, ~~ M_ {22} = - D left ({ frac { partial varphi _ {2}} { partial x_ {2}}} + nu { frac { partial varphi _ {1}} { partial x_ {1}}} right) ~, ~~ M_ {12} = - { frac {D (1- nu)} { 2}} left ({ frac { partial varphi _ {1}} { partial x_ {2}}} + { frac { partial varphi _ {2}} { partial x_ {1}} }правильно)}$ и объединяя три основных уравнения, мы имеем ${ displaystyle { frac { partial ^ {3} varphi _ {1}} { partial x_ {1} ^ {3}}} + { frac { partial ^ {3} varphi _ {1} } { partial x_ {1} , partial x_ {2} ^ {2}}} + { frac { partial ^ {3} varphi _ {2}} { partial x_ {1} ^ {2 } , partial x_ {2}}} + { frac { partial ^ {3} varphi _ {2}} { partial x_ {2} ^ {3}}} = { frac {q} { D}} ,.}$ Если мы определим ${ displaystyle { mathcal {M}}: = D left ({ frac { partial varphi _ {1}} { partial x_ {1}}} + { frac { partial varphi _ {2 }} { partial x_ {2}}} right)}$ мы можем записать приведенное выше уравнение как ${ Displaystyle nabla ^ {2} { mathcal {M}} = д ,.}$ Точно так же, используя отношения между равнодействующими поперечной силы и деформациями, а также уравнение баланса равнодействующих поперечных сил, мы можем показать, что ${ displaystyle kappa Gh left ( nabla ^ {2} w ^ {0} - { frac { mathcal {M}} {D}} right) = - q ,.}$ Поскольку в задаче есть три неизвестных, ${ displaystyle varphi _ {1}}$, ${ displaystyle varphi _ {2}}$, и ${ Displaystyle ш ^ {0}}$, нам понадобится третье уравнение, которое можно найти, дифференцируя выражения для результирующих сил сдвига и определяющие уравнения через результирующие моменты момента и приравнивая их. Полученное уравнение имеет вид ${ displaystyle nabla ^ {2} left ({ frac { partial varphi _ {1}} { partial x_ {2}}} - { frac { partial varphi _ {2}} { частичный x_ {1}}} right) = { frac {2 kappa Gh} {D (1- nu)}} left ({ frac { partial varphi _ {1}} { partial x_ {2}}} - { frac { partial varphi _ {2}} { partial x_ {1}}} right) ,.}$ Следовательно, три основных уравнения относительно деформаций следующие: ${ displaystyle { begin {align} & nabla ^ {2} left ({ frac { partial varphi _ {1}} { partial x_ {1}}} + { frac { partial varphi) _ {2}} { partial x_ {2}}} right) = { frac {q} {D}} & nabla ^ {2} w ^ {0} - { frac { partial varphi _ {1}} { partial x_ {1}}} - { frac { partial varphi _ {2}} { partial x_ {2}}} = - { frac {q} { kappa Gh }} & nabla ^ {2} left ({ frac { partial varphi _ {1}} { partial x_ {2}}} - { frac { partial varphi _ {2}} { partial x_ {1}}} right) = { frac {2 kappa Gh} {D (1- nu)}} left ({ frac { partial varphi _ {1}} { частичный x_ {2}}} - { frac { partial varphi _ {2}} { partial x_ {1}}} right) ,. end {align}}}$

Граничные условия по краям прямоугольной пластины:

${ displaystyle { begin {align} { text {just supported}} quad & quad w ^ {0} = 0, M_ {11} = 0 ~ ({ text {или}} ~ M_ {22} = 0), varphi _ {1} = 0 ~ ({ text {или}} varphi _ {2} = 0) { text {clamped}} quad & quad w ^ {0} = 0, varphi _ {1} = 0, varphi _ {2} = 0 ,. End {выровнено}}}$

Связь со статической теорией Рейсснера

Канонические определяющие соотношения для теорий деформации сдвига изотропных пластин могут быть выражены как^[12][13]

${ displaystyle { begin {align} M_ {11} & = D left [{ mathcal {A}} left ({ frac { partial varphi _ {1}} { partial x_ {1}}) } + nu { frac { partial varphi _ {2}} { partial x_ {2}}} right) - (1 - { mathcal {A}}) left ({ frac { partial ^ {2} w ^ {0}} { partial x_ {1} ^ {2}}} + nu { frac { partial ^ {2} w ^ {0}} { partial x_ {2} ^ {2}}} right) right] + { frac {q} {1- nu}} , { mathcal {B}} [5pt] M_ {22} & = D left [{ mathcal {A}} left ({ frac { partial varphi _ {2}} { partial x_ {2}}} + nu { frac { partial varphi _ {1}} { partial x_ {1}}} right) - (1 - { mathcal {A}}) left ({ frac { partial ^ {2} w ^ {0}} { partial x_ {2} ^ {2 }}} + nu { frac { partial ^ {2} w ^ {0}} { partial x_ {1} ^ {2}}} right) right] + { frac {q} {1 - nu}} , { mathcal {B}} [5pt] M_ {12} & = { frac {D (1- nu)} {2}} left [{ mathcal {A} } left ({ frac { partial varphi _ {1}} { partial x_ {2}}} + { frac { partial varphi _ {2}} { partial x_ {1}}} справа) -2 (1 - { mathcal {A}}) , { frac { partial ^ {2} w ^ {0}} { partial x_ {1} partial x_ {2}}} right ] Q_ {1} & = { mathcal {A}} kappa Gh left ( varphi _ {1} + { frac { partial w ^ {0}} { частичный x_ {1}}} right) [5pt] Q_ {2} & = { mathcal {A}} kappa Gh left ( varphi _ {2} + { frac { partial w ^ { 0}} { partial x_ {2}}} right) ,. End {align}}}$

Обратите внимание, что толщина пластины составляет ${ displaystyle h}$ (и не ${ displaystyle 2h}$) в приведенных выше уравнениях и ${ Displaystyle D = Э ^ {3} / [12 (1- nu ^ {2})]}$. Если мы определим Момент Маркуса,

${ displaystyle { mathcal {M}} = D left [{ mathcal {A}} left ({ frac { partial varphi _ {1}} { partial x_ {1}}} + { frac { partial varphi _ {2}} { partial x_ {2}}} right) - (1 - { mathcal {A}}) nabla ^ {2} w ^ {0} right] + { frac {2q} {1- nu ^ {2}}} { mathcal {B}}}$

мы можем выразить результирующие сдвига как

${ displaystyle { begin {align} Q_ {1} & = { frac { partial { mathcal {M}}} { partial x_ {1}}} + { frac {D (1- nu) } {2}} left [{ mathcal {A}} { frac { partial} { partial x_ {2}}} left ({ frac { partial varphi _ {1}} { partial x_ {2}}} - { frac { partial varphi _ {2}} { partial x_ {1}}} right) right] - { frac { mathcal {B}} {1+ nu}} { frac { partial q} { partial x_ {1}}} [5pt] Q_ {2} & = { frac { partial { mathcal {M}}} { partial x_ { 2}}} - { frac {D (1- nu)} {2}} left [{ mathcal {A}} { frac { partial} { partial x_ {1}}} left ( { frac { partial varphi _ {1}} { partial x_ {2}}} - { frac { partial varphi _ {2}} { partial x_ {1}}} right) right ] - { frac { mathcal {B}} {1+ nu}} { frac { partial q} { partial x_ {2}}} ,. end {выровнено}}}$

Эти соотношения и определяющие уравнения равновесия, когда они объединены, приводят к следующим каноническим уравнениям равновесия в терминах обобщенных перемещений.

${ displaystyle { begin {align} & nabla ^ {2} left ({ mathcal {M}} - { frac { mathcal {B}} {1+ nu}} , q right) = -q & kappa Gh left ( nabla ^ {2} w ^ {0} + { frac { mathcal {M}} {D}} right) = - left (1 - { cfrac {{ mathcal {B}} c ^ {2}} {1+ nu}} right) q & nabla ^ {2} left ({ frac { partial varphi _ {1} } { partial x_ {2}}} - { frac { partial varphi _ {2}} { partial x_ {1}}} right) = c ^ {2} left ({ frac { partial varphi _ {1}} { partial x_ {2}}} - { frac { partial varphi _ {2}} { partial x_ {1}}} right) end {выровнено}}}$

где

${ displaystyle c ^ {2} = { frac {2 kappa Gh} {D (1- nu)}} ,.}$

Согласно теории Миндлина, ${ Displaystyle ш ^ {0}}$ - поперечное смещение средней поверхности пластины, а величины ${ displaystyle varphi _ {1}}$ и ${ displaystyle varphi _ {2}}$ - повороты нормали средней поверхности относительно ${ displaystyle x_ {2}}$ и ${ displaystyle x_ {1}}$-axes соответственно. Канонические параметры этой теории ${ displaystyle { mathcal {A}} = 1}$ и ${ displaystyle { mathcal {B}} = 0}$. Коэффициент поправки на сдвиг ${ displaystyle kappa}$ обычно имеет значение ${ displaystyle 5/6}$.

С другой стороны, согласно теории Рейсснера, ${ Displaystyle ш ^ {0}}$ - средневзвешенный поперечный прогиб при ${ displaystyle varphi _ {1}}$ и ${ displaystyle varphi _ {2}}$ являются эквивалентными вращениями, которые не идентичны вращениям в теории Миндлина.

Связь с теорией Кирхгофа – Любви

Если мы определим сумму моментов для теории Кирхгофа – Лява как

${ displaystyle { mathcal {M}} ^ {K}: = - D nabla ^ {2} w ^ {K}}$

мы можем показать это ^[12]

${ Displaystyle { mathcal {M}} = { mathcal {M}} ^ {K} + { frac { mathcal {B}} {1+ nu}} , q + D nabla ^ {2 } Phi}$

где ${ displaystyle Phi}$ - бигармоническая функция такая, что ${ Displaystyle nabla ^ {2} nabla ^ {2} Phi = 0}$. Мы также можем показать это, если ${ displaystyle w ^ {K}}$ - смещение, предсказанное для пластины Кирхгофа – Лява,

${ displaystyle w ^ {0} = w ^ {K} + { frac {{ mathcal {M}} ^ {K}} { kappa Gh}} left (1 - { frac {{ mathcal { B}} c ^ {2}} {2}} right) - Phi + Psi}$

где ${ displaystyle Psi}$ - функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа, ${ Displaystyle nabla ^ {2} Psi = 0}$. Вращения нормали связаны с перемещениями пластины Кирхгофа – Лява соотношением

${ displaystyle { begin {align} varphi _ {1} = - { frac { partial w ^ {K}} { partial x_ {1}}} - { frac {1} { kappa Gh} } left (1 - { frac {1} { mathcal {A}}} - { frac {{ mathcal {B}} c ^ {2}} {2}} right) Q_ {1} ^ {K} + { frac { partial} { partial x_ {1}}} left ({ frac {D} { kappa Gh { mathcal {A}}}} nabla ^ {2} Phi + Phi - Psi right) + { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { partial Omega} { partial x_ {2}}} varphi _ {2} = - { frac { partial w ^ {K}} { partial x_ {2}}} - { frac {1} { kappa Gh}} left (1 - { frac {1} { mathcal {A}}} - { frac {{ mathcal {B}} c ^ {2}} {2}} right) Q_ {2} ^ {K} + { frac { partial} { partial x_ {2}}} left ({ frac {D} { kappa Gh { mathcal {A}}}} nabla ^ {2} Phi + Phi - Psi right) + { frac {1 } {c ^ {2}}} { frac { partial Omega} { partial x_ {1}}} end {выровнено}}}$

где

${ Displaystyle Q_ {1} ^ {K} = - D { frac { partial} { partial x_ {1}}} left ( nabla ^ {2} w ^ {K} right) ~, ~ ~ Q_ {2} ^ {K} = - D { frac { partial} { partial x_ {2}}} left ( nabla ^ {2} w ^ {K} right) ~, ~~ Омега: = { frac { partial varphi _ {1}} { partial x_ {2}}} - { frac { partial varphi _ {2}} { partial x_ {1}}} , .}$

использованная литература

Смотрите также

• Гибка
• Гибка плит
• Теория бесконечно малых деформаций
• Линейная эластичность
• Теория пластин
• Стресс (механика)
• Результирующие напряжения
• Вибрация плит