Супермодуль - Википедия - Supermodule

В математика, а супермодуль это Z₂-градуированный модуль через супер кольцо или же супералгебра. Супермодули возникают в супер линейная алгебра который представляет собой математическую основу для изучения концепции суперсимметрия в теоретическая физика.

Супермодули над коммутативная супералгебра можно рассматривать как обобщение супер векторные пространства над (чисто четным) поле K. Супермодули часто играют более важную роль в суперинейной алгебре, чем супервекторные пространства. Причина в том, что часто необходимо или полезно расширить поле скаляров, включив в него нечетные переменные. При этом мы переходим от полей к коммутативным супералгебрам и от векторных пространств к модулям.

В этой статье предполагается, что все супералгебры ассоциативный и единый если не указано иное.

Формальное определение

Позволять А быть фиксированным супералгебра. А правый супермодуль над А это правый модуль E над А с прямая сумма разложение (как абелева группа )

${ displaystyle E = E_ {0} oplus E_ {1}}$

такое, что умножение на элементы А удовлетворяет

${ displaystyle E_ {i} A_ {j} substeq E_ {i + j}}$

для всех я и j в Z₂. Подгруппы E_я тогда правы А₀-модули.

Элементы E_я как говорят однородный. В паритет однородного элемента Икс, обозначаемый |Икс|, равно 0 или 1 в зависимости от того, находится ли он в E₀ или же E₁. Элементы четности 0 называются четное и те, у которых паритет 1, чтобы быть странный. Если а однородный скаляр и Икс является однородным элементом E тогда |Икс·а| однородна и |Икс·а| = |Икс| + |а|.

Так же, левые супермодули и супербимодули определены как левые модули или же бимодули над А чьи скалярные умножения очевидным образом учитывают градуировки. Если А является суперкоммутативный, то каждый левый или правый супермодуль А можно рассматривать как супербимодуль, задав

${ displaystyle a cdot x = (- 1) ^ {| a || x |} x cdot a}$

для однородных элементов а ∈ А и Икс ∈ E, и продолжаясь по линейности. Если А чисто даже это сводится к обычному определению.

Гомоморфизмы

А гомоморфизм между супермодулями - это модульный гомоморфизм что сохраняет оценку. E и F быть правыми супермодулями над А. Карта

${ displaystyle phi: E to F ,}$

является гомоморфизмом супермодулей, если

• ${ Displaystyle фи (х + у) = фи (х) + фи (у) ,}$
• ${ Displaystyle фи (х cdot a) = phi (x) cdot a ,}$
• ${ Displaystyle фи (E_ {я}) substeq F_ {я} ,}$

для всех а∈А и все Икс,у∈E. Множество всех гомоморфизмов модулей из E к F обозначается Hom (E, F).

Во многих случаях необходимо или удобно рассматривать более широкий класс морфизмов между супермодулями. Позволять А - суперкоммутативная алгебра. Тогда все супермодули закончились А рассматриваться как супербимодули естественным образом. Для супермодулей E и F, позволять Hom(E, F) обозначают пространство всех верно A-линейные отображения (т.е. все гомоморфизмы модулей из E к F считается неклассифицированным правом А-модули). Есть естественная оценка по Hom(E, F), где четные гомоморфизмы - те, которые сохраняют градуировку

${ displaystyle phi (E_ {i}) substeq F_ {i}}$

а нечетные гомоморфизмы - это те, которые обращают градуировку

${ displaystyle phi (E_ {i}) substeq F_ {1-i}.}$

Если φ ∈ Hom(E, F) и а ∈ А однородны, то

${ Displaystyle phi (х cdot a) = phi (x) cdot a qquad phi (a cdot x) = (- 1) ^ {| a || phi |} a cdot phi (Икс).}$

То есть четные гомоморфизмы линейны как справа, так и слева, тогда как нечетные гомоморфизмы линейны справа, но слева антилинейный (относительно градуировочного автоморфизма).

Набор Hom(E, F) можно задать структуру бимодуля над А установив

${ Displaystyle { begin {выровнен} (a cdot phi) (x) & = a cdot phi (x) ( phi cdot a) (x) & = phi (a cdot x ). end {align}}}$

С вышеуказанной оценкой Hom(E, F) становится супермодулем над А четная часть которого есть множество всех обычных гомоморфизмов супермодулей

${ displaystyle mathbf {Hom} _ {0} (E, F) = mathrm {Hom} (E, F).}$

На языке теория категорий, класс всех супермодулей над А образует категория с гомоморфизмами супермодулей в качестве морфизмов. Эта категория является симметричный моноидальная замкнутая категория под супертензорным произведением, внутренний функтор Hom дан кем-то Hom.

Рекомендации

• Делинь, Пьер; Джон В. Морган (1999). «Заметки о суперсимметрии (вслед за Джозефом Бернштейном)». Квантовые поля и струны: курс математиков. 1. Американское математическое общество. С. 41–97. ISBN  0-8218-2012-5.
• Манин, Ю. И. (1997). Теория калибровочного поля и комплексная геометрия ((2-е изд.) Изд.). Берлин: Springer. ISBN  3-540-61378-1.
• Варадараджан, В. С. (2004). Суперсимметрия для математиков: введение. Конспект лекций Куранта по математике 11. Американское математическое общество. ISBN  0-8218-3574-2.