Супероператор - Superoperator

В физика, а супероператор это линейный оператор действуя на векторное пространство из линейные операторы.[1]

Иногда этот термин более конкретно относится к полностью положительная карта который сохраняет или не увеличивает след своего аргумент. Это специализированное значение широко используется в области квантовые вычисления, особенно квантовое программирование, поскольку они характеризуют сопоставления между матрицы плотности.

Использование супер- префикс здесь никоим образом не связан с другим его использованием в математической физике. То есть супероператоры не имеют отношения к суперсимметрия и супералгебра которые являются расширением обычных математических понятий, определяемых расширением звенеть номеров для включения Числа Грассмана. Поскольку супероператоры сами являются операторами, использование оператора супер- префикс используется, чтобы отличить их от операторов, на которые они действуют.

Умножение влево / вправо

Определение левого и правого супероператоров умножения с помощью и соответственно можно выразить коммутатор как

Далее мы векторизовать матрица что является отображением

Матричное представление затем вычисляется с использованием того же отображения

указывая, что . Аналогично можно показать, что . Эти представления позволяют нам вычислять такие вещи, как собственные значения, связанные с супероператорами. Эти собственные значения особенно полезны в области открытых квантовых систем, где действительные части Линдблад супероператор собственные значения будут указывать, будет ли квантовая система релаксировать или нет.

Пример уравнения фон Неймана

В квантовая механика то Уравнение Шредингера, выражает временную эволюцию вектора состояния действием гамильтониана который является оператором, отображающим векторы состояния в векторы состояния.

В более общей формулировке Джон фон Нейман, статистические состояния и ансамбли выражаются операторы плотности а не векторы состояния. В этом контексте эволюция оператора плотности во времени выражается через уравнение фон Неймана в котором на оператор плотности действует супероператор отображение операторов в операторы. Это определяется взятием коммутатор относительно гамильтонова оператора:

куда

Поскольку коммутаторные скобки широко используются в QM, это явное супероператорное представление действия гамильтониана обычно опускается.

Пример производных функций в пространстве операторов

При рассмотрении операторнозначной функции операторов например, когда мы определяем квантово-механический гамильтониан частицы как функцию от операторов положения и импульса, мы можем (по любой причине) определить «производную оператора» как супероператор отображение оператора на оператор.

Например, если то его операторная производная - это супероператор, определяемый следующим образом:

Эта «производная оператора» - это просто Матрица якобиана функции (операторов), где ввод и вывод оператора просто рассматриваются как векторы и расширяется пространство операторов в некотором базисе. Тогда матрица Якоби является оператором (на одном более высоком уровне абстракции), действующим в этом векторном пространстве (операторов).

Смотрите также

Линдблад супероператор

Рекомендации

  1. ^ Джон Прескилл, Конспект лекций по курсу квантовых вычислений на Калтех, Гл. 3, [1]