Конфигурация Сильвестра-Галлая - Sylvester–Gallai configuration

В геометрия, а Конфигурация Сильвестра-Галлая состоит из конечного подмножества точек проективное пространство с тем свойством, что линия, проходящая через любые две точки в подмножестве, также проходит по крайней мере через одну другую точку подмножества.

Вместо того чтобы определять конфигурации Сильвестра – Галла как подмножества точек проективного пространства, их можно определить как абстрактные структуры падения точек и линий, удовлетворяющих тем свойствам, что для каждой пары точек структура включает ровно одну строку, содержащую эту пару, и что каждая линия содержит не менее трех точек. В этой более общей форме их также называют Рисунки Сильвестра-Галлая. Близкое понятие - это Сильвестр матроид, а матроид с тем же свойством, что и конфигурация Сильвестра – Галлаи, заключающаяся в отсутствии двухточечных прямых.

Реальная и сложная встраиваемость

в Евклидова плоскость, то реальная проективная плоскость, многомерные евклидовы пространства или вещественные проективные пространства, или пространства с координатами в упорядоченное поле, то Теорема Сильвестра – Галлаи показывает, что единственно возможные конфигурации Сильвестра – Галла одномерны: они состоят из трех или более коллинеарных точек.Жан-Пьер Серр  (1966 ) был вдохновлен этим фактом и примером Конфигурация Гессен чтобы спросить, является ли в пространствах с координатами комплексных чисел каждая конфигурация Сильвестра – Галла не более двухмерной. Эрдеш (1980) повторил вопрос. Келли (1986) утвердительно ответил на вопрос Серра; Лось, Преториус и Свейнпол (2006) упростил доказательство Келли и аналогично доказал, что в пространствах с кватернион координаты, все конфигурации Сильвестра – Галлаи должны лежать в трехмерном подпространстве.

Проективные конфигурации

Моцкин (1951) изучил проективные конфигурации это также конфигурации Сильвестра – Галлаи; проективная конфигурация имеет дополнительное требование, чтобы каждые две точки имели одинаковое количество прямых, проходящих через них, и каждые две прямые содержали одинаковое количество точек. Конфигурации Сильвестра – Галлаи включают, например, аффинные и проективные пространства любой размерности, определенные над конечными полями , и все это также проективные конфигурации.

Каждой проективной конфигурации можно дать обозначение (па ℓб), куда п это количество баллов, ℓ количество строк, а количество линий на точку, и б количество точек в строке, удовлетворяющее уравнению па = ℓb. Моцкин заметил, что для того, чтобы эти параметры определяли план Сильвестра – Галлаи, необходимо, чтобы б > 2, что п < ℓ (для любого набора неколлинеарных точек в проективном пространстве определяет, по крайней мере, столько же прямых, сколько точек), и что они также подчиняются дополнительному уравнению

Так, левая часть уравнения - это количество пар точек, а правая часть - это количество пар, которые покрываются линиями конфигурации.

Планы Сильвестра – Галлая, которые также являются проективными конфигурациями, - это то же самое, что Системы Штайнера с параметрами ST (2,б,п).

Моцкин перечислил несколько примеров небольших конфигураций этого типа:

  • 7373, параметры Самолет Фано, проективная плоскость над полем из двух элементов.
  • 94123, параметры Конфигурация Гессен. Это аффинная плоскость над трехэлементным полем, которая также может быть реализована с координатами комплексных чисел, как набор точки перегиба из эллиптическая кривая.
  • 134134, параметры проективной плоскости над трехэлементным полем.
  • 136263, параметры двух 13-элементных Тройные системы Штейнера.
  • 157353, параметры трехмерного проективного пространства над двухэлементным полем и 79 других систем троек Штейнера
  • 165204, параметры аффинной плоскости над четырехэлементным полем.
  • 215215, параметры проективной плоскости над четырехэлементным полем.
  • 256305, параметры аффинной плоскости над пятиэлементным полем.

Борос, Фюреди и Келли (1989) и Боковски и Рихтер-Геберт (1992) изучили альтернативные геометрические представления планов Сильвестра – Галлая, в которых точки рисунка представлены косые линии в четырехмерном пространстве и каждая линия дизайна представлена ​​гиперплоскостью. Обе проекционные плоскости с семью точками и с 13 точками имеют представления этого типа.

Другие примеры

Келли и Нванкпа (1973) В более общем плане все неколлинеарные конфигурации Сильвестра – Галлаи и планы Сильвестра – Галлаи классифицируются не более чем по 14 точкам. Они включают уникальный дизайн с десятью точками; в нем одни точки содержатся в трех четырехточечных прямых, а другие точки принадлежат трем трехточечным прямым и одной четырехточечной прямой. Существует также уникальный дизайн Сильвестра – Галлая с 11 пунктами, два различных дизайна с 12 точками и четыре неправильных рисунка с 13 точками. По 14 пунктам они обнаружили, что снова возможен только один вариант дизайна Сильвестра-Галлая.

Рекомендации