Теорема куба - Theorem of the cube

В математика, то теорема куба является условием для линейный пакет над произведением трех полных многообразий тривиально. Этот принцип был открыт в контексте линейная эквивалентность, посредством Итальянская школа алгебраической геометрии. Окончательный вариант теоремы о кубе впервые опубликовал Ланг (1959), кто приписал это Андре Вайль. Обсуждение истории было дано Клейман (2005). Лечение с помощью когомологии пучков, и описание с точки зрения Функтор Пикара, был предоставлен Мамфорд (2008).

Заявление

Теорема утверждает, что для любого полные разновидности U, V и W над алгебраически замкнутым полем и заданными точками ты, v и ш на них любой обратимая связка L который имеет тривиальное ограничение на каждый из U× V × {ш}, U× {v} × W, и {ты} × V × W, само по себе тривиально. (Мамфорд, стр. 55; там результат немного сильнее, поскольку одна из разновидностей не обязательно должна быть полной и может быть заменена связной схемой.)

Особые случаи

На окольцованное пространство Икс, обратимая связка L является банальный если изоморфен О_Икс, как О_Икс-модуль. Если база Икс это комплексное многообразие, то обратимый пучок - это (пучок сечений) a голоморфное линейное расслоение, а тривиальный означает голоморфно эквивалентный тривиальная связка, а не только топологически эквивалентны.

Пересмотр с использованием биэкстензий

Результат Вейля был пересмотрен с точки зрения biextensions, концепция, которая сейчас обычно используется в теория двойственности абелевых многообразий.^[1]

Теорема квадрата

В теорема квадрата (Lang 1959 ) (Мамфорд 2008, с.59) является следствием (также принадлежащим Вейлю), применимым к абелева разновидность А. Одна из его версий гласит, что функция φ_L принимая Икс∈А к Т^*
_ИксL⊗L⁻¹ является гомоморфизмом групп из А к Рис(А) (куда Т^*
_Икс переводится Икс в линейных связках).

Рекомендации

• Клейман, Стивен Л. (2005), «Схема Пикара», Фундаментальная алгебраическая геометрия, Математика. Обзоры Monogr., 123, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, стр. 235–321, arXiv:математика / 0504020, Bibcode:2005математика ...... 4020K, МИСТЕР  2223410
• Ланг, Серж (1959), Абелевы разновидности, Международные трактаты по чистой и прикладной математике, 7, Нью-Йорк: Interscience Publishers, Inc., МИСТЕР  0106225
• Мамфорд, Дэвид (2008) [1970], Абелевы разновидности, Институт фундаментальных исследований в области математики им. Тата, 5, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, ISBN  978-81-85931-86-9, МИСТЕР  0282985, OCLC  138290

Примечания