Граница Терстона - Thurston boundary

В математика то Граница Терстона из Пространство Тейхмюллера поверхности получается как граница его замыкания в проективном пространстве функционалов от простых замкнутых кривых на поверхности. Его можно интерпретировать как пространство проективных мерные слоения на поверхности.

Граница Терстона пространства Тейхмюллера замкнутой поверхности рода ${ displaystyle g}$ гомеоморфна сфере размерности ${ displaystyle 6g-7}$. Действие группа классов отображения на пространстве Тейхмюллера непрерывно продолжается по объединению с границей.

Измеренные слоения на поверхностях

Позволять ${ displaystyle S}$ быть замкнутой поверхностью. А измеренное слоение ${ displaystyle ({ mathcal {F}}, mu)}$ на ${ displaystyle S}$ это слоение ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ на ${ displaystyle S}$ которые могут допускать изолированные особенности вместе с поперечная мера ${ displaystyle mu}$, т.е. функция, которая для каждой дуги ${ displaystyle alpha}$ поперек слоения ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ связывает положительное действительное число ${ Displaystyle му ( альфа)}$. Слоение и мера должны быть совместимы в том смысле, что мера инвариантна, если дуга деформируется с концами, оставшимися в одном листе.^[1]

Позволять ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ - пространство изотопических классов замкнутых простых кривых на ${ displaystyle S}$. Измеренное слоение ${ displaystyle ({ mathcal {F}}, mu)}$ может использоваться для определения функции ${ Displaystyle я (({ mathcal {F}}, mu), cdot) in mathbb {R} _ {+} ^ { mathcal {S}}}$ следующим образом: если ${ displaystyle gamma}$ любая кривая пусть

${ displaystyle mu ( gamma) = sup _ { alpha _ {1}, ldots, alpha _ {r}} left ( sum _ {i = 1} ^ {r} mu ( альфа _ {i}) right)}$

где супремум берется по всем наборам непересекающихся дуг ${ displaystyle alpha _ {1} ldots, alpha _ {r} subset gamma}$ которые поперек ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ (особенно ${ Displaystyle му ( гамма) = 0}$ если ${ displaystyle gamma}$ закрытый лист ${ displaystyle { mathcal {F}}}$). Тогда если ${ displaystyle sigma in { mathcal {S}}}$ номер перекрестка определяется:

${ Displaystyle я { bigl (} ({ mathcal {F}}, mu), sigma { bigr)} = inf _ { gamma in sigma} mu ( gamma)}$.

Два мерных слоения называются эквивалент если они определяют одну и ту же функцию на ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ (есть топологический критерий этой эквивалентности через Уайтхед движется). Космос ${ displaystyle { mathcal {PMF}}}$ из проекционные измеренные пластинки - изображение множества измеренных пластин в проекционном пространстве ${ Displaystyle mathbb {P} ( mathbb {R} _ {+} ^ { mathcal {S}})}$ через вложение ${ displaystyle i}$. Если род ${ displaystyle g}$ из ${ displaystyle S}$ не меньше 2, пробел ${ displaystyle { mathcal {PMF}}}$ гомеоморфен ${ displaystyle 6g-7}$-мерная сфера (в случае тора это 2-сфера; мерных слоений на сфере нет).

Компактификация пространства Тейхмюллера

Вложение в пространство функционалов

Позволять ${ displaystyle S}$ быть замкнутой поверхностью. Напомним, что точка в пространстве Тейхмюллера - это пара ${ displaystyle (X, f)}$ куда ${ displaystyle X}$ является гиперболической поверхностью (риманово многообразие с секционной кривизной, все равны ${ displaystyle -1}$) и ${ displaystyle f}$ гомеоморфизм, с точностью до естественного отношения эквивалентности. Пространство Тейхмюллера может быть реализовано как пространство функционалов на множестве ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ изотопических классов простых замкнутых кривых на ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ следующее. Если ${ Displaystyle х = (Х, е) в Т (S)}$ и ${ displaystyle sigma in { mathcal {S}}}$ тогда ${ Displaystyle ell (х, sigma)}$ определяется как длина единственной замкнутой геодезической на ${ displaystyle X}$ в изотопическом классе ${ displaystyle f _ {*} sigma}$. Карта ${ Displaystyle х mapsto ell (х, cdot)}$ это вложение ${ Displaystyle T (S)}$ в ${ Displaystyle mathbb {R} _ {+} ^ { mathcal {S}}}$, который можно использовать для придания пространству Тейхмюллера топологии (правая часть задает топологию произведения).

Фактически, отображение в проективное пространство ${ Displaystyle mathbb {P} ( mathbb {R} _ {+} ^ { mathcal {S}})}$ все еще вложение: пусть ${ displaystyle { mathcal {T}}}$ обозначают изображение ${ Displaystyle T (S)}$ там. Поскольку это пространство компактно, замыкание ${ Displaystyle { overline { mathcal {T}}}}$ компактный: он называется Компактификация Терстона пространства Тейхмюллера.

Граница Терстона

Граница ${ Displaystyle { overline { mathcal {T}}} setminus { mathcal {T}}}$ равно подмножеству ${ displaystyle { mathcal {PMF}}}$ из ${ Displaystyle mathbb {P} ( mathbb {R} _ {+} ^ { mathcal {S}})}$. Из доказательства также следует, что компактирование Терстона гомеоморфно ${ displaystyle 6g-6}$-мерный замкнутый шар.^[2]

Приложения

Псевдоаносовские диффеоморфизмы

Диффеоморфизм ${ displaystyle S to S}$ называется псевдо-Аносов если существует два поперечных мерных слоения, под действием которых лежащие в основе слоения сохраняются, а меры умножаются на коэффициент ${ displaystyle lambda, lambda ^ {- 1}}$ соответственно для некоторых ${ displaystyle lambda> 1}$ (так называемый коэффициент растяжения). Используя свою компактификацию, Терстон доказал следующую характеристику классов псевдоаносовских отображений (т. Е. Классов отображений, содержащих псевдоаносовский элемент), которая, по сути, была известна Нильсе и обычно называемая Классификация Нильсена-Терстона. Класс отображения ${ displaystyle phi}$ является псевдоаносовским тогда и только тогда, когда:

• он не сводится (т.е. нет ${ Displaystyle к geq 1}$ и ${ displaystyle sigma in { mathcal {S}}}$ такой, что ${ Displaystyle ( phi ^ {k}) _ {*} sigma = sigma}$);
• это не конечный порядок (т.е. нет ${ Displaystyle к geq 1}$ такой, что ${ displaystyle phi ^ {k}}$ - изотопический класс единицы).

Доказательство опирается на Теорема Брауэра о неподвижной точке применяется к действию ${ displaystyle phi}$ на компактификации Терстона ${ Displaystyle { overline { mathcal {T}}}}$. Если неподвижная точка находится внутри, то класс конечного порядка; если оно находится на границе и нижележащее слоение имеет замкнутый лист, то оно приводимо; в оставшемся случае можно показать, что существует другая неподвижная точка, соответствующая поперечному измеренному слоению, и вывести свойство псевдоаносова.

Приложения к группе классов отображения

Действие группа классов отображения поверхности ${ displaystyle S}$ на пространстве Тейхмюллера непрерывно продолжается до компактификации Терстона. Это дает мощный инструмент для изучения структуры этой группы; например, он используется в доказательстве Альтернатива сисек для группы классов отображения. Его также можно использовать для доказательства различных результатов о структуре подгруппы группы классов отображений.^[3]

Приложения к 3-многообразиям

Компактификация пространства Тейхмюллера путем добавления мерных слоений является существенной в определении прекращение расслоения из гиперболическое 3-многообразие.

Действия на настоящих деревьях

Точка в пространстве Тейхмюллера ${ Displaystyle T (S)}$ в качестве альтернативы можно рассматривать как верное представление фундаментальная группа ${ Displaystyle pi _ {1} (S)}$ в группу изометрий ${ Displaystyle mathrm {PSL} _ {2} ( mathbb {R})}$ гиперболической плоскости ${ displaystyle mathbb {H} ^ {2}}$, вплоть до спряжения. Такое изометрическое действие порождает (за счет выбора главного ультрафильтр ) к действию на асимптотическом конусе ${ displaystyle mathbb {H} ^ {2}}$, который является настоящее дерево. Два таких действия эквивариантно изометричны тогда и только тогда, когда они исходят из одной и той же точки в пространстве Тейхмюллера. Пространство таких действий (наделенное естественной топологией) компактно, и, следовательно, мы получаем другую компактификацию пространства Тейхмюллера. Теорема Р. Скора утверждает, что эта компактификация эквивариантно гомеоморфна компактификации Терстона.^[4]

Примечания

Рекомендации

• Фатхи, Альберт; Лауденбах, Франсуа; Поэнару, Валентин (2012). Работа Терстона о поверхностях Перевод с французского оригинала 1979 года Джун М. Ким и Дэна Маргалита. Математические заметки. 48. Издательство Принстонского университета. С. xvi + 254. ISBN  978-0-691-14735-2.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Иванов, Николай (1992). Подгруппы модульных групп Тейхмюллера. Американская математика. Soc.CS1 maint: ref = harv (связь)