Осциллятор Тоды - Википедия - Toda oscillator

В физика, то Осциллятор Тоды особый вид нелинейный осциллятор. Он представляет собой цепочку частиц с экспоненциальным потенциалом взаимодействия между соседями.^[1] Эти концепции названы в честь Морикадзу Тода. Осциллятор Тоды используется как простая модель для понимания феномена автопульсация, представляющую собой квазипериодическую пульсацию выходной интенсивности твердотельный лазер в переходный режим.

Определение

Осциллятор Тоды - это динамическая система любого происхождения, которое можно описать зависимой координатой ${ Displaystyle ~ х ~}$ и независимая координата ${ Displaystyle ~ г ~}$ , отличающийся тем, что эволюция по независимой координате ${ Displaystyle ~ г ~}$ можно аппроксимировать уравнением

{ displaystyle { frac {{ rm {d ^ {2}}} x} {{ rm {d}} z ^ {2}}} + D (x) { frac {{ rm {d} } x} {{ rm {d}} z}} + Phi '(x) = 0,}

куда ${ displaystyle ~ D (x) = ue ^ {x} + v ~}$ , ${ Displaystyle ~ Phi (х) = е ^ {х} -x-1 ~}$ штрих обозначает производную.

Физический смысл

Независимая координата ${ Displaystyle ~ г ~}$ имеет чувство время. В самом деле, это может быть пропорционально времени ${ Displaystyle ~ т ~}$ с некоторым отношением вроде ${ Displaystyle ~ г = т / т_ {0} ~}$ , куда ${ displaystyle ~ t_ {0} ~}$ постоянно.

В производная ${ displaystyle ~ { dot {x}} = { frac {{ rm {d}} x} {{ rm {d}} z}}}$ может иметь чувство скорость частицы с координатой ${ Displaystyle ~ х ~}$ ; тогда ${ displaystyle ~ { ddot {x}} = { frac {{ rm {d}} ^ {2} x} {{ rm {d}} z ^ {2}}} ~}$ можно интерпретировать как ускорение; а масса такой частицы равна единице.

Диссипативная функция ${ displaystyle ~ D ~}$ может иметь смысл коэффициента пропорционального скорости трение.

Обычно оба параметра ${ Displaystyle ~ и ~}$ и ${ displaystyle ~ v ~}$ должны быть положительными; то этот пропорциональный скорости коэффициент трения экспоненциально растет при больших положительных значениях координаты ${ Displaystyle ~ х ~}$ .

Потенциал ${ Displaystyle ~ Phi (х) = е ^ {х} -x-1 ~}$ фиксированная функция, которая также показывает экспоненциальный рост при больших положительных значениях координаты ${ Displaystyle ~ х ~}$ .

В приложении в лазерная физика, ${ Displaystyle ~ х ~}$ может иметь чувство логарифм числа фотонов в лазерный резонатор, относительно его установившегося значения. Затем выходная мощность такого лазера пропорциональна ${ Displaystyle ~ ехр (х) ~}$ и может показывать пульсацию на колебание из ${ Displaystyle ~ х ~}$ .

Обе аналогии, с частицей единичной массы и логарифмом числа фотонов, полезны при анализе поведения осциллятора Тоды.

Энергия

Строго говоря, колебание является периодическим только при ${ Displaystyle ~ и = v = 0 ~}$ . Действительно, при реализации генератора Тоды в виде самопульсирующего лазера эти параметры могут иметь значения порядка ${ displaystyle ~ 10 ^ {- 4} ~}$ ; за несколько импульсов амплитуда пульсации не сильно меняется. В этом случае можно говорить о период пульсации, так как функция ${ Displaystyle ~ х = х (т) ~}$ почти периодический.

В случае ${ Displaystyle ~ и = v = 0 ~}$ , энергия осциллятора ${ displaystyle ~ E = { frac {1} {2}} left ({ frac {{ rm {d}} x} {{ rm {d}} z}} right) ^ {2} + Phi (x) ~}$ не зависит от ${ Displaystyle ~ г ~}$ , и может рассматриваться как постоянная движения. Тогда за один период пульсации соотношение между ${ Displaystyle ~ х ~}$ и ${ Displaystyle ~ г ~}$ можно выразить аналитически:^[2]^[3]

{ displaystyle z = pm int _ {x _ { min}} ^ {x _ { max}} ! ! { frac {{ rm {d}} a} {{ sqrt {2}} { sqrt {E- Phi (а)}}}}}

куда ${ Displaystyle ~ х _ { мин} ~}$ и ${ Displaystyle ~ х _ { макс} ~}$ - минимальные и максимальные значения ${ Displaystyle ~ х ~}$ ; это решение написано для случая, когда ${ displaystyle { dot {x}} (0) = 0}$ .

однако другие решения могут быть получены с использованием принципа трансляционная инвариантность.

Соотношение ${ Displaystyle ~ х _ { макс} / х _ { мин} = 2 гамма ~}$ - удобный параметр для характеристики амплитуды пульсации. Используя это, мы можем выразить медианное значение ${ displaystyle delta = { frac {x _ { max} -x _ { min}} {1}}}$ в качестве ${ displaystyle delta = ln { frac { sin ( gamma)} { gamma}}}$ ; а энергия ${ displaystyle E = E ( gamma) = { frac { gamma} { tanh ( gamma)}} + ln { frac { sinh gamma} { gamma}} - 1}$ также является элементарной функцией ${ displaystyle ~ gamma ~}$ .

В приложении количество ${ displaystyle E}$ не обязательно должна быть физическая энергия системы; в этих случаях эту безразмерную величину можно назвать квазиэнергия.

Период пульсации

Период пульсации является возрастающей функцией амплитуды ${ displaystyle ~ gamma ~}$ .

Когда ${ displaystyle ~ gamma ll 1 ~}$ , Период ${ Displaystyle ~ T ( gamma) = 2 pi left (1 + { frac { gamma ^ {2}} {24}} + O ( gamma ^ {4}) right) ~}$

Когда ${ displaystyle ~ gamma gg 1 ~}$ , Период ${ Displaystyle ~ Т ( гамма) = 4 гамма ^ {1/2} влево (1 + О (1 / гамма) вправо) ~}$

Во всем диапазоне ${ displaystyle ~ gamma> 0 ~}$ , Период ${ Displaystyle ~ {Т ( gamma)} ~}$ и частота ${ Displaystyle ~ К ( гамма) = { гидроразрыва {2 pi} {Т ( гамма)}} ~}$ можно приблизительно оценить

{ displaystyle k _ { text {fit}} ( gamma) = { frac {2 pi} {T _ { text {fit}} ( gamma)}} =}

{ displaystyle left ({ frac {10630 + 674 gamma +695.2419 gamma ^ {2} +191.4489 gamma ^ {3} +16.86221 gamma ^ {4} +4.082607 gamma ^ {5} + gamma) ^ {6}} {10630 + 674 gamma +2467 gamma ^ {2} +303.2428 gamma ^ {3} +164.6842 gamma ^ {4} +36.6434 gamma ^ {5} +3.9596 gamma ^ {6 } +0.8983 gamma ^ {7} + { frac {16} { pi ^ {4}}} gamma ^ {8}}} right) ^ {1/4}}

не менее 8 значимые фигуры. В относительная ошибка этого приближения не превышает ${ displaystyle 22 times 10 ^ {- 9}}$ .

Затухание пульсации

При небольших (но все же положительных) значениях ${ Displaystyle ~ и ~}$ и ${ displaystyle ~ v ~}$ , пульсация затухает медленно, и это затухание можно описать аналитически. В первом приближении параметры ${ Displaystyle ~ и ~}$ и ${ displaystyle ~ v ~}$ дают аддитивный вклад в распад; скорость затухания, а также амплитуда и фаза нелинейных колебаний могут быть аппроксимированы элементарными функциями аналогично периоду выше. При описании поведения идеализированного осциллятора Тоды погрешность таких приближений меньше, чем различия между идеалом и его экспериментальной реализацией в виде самопульсирующий лазер на оптическая скамья. Однако качественно самимпульсный лазер показывает очень похожее поведение.^[3]

Непрерывный предел

В Цепочка Тода уравнения движения в непрерывном пределе, когда расстояние между соседями стремится к нулю, становятся Уравнение Кортевега – де Фриза (КдВ) уравнение.^[1] Здесь индекс, обозначающий частицу в цепочке, становится новой пространственной координатой.

Напротив, Теория поля Тоды достигается путем введения новой пространственной координаты, которая не зависит от метки индекса цепи. Это делается релятивистски инвариантным образом, так что время и пространство рассматриваются на равных основаниях.^[4] Это означает, что теория поля Тоды не является непрерывным пределом цепочки Тоды.