Скрученное кольцо многочленов - Википедия - Twisted polynomial ring

В математика, а скрученный многочлен это многочлен через поле из характеристика в переменной представляющий Карта Фробениуса . В отличие от нормальных многочленов, умножение этих многочленов невозможно. коммутативный, но удовлетворяет правилу коммутации

для всех в базовом поле.

Над бесконечным полем скрученное кольцо многочленов изоморфно кольцу аддитивные полиномы, но где умножение на последнем дается композицией, а не обычным умножением. Однако часто проще вычислить в скрученном кольце многочленов - это особенно применимо в теории Модули Дринфельда.

Определение

Позволять быть полем характеристики . Скрученное кольцо многочленов определяется как множество многочленов от переменной и коэффициенты в . Он наделен звенеть структура с обычным сложением, но с некоммутативным умножением, которое можно резюмировать соотношением за . Повторное применение этого соотношения дает формулу умножения любых двух скрученных многочленов.

В качестве примера выполняем такое умножение

Характеристики

Морфизм

определяет кольцевой гомоморфизм переводя скрученный многочлен в аддитивный многочлен. Здесь умножение в правой части дается композицией многочленов. Например

используя тот факт, что в характеристике у нас есть Мечта первокурсника .

Гомоморфизм явно инъективен, но сюръективен тогда и только тогда, когда бесконечно. Несостоятельность сюръективности, когда конечна из-за существования ненулевых многочленов, которые индуцируют нулевую функцию на (например. над конечным полем с элементы).[нужна цитата ]

Хотя это кольцо не коммутативно, оно все же обладает (левым и правым) алгоритмы деления.

Рекомендации

  • Госс, Д. (1996), Основные структуры арифметики функциональных полей, Ergebnisse der Mathematik и егорер Гренцгебиете (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)], 35, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-61087-8, МИСТЕР  1423131, Zbl  0874.11004
  • Розен, Майкл (2002), Теория чисел в функциональных полях, Тексты для выпускников по математике, 210, Springer-Verlag, ISBN  0-387-95335-3, ISSN  0072-5285, Zbl  1043.11079