Скрученное кольцо многочленов - Википедия - Twisted polynomial ring

В математика, а скрученный многочлен это многочлен через поле из характеристика ${ displaystyle p}$ в переменной ${ Displaystyle тау}$ представляющий Карта Фробениуса ${ Displaystyle х mapsto х ^ {p}}$ . В отличие от нормальных многочленов, умножение этих многочленов невозможно. коммутативный, но удовлетворяет правилу коммутации

{ Displaystyle тау х = х ^ {р} тау}

для всех ${ displaystyle x}$ в базовом поле.

Над бесконечным полем скрученное кольцо многочленов изоморфно кольцу аддитивные полиномы, но где умножение на последнем дается композицией, а не обычным умножением. Однако часто проще вычислить в скрученном кольце многочленов - это особенно применимо в теории Модули Дринфельда.

Определение

Позволять ${ displaystyle k}$ быть полем характеристики ${ displaystyle p}$ . Скрученное кольцо многочленов ${ Displaystyle к { тау }}$ определяется как множество многочленов от переменной ${ Displaystyle тау}$ и коэффициенты в ${ displaystyle k}$ . Он наделен звенеть структура с обычным сложением, но с некоммутативным умножением, которое можно резюмировать соотношением ${ Displaystyle тау х = х ^ {р} тау}$ за ${ displaystyle x in k}$ . Повторное применение этого соотношения дает формулу умножения любых двух скрученных многочленов.

В качестве примера выполняем такое умножение

{ displaystyle (a + b tau) (c + d tau) = a (c + d tau) + b tau (c + d tau) = ac + ad tau + bc ^ {p} тау + бд ^ {р} тау ^ {2}}

Характеристики

Морфизм

{ Displaystyle к { тау } к к [х], quad a_ {0} + a_ {1} tau + cdots + a_ {n} tau ^ {n} mapsto a_ {0} x + a_ {1} x ^ {p} + cdots + a_ {n} x ^ {p ^ {n}}}

определяет кольцевой гомоморфизм переводя скрученный многочлен в аддитивный многочлен. Здесь умножение в правой части дается композицией многочленов. Например

{ displaystyle (ax + bx ^ {p}) circ (cx + dx ^ {p}) = a (cx + dx ^ {p}) + b (cx + dx ^ {p}) ^ {p} = acx + adx ^ {p} + bc ^ {p} x ^ {p} + bd ^ {p} x ^ {p ^ {2}},}

используя тот факт, что в характеристике ${ displaystyle p}$ у нас есть Мечта первокурсника ${ displaystyle (x + y) ^ {p} = x ^ {p} + y ^ {p}}$ .

Гомоморфизм явно инъективен, но сюръективен тогда и только тогда, когда ${ displaystyle k}$ бесконечно. Несостоятельность сюръективности, когда ${ displaystyle k}$ конечна из-за существования ненулевых многочленов, которые индуцируют нулевую функцию на ${ displaystyle k}$ (например. ${ displaystyle x ^ {q} -x}$ над конечным полем с ${ displaystyle q}$ элементы).^{[нужна цитата ]}

Хотя это кольцо не коммутативно, оно все же обладает (левым и правым) алгоритмы деления.

Скрученное кольцо многочленов - Википедия - Twisted polynomial ring

Определение

Характеристики

Рекомендации