Единый модуль - Uniform module

В абстрактная алгебра, модуль называется унифицированный модуль если пересечение любых двух ненулевых подмодулей ненулевое. Это равносильно утверждению, что каждый ненулевой подмодуль модуля M является существенный подмодуль. Кольцо можно назвать правое (левое) кольцо униформы если он однороден как правый (левый) модуль над собой.

Альфред Голди использовал понятие однородных модулей, чтобы построить меру измерение для модулей, теперь известных как единый размер (или же Измерение Голди) модуля. Единообразное измерение обобщает некоторые, но не все, аспекты понятия размерность векторного пространства. Конечная однородная размерность была ключевым предположением для нескольких теорем Голди, в том числе Теорема Голди, который характеризует, какие кольца правильные заказы в полупростое кольцо. Модули конечной равномерной размерности обобщают как Артинианские модули и Нётеровские модули.

В литературе равномерное измерение также называют просто размер модуля или ранг модуля. Единообразный размер не следует путать с родственным понятием, также принадлежащим Голди, пониженный ранг модуля.

Свойства и примеры унифицированных модулей

Унифицированный модуль обычно не сохраняется с помощью прямых произведений или факторных модулей. Прямая сумма двух ненулевых равномерных модулей всегда содержит два подмодуля с нулевым пересечением, а именно два исходных модуля слагаемых. Если N₁ и N₂ - собственные подмодули равномерного модуля M и ни один из подмодулей не содержит другого, тогда ${ Displaystyle M / (N_ {1} cap N_ {2})}$ не может быть единообразным, поскольку

{ displaystyle N_ {1} / (N_ {1} cap N_ {2}) cap N_ {2} / (N_ {1} cap N_ {2}) = {0 }.}

Однорядные модули единообразны, и однородные модули обязательно непосредственно неразложимы. Любая коммутативная область является равномерным кольцом, так как если а и б ненулевые элементы двух идеалов, то произведение ab является ненулевым элементом в пересечении идеалов.

Единый размер модуля

Следующая теорема позволяет определять размерность модулей с помощью равномерных подмодулей. Это модульная версия теоремы о векторном пространстве:

Теорема: если U_я и V_j являются членами конечного набора равномерных подмодулей модуля M такой, что ${ Displaystyle oplus _ {я = 1} ^ {п} U_ {я}}$ и ${ Displaystyle oplus _ {я = 1} ^ {m} V_ {я}}$ оба основные подмодули из M, тогда п = м.

В единый размер модуля M, обозначается u.dim (M), определяется как п если существует конечное множество равномерных подмодулей U_я такой, что ${ Displaystyle oplus _ {я = 1} ^ {п} U_ {я}}$ является существенным подмодулем M. Предыдущая теорема гарантирует, что это п хорошо определено. Если такого конечного набора подмодулей не существует, то u.dim (M) определяется как ∞. Говоря о равномерных размерах кольца, необходимо указать, является ли u.dim (р_р) а точнее u.dim (_рр) измеряется. На противоположных сторонах кольца могут быть два разных одинаковых размера.

Если N является подмодулем M, затем u.dim (N) ≤ u.dim (M) с равенством именно тогда, когда N является существенным подмодулем M. Особенно, M и это инъективная оболочка E(M) всегда имеют одинаковую однородную размерность. Также верно, что u.dim (M) = п если и только если E(M) представляет собой прямую сумму п неразложимый инъективные модули.

Можно показать, что u.dim (M) = ∞ тогда и только тогда, когда M содержит бесконечную прямую сумму ненулевых подмодулей. Таким образом, если M Нётер или артинианец, M имеет конечную равномерную размерность. Если M имеет конечный длина композиции k, затем u.dim (M) ≤ k с равенством именно тогда, когда M это полупростой модуль. (Лам 1999 )

Стандартный результат состоит в том, что правая нётерова область является правильной Рудный домен. Фактически, мы можем восстановить этот результат с помощью другой теоремы, приписываемой Голди, которая утверждает, что следующие три условия эквивалентны для области D:

D правильно руда
u.dim (D_D) = 1
u.dim (D_D) < ∞

Полые модули и одинаковые размеры

В двойной понятие однородного модуля - это понятие полый модуль: модуль M называется полым, если, когда N₁ и N₂ являются подмодулями M такой, что ${ displaystyle N_ {1} + N_ {2} = M}$ , то либо N₁ = M или же N₂ = M. Точно так же можно сказать, что каждый собственный подмодуль M это лишний подмодуль.

Эти модули также допускают аналог равномерной размерности, называемый согласованное измерение, кокон, полый размер или же двойное измерение Голди. Исследования полых модулей и согласованной размерности проводились в (Флери 1974 ), (Рейтер 1981 ), (Такеучи 1976 ), (Варадараджан 1979 ) и (Мияшита 1966 ). Читателя предупреждают, что Флери исследовал различные способы дуализации измерения Голди. Варианты полого измерения Варадараджана, Такеучи и Рейтера, возможно, являются более естественными. Гжещук и Пучиловский в (Гжещук и Пучиловский 1984 ) дал определение равномерной размерности для модульных решеток, так что полая размерность модуля была равномерной размерностью его двойственной решетки подмодулей.

Всегда бывает, что конечно когенерационный модуль имеет конечную равномерную размерность. Возникает вопрос: есть ли конечно порожденный модуль иметь конечную полую размерность? Ответ оказался отрицательным: он был показан в (Сарат и Варадараджан 1979 ) что если модуль M имеет конечную полую размерность, то M/J(M) это полупростой, Артинианский модуль. Есть много колец с единством, для которых р/J(р) не является полупростым артиновым, и для такого кольца р, р сам конечно порожден, но имеет бесконечную полую размерность.

Позже Сарат и Варадараджан показали, что M/J(M) полупростой артиновости также достаточно для M иметь конечный полый размер J(M) является лишним подмодулем M.^[1] Это показывает, что кольца р с конечной полостью в виде левого или правого р-модуль - это в точности полулокальные кольца.

Дополнительным следствием результата Варадараджана является то, что р_р имеет конечную полую размерность именно тогда, когда _рр делает. Это контрастирует со случаем конечной однородной размерности, поскольку известно, что кольцо может иметь конечную однородную размерность с одной стороны и бесконечную однородную размерность с другой.

Учебники

Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам, Тексты для выпускников по математике № 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-4612-0525-8, ISBN 978-0-387-98428-5, МИСТЕР 1653294

Основные источники

^ Тот же результат можно найти в (Рейтер 1981 ) и (Ханна и Шамсуддин 1984 )

Флери, Патрик (1974), "Заметка о дуализирующем измерении Голди", Канадский математический бюллетень, 17: 511–517, Дои:10.4153 / cmb-1974-090-0

Голди, A. W. (1958), "Структура первичных колец в условиях возрастающей цепи", Proc. Лондонская математика. Soc., Серия 3, 8: 589–608, Дои:10,1112 / плмс / с3-8.4.589, ISSN 0024-6115, МИСТЕР 0103206

Голди, A. W. (1960), "Полупервичные кольца с условием максимума", Proc. Лондонская математика. Soc., Серия 3, 10: 201–220, Дои:10.1112 / плмс / с3-10.1.201, ISSN 0024-6115, МИСТЕР 0111766

Grezeszcuk, P; Puczylowski, E (1984), "О Голди и двойственном измерении Голди", Журнал чистой и прикладной алгебры, 31: 47–55, Дои:10.1016/0022-4049(84)90075-6

Ханна, А .; Шамсуддин, А. (1984), Двойственность в категории модулей: Приложения, Райнхард Фишер, ISBN 978-3889270177

Мияшита Ю. (1966), "Квазипроективные модули, совершенные модули и теорема для модулярных решеток", J. Fac. Sci. Hokkaido Ser. я, 19: 86–110, МИСТЕР 0213390

Рейтер, Э. (1981), "Двойственное условие восходящей цепи Голди на прямых суммах подмодулей", Бык. Calcutta Math. Soc., 73: 55–63

Сарат Б .; Варадараджан, К. (1979), "Двойное измерение Голди II", Коммуникации в алгебре, 7 (17): 1885–1899, Дои:10.1080/00927877908822434

Такеучи, Т. (1976), "О кофинонечномерных модулях", Математический журнал Хоккайдо, 5 (1): 1–43, Дои:10.14492 / hokmj / 1381758746, ISSN 0385-4035, МИСТЕР 0213390

Варадараджан, К. (1979), "Двойное измерение Голди", Comm. Алгебра, 7 (6): 565–610, Дои:10.1080/00927877908822364, ISSN 0092-7872, МИСТЕР 0524269

[1] Тот же результат можно найти в (Рейтер 1981 ) и (Ханна и Шамсуддин 1984 )

[1]