Модель избирателя - Википедия - Voter model

Эта статья включает Список ссылок, связанное чтение или внешняя ссылка, но его источники остаются неясными, потому что в нем отсутствует встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Июнь 2012 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математической теории вероятность, то модель избирателя является система взаимодействующих частиц представленный Ричардом А. Холли и Томас М. Лиггетт в 1975 г.^[1].

модель избирателя сосуществует на графике с двумя кластерами

Можно представить себе, что есть «избиратель» в каждой точке связного графа, где связи указывают на наличие некоторой формы взаимодействия между парой избирателей (узлов). Мнение любого избирателя по какому-либо вопросу меняется в случайные моменты под влиянием мнения его соседей. Мнение избирателя в любой момент времени может принимать одно из двух значений, обозначенных 0 и 1. В случайные моменты времени выбирается случайный человек, и мнение этого избирателя изменяется согласно стохастическому правилу. В частности, для одного из соседей выбранного избирателя выбирается^{[требуется разъяснение ]} согласно заданному набору вероятностей, и мнение этого человека передается выбранному избирателю.

Альтернативная интерпретация - в терминах пространственного конфликта. Предположим, что две страны контролируют области (наборы узлов), помеченные 0 или 1. Переход от 0 к 1 в данном месте указывает на вторжение в это место другой нацией.

Обратите внимание, что каждый раз происходит только один переворот. Проблемы, связанные с моделью избирателя, часто будут преобразованы в двойную систему.^{[требуется разъяснение ]} объединения^{[требуется разъяснение ]} Цепи Маркова. Часто эти проблемы затем сводятся к другим, связанным с независимыми цепями Маркова.

Определение

Модель избирателя - это (непрерывный) марковский процесс. ${ displaystyle eta _ {t}}$ с пространством состояний ${ Displaystyle S = {0,1 } ^ {Z ^ {d}}}$ и функции переходов ${ Displaystyle с (х, eta)}$, куда ${ displaystyle Z ^ {d}}$ является d-мерной целочисленной решеткой, а ${ displaystyle c (}$•,•${ displaystyle)}$ считается неотрицательной, равномерно ограниченной и непрерывной как функция ${ displaystyle eta}$ в топологии продукта на ${ displaystyle S}$. Каждый компонент ${ displaystyle eta in S}$ называется конфигурацией. Чтобы было ясно, что ${ Displaystyle eta (х)}$ обозначает значение сайта x в конфигурации ${ displaystyle eta (.)}$; пока ${ Displaystyle eta _ {т} (х)}$ означает значение сайта x в конфигурации ${ displaystyle eta (.)}$ вовремя ${ displaystyle t}$.

Динамика процесса определяется набором переходные ставки. Для моделей избирателей скорость, с которой происходит переворот ${ displaystyle scriptstyle x}$ от 0 до 1 или наоборот задается функцией ${ Displaystyle с (х, eta)}$ сайта ${ displaystyle x}$. Обладает следующими свойствами:

1. ${ Displaystyle с (х, eta) = 0}$ для каждого ${ Displaystyle х в Z ^ {d}}$ если ${ Displaystyle эта эквив 0}$ или если ${ Displaystyle эта эквив 1}$
2. ${ Displaystyle с (х, eta) = с (х, zeta)}$ для каждого ${ Displaystyle х в Z ^ {d}}$ если ${ displaystyle eta (y) + zeta (y) = 1}$ для всех ${ displaystyle y in Z ^ {d}}$
3. ${ Displaystyle с (х, эта) leq с (х, zeta)}$ если ${ displaystyle eta leq zeta}$ и ${ Displaystyle eta (x) = zeta (x) = 0}$
4. ${ Displaystyle с (х, eta)}$ инвариантен относительно сдвигов в ${ displaystyle scriptstyle Z ^ {d}}$

Свойство (1) говорит, что ${ Displaystyle эта эквив 0}$ и ${ Displaystyle эта эквив 1}$ являются неподвижными точками эволюции. (2) указывает на то, что эволюция не изменилась, если поменять местами нули и единицы. В свойстве (3) ${ displaystyle eta leq zeta}$ средства ${ displaystyle forall x, eta (x) leq zeta (x)}$, и ${ displaystyle eta leq zeta}$ подразумевает ${ Displaystyle с (х, эта) leq с (х, zeta)}$ если ${ Displaystyle eta (x) = zeta (x) = 0}$, и подразумевает ${ Displaystyle с (х, эта) geq с (х, zeta)}$ если ${ displaystyle eta (x) = zeta (x) = 1}$.

Кластеризация и сосуществование

Что нас интересует, так это предельное поведение моделей. Поскольку скорость просмотра сайта зависит от его соседей, очевидно, что когда все сайты принимают одно и то же значение, вся система перестает изменяться навсегда. Следовательно, модель избирателя имеет два тривиальных экстремальных стационарных распределения, точечные массы ${ displaystyle scriptstyle delta _ {0}}$ и ${ displaystyle scriptstyle delta _ {1}}$ на ${ Displaystyle scriptstyle eta эквив 0}$ или же ${ Displaystyle scriptstyle eta Equiv 1}$ соответственно, которые представляют собой консенсус. Главный вопрос, который мы обсудим, заключается в том, существуют ли другие, которые в таком случае представляли бы сосуществование различных мнений в равновесии. Мы говорим что сосуществование возникает, если существует стационарное распределение, которое концентрируется на конфигурациях с бесконечным количеством нулей и единиц. С другой стороны, если для всех ${ displaystyle scriptstyle x, y in Z ^ {d}}$ и все начальные конфигурации, мы имеем:

${ displaystyle lim _ {t rightarrow infty} P [ eta _ {t} (x) neq eta _ {t} (y)] = 0}$

мы скажем, что кластеризация происходит.

Важно различать кластеризация с концепцией кластер. Кластеры определены как компоненты связности ${ displaystyle scriptstyle {x: eta (x) = 0 }}$ или же ${ displaystyle scriptstyle {x: eta (x) = 1 }}$.

Линейная модель избирателя

Описание модели

Этот раздел будет посвящен одной из основных моделей избирателей - линейной модели избирателя.

Позволять ${ displaystyle scriptstyle p (}$•,•${ displaystyle scriptstyle)}$ - вероятности перехода для неприводимого случайная прогулка на ${ displaystyle scriptstyle Z ^ {d}}$,и у нас есть:

${ displaystyle p (x, y) geq 0 quad { text {and}} sum _ {y} p (x, y) = 1}$

Тогда в линейной модели избирателя коэффициенты перехода являются линейными функциями от ${ displaystyle scriptstyle eta}$:

${ displaystyle c (x, eta) = left {{ begin {array} {l} sum _ {y} p (x, y) eta (y) quad { text {для всех} } quad eta (x) = 0 сумма _ {y} p (x, y) (1- eta (y)) quad { text {для всех}} quad eta (x) = 1 end {array}} right.}$

Или если мы используем ${ displaystyle scriptstyle eta _ {x}}$ чтобы указать, что на сайте происходит переворот ${ displaystyle scriptstyle x}$, коэффициенты перехода просто:

${ displaystyle eta rightarrow eta _ {x} quad { text {at rate}} sum _ {y: eta (y) neq eta (x)} p (x, y).}$

Мы определяем процесс объединения случайных блужданий ${ displaystyle scriptstyle A_ {t} subset Z ^ {d}}$ следующее. Здесь ${ displaystyle scriptstyle A_ {t}}$ обозначает набор сайтов, занятых этими случайными блужданиями в момент времени ${ displaystyle scriptstyle t}$. Определять ${ displaystyle scriptstyle A_ {t}}$, рассмотрим несколько (непрерывное время) случайных блужданий по ${ displaystyle scriptstyle Z ^ {d}}$ с единичными экспоненциальными временами удержания и вероятностями перехода ${ displaystyle scriptstyle p (}$•,•${ displaystyle scriptstyle)}$, и считать их независимыми, пока двое из них не встретятся. В это время две встречные частицы сливаются в одну частицу, которая продолжает двигаться как случайное блуждание с вероятностями перехода. ${ displaystyle scriptstyle p (}$•,•${ displaystyle scriptstyle)}$ .

Концепция чего-либо Двойственность важен для анализа поведения моделей избирателей. Линейные модели избирателей удовлетворяют очень полезной форме двойственности, известной как объединяющая двойственность, который:

${ Displaystyle P ^ { eta} ( eta _ {t} Equiv 1 quad { text {on}} A) = P ^ {A} ( eta (A_ {t}) Equiv 1), }$

куда ${ displaystyle scriptstyle eta in {0,1 } ^ {Z ^ {d}}}$ это начальная конфигурация ${ displaystyle scriptstyle eta _ {t}}$ и ${ displaystyle scriptstyle A = {x in Z ^ {d}, eta (x) = 1 } subset Z ^ {d}}$ начальное состояние сливающихся случайных блужданий ${ displaystyle scriptstyle A_ {t}}$.

Ограничение поведения линейных моделей избирателей

Позволять ${ displaystyle scriptstyle p (x, y)}$ - вероятности перехода для неприводимого случайного блуждания на ${ displaystyle scriptstyle Z ^ {d}}$ и ${ displaystyle scriptstyle p (x, y) = p (0, x-y)}$, то соотношение двойственности для таких линейных моделей избирателей говорит, что ${ Displaystyle scriptstyle forall eta in S = {0,1 } ^ {Z ^ {d}}}$

${ Displaystyle P ^ { eta} [ eta _ {t} (x) neq eta _ {t} (y)] = P [ eta (X_ {t}) neq eta (Y_ {t })]}$

куда ${ displaystyle scriptstyle X_ {t}}$ и ${ displaystyle scriptstyle Y_ {t}}$ (непрерывное время) случайные блуждания по ${ displaystyle scriptstyle Z ^ {d}}$ с ${ displaystyle scriptstyle X_ {0} = x}$, ${ displaystyle scriptstyle Y_ {0} = y}$, и ${ displaystyle scriptstyle eta (X_ {t})}$ позиция, занятая случайным блужданием во время ${ displaystyle scriptstyle t}$. ${ displaystyle scriptstyle X_ {t}}$ и ${ displaystyle scriptstyle Y_ {t}}$ формирует объединяющиеся случайные блуждания, описанные в конце Раздел 2.1. ${ Displaystyle scriptstyle X (т) -Y (т)}$ является симметризованным случайным блужданием. Если ${ Displaystyle scriptstyle X (т) -Y (т)}$ повторяется и ${ displaystyle scriptstyle d leq 2}$, ${ displaystyle scriptstyle X_ {t}}$ и ${ displaystyle scriptstyle Y_ {t}}$ в конечном итоге попадет с вероятностью 1, и, следовательно,

${ Displaystyle P ^ { eta} [ eta _ {t} (x) neq eta _ {t} (y)] = P [ eta (X_ {t}) neq eta (Y_ {t })] leq P [X_ {t} neq Y_ {t}] rightarrow 0 quad { text {as}} quad t to 0}$

Следовательно, процесс группируется.

С другой стороны, когда ${ displaystyle d geq 3}$, система сосуществует. Это потому, что для ${ displaystyle scriptstyle d geq 3}$, ${ Displaystyle scriptstyle X (т) -Y (т)}$ является кратковременным, поэтому существует положительная вероятность того, что случайные блуждания никогда не попадут в ${ displaystyle scriptstyle x neq y}$

${ displaystyle lim _ {t rightarrow infty} P [ eta _ {t} (x) neq eta _ {t} (y)] = C lim _ {t rightarrow infty} P [ X_ {t} neq Y_ {t}]> 0}$

для некоторой постоянной ${ displaystyle C}$ соответствующее начальному распределению.

Теперь позвольте ${ Displaystyle scriptstyle { тильда {X}} (t) = X (t) -Y (t)}$ - симметризованное случайное блуждание, справедливы следующие теоремы:

Теорема 2.1.

Линейная модель избирателя ${ displaystyle scriptstyle eta _ {t}}$ кластеры, если ${ displaystyle scriptstyle { tilde {X}} _ {t}}$ повторяется и сосуществует, если ${ displaystyle scriptstyle { tilde {X}} _ {t}}$ временно. Особенно,

1. кластеры процессов, если ${ displaystyle scriptstyle d = 1}$ и ${ displaystyle scriptstyle sum _ {x} | x | p (0, x) leq infty}$, или если ${ displaystyle scriptstyle d = 2}$ и ${ displaystyle scriptstyle sum _ {x} | x | ^ {2} p (0, x) leq infty}$;
2. процесс сосуществует, если ${ displaystyle scriptstyle d geq 3}$.

Замечания: Чтобы сопоставить это с поведением пороговых моделей избирателей, которые будут обсуждаться в следующем разделе, обратите внимание на то, что кластеры линейной модели избирателя или сосуществуют, почти исключительно зависят от размера набора сайтов, а не от размера диапазона. взаимодействия.

Теорема 2.2.Предполагать ${ Displaystyle scriptstyle mu}$ есть ли пространственный перевод эргодический и инвариантная вероятностная мера на пространстве состояний ${ Displaystyle scriptstyle S = {0,1 } ^ {Z ^ {d}}}$, тогда

1. Если ${ displaystyle scriptstyle { tilde {X}} _ {t}}$ повторяется, то ${ displaystyle scriptstyle mu S (t) Rightarrow rho delta _ {1} + (1- rho) delta _ {0} quad { text {as}} quad t to infty }$;
2. Если ${ displaystyle scriptstyle { tilde {X}} _ {t}}$ временно, то ${ Displaystyle scriptstyle mu S (т) Rightarrow mu _ { rho}}$.

куда ${ Displaystyle scriptstyle mu S (т)}$ это распределение ${ displaystyle scriptstyle eta _ {t}}$; ${ displaystyle scriptstyle Rightarrow}$ означает слабую сходимость, ${ Displaystyle scriptstyle mu _ { rho}}$ - нетривиальная экстремальная инвариантная мера и ${ Displaystyle scriptstyle rho = му ( { eta: eta (x) = 1 })}$.

Специальная линейная модель избирателя

Один из интересных частных случаев линейной модели избирателя, известный как базовый линейная модель избирателя, это модель для пространства состояний ${ Displaystyle scriptstyle {0,1 } ^ {Z ^ {d}}}$:

${ displaystyle p (x, y) = { begin {case} 1 / 2d & { text {if}} | xy | = 1 { text {and}} eta (x) neq eta (y) [8pt] 0 & { text {иначе}} end {case}}}$

Так что

${ displaystyle eta _ {t} (x) to 1- eta _ {t} (x) quad { text {at rate}} quad (2d) ^ {- 1} | {y: | yx | = 1, eta _ {t} (y) neq eta _ {t} (x) } |}$

В этом случае процесс кластеризуется, если ${ displaystyle scriptstyle d leq 2}$, а сосуществует, если ${ displaystyle scriptstyle d geq 3}$. Эта дихотомия тесно связана с тем, что простое случайное блуждание по ${ displaystyle scriptstyle Z ^ {d}}$ повторяется, если ${ displaystyle scriptstyle d leq 2}$ и переходный, если ${ displaystyle scriptstyle d geq 3}$.

Кластеры в одном измерении d = 1

Для особого случая с ${ displaystyle scriptstyle d = 1}$, ${ Displaystyle scriptstyle S = Z ^ {1}}$ и ${ displaystyle scriptstyle p (x, x + 1) = p (x, x-1) = { frac {1} {2}}}$ для каждого ${ displaystyle scriptstyle x}$. Мы знаем из Теорема 2.2. который ${ displaystyle scriptstyle mu S (t) Rightarrow rho delta _ {1} + (1- rho) delta _ {0}}$, поэтому в этом случае происходит кластеризация. Цель этого раздела - дать более точное описание этой кластеризации.

Как упоминалось ранее, кластеры ${ displaystyle scriptstyle eta}$ определяются как компоненты связности ${ displaystyle scriptstyle {x: eta (x) = 0 }}$ или же ${ displaystyle scriptstyle {x: eta (x) = 1 }}$. В средний размер кластера за ${ displaystyle scriptstyle eta}$ определяется как:

${ displaystyle C ( eta) = lim _ {n rightarrow infty} { frac {2n} {{ text {количество кластеров в}} [- n, n]}}}$

при условии, что лимит существует.

Предложение 2.3.

Предположим, что модель избирателя имеет начальное распределение ${ Displaystyle scriptstyle mu}$ и ${ Displaystyle scriptstyle mu}$ является трансляционно-инвариантной вероятностной мерой, то

${ displaystyle P left (C ( eta) = { frac {1} {P [ eta _ {t} (0) neq eta _ {t} (1)]}} right) = 1 .}$

Время занятия

Определите функционалы времени занятости базовой линейной модели избирателя как:

${ displaystyle T_ {t} ^ {x} = int _ {0} ^ {t} eta _ {s} ^ { rho} (x) mathrm {d} s.}$

Теорема 2.4.

Предположим, что для всего узла x и времени t, ${ Displaystyle scriptstyle P ( eta _ {t} (x) = 1) = rho}$, тогда как ${ Displaystyle scriptstyle т rightarrow infty}$, ${ displaystyle scriptstyle T_ {t} ^ {x} / t ​​rightarrow rho}$ почти наверняка если ${ displaystyle scriptstyle d geq 2}$

доказательство

К Неравенство Чебышева и Лемма Бореля – Кантелли., мы можем получить уравнение ниже:

${ displaystyle P left ({ frac { rho} {r}} leq lim inf _ {t rightarrow infty} { frac {T_ {t}} {t}} leq lim sup _ {t rightarrow infty} { frac {T_ {t}} {t}} leq rho r right) = 1; quad forall r> 1}$

Теорема следует, если положить ${ displaystyle scriptstyle r searchrow 1}$.

Пороговая модель избирателя

Описание модели

В этом разделе мы сконцентрируемся на разновидности нелинейных моделей избирателей, известных как пороговая модель избирателя.

Чтобы определить это, пусть ${ Displaystyle scriptstyle { mathcal {N}}}$ быть рядом с ${ displaystyle scriptstyle 0 in Z ^ {d}}$ который получается пересечением ${ displaystyle scriptstyle Z ^ {d}}$ с любым компактным выпуклым симметричным множеством в ${ displaystyle scriptstyle R ^ {d}}$; другими словами, ${ Displaystyle scriptstyle { mathcal {N}}}$ предполагается, что это конечное множество, которое является симметричным относительно всех отражений и неприводимым (т. е. порождаемая им группа ${ displaystyle scriptstyle Z ^ {d}}$) Мы всегда будем предполагать, что ${ Displaystyle scriptstyle { mathcal {N}}}$ содержит все единичные векторы ${ Displaystyle scriptstyle (1,0,0, точки, 0), точки, (0, точки, 0,1)}$. Для положительного целого числа ${ displaystyle scriptstyle T}$, пороговая модель избирателя с соседством ${ Displaystyle scriptstyle { mathcal {N}}}$ и порог ${ displaystyle scriptstyle T}$ тот, у которого есть функция скорости:

${ displaystyle c (x, eta) = left {{ begin {array} {l} 1 quad { text {if}} quad | {y in x + { mathcal {N}} : eta (y) neq eta (x) } | geq T 0 quad { text {иначе}} end {array}} right.}$

Проще говоря, скорость перехода сайта ${ displaystyle scriptstyle x}$ равно 1, если количество сайтов, которые не принимают одинаковое значение, больше или равно пороговому значению T. В противном случае site ${ displaystyle scriptstyle x}$ остается в текущем состоянии и не переворачивается.

Например, если ${ displaystyle scriptstyle d = 1}$, ${ Displaystyle scriptstyle { mathcal {N}} = {- 1,0,1 }}$ и ${ displaystyle scriptstyle T = 2}$, то конфигурация ${ displaystyle scriptstyle dots 1 quad 1 quad 0 quad 0 quad 1 quad 1 quad 0 quad 0 dots}$ является поглощающим состоянием или ловушкой для процесса.

Ограничение поведения пороговой модели избирателя

Если пороговая модель избирателя не фиксируется, мы должны ожидать, что процесс будет сосуществовать для малого порога и кластера для большого порога, где большие и маленькие интерпретируются как относящиеся к размеру района, ${ Displaystyle scriptstyle | { mathcal {N}} |}$. Интуиция подсказывает, что наличие небольшого порога позволяет легко совершать перевороты, поэтому вполне вероятно, что всегда будет много нулей и единиц. Ниже приведены три основных результата:

1. Если ${ displaystyle scriptstyle T> { frac {| { mathcal {N}} | -1} {2}}}$, то процесс фиксируется в том смысле, что каждый сайт переворачивается очень часто.
2. Если ${ displaystyle scriptstyle d = 1}$ и ${ displaystyle scriptstyle T = { frac {| { mathcal {N}} | -1} {2}}}$, то процесс кластеры.
3. Если ${ Displaystyle scriptstyle T = theta | { mathcal {N}} |}$ с ${ Displaystyle scriptstyle theta}$ достаточно маленький (${ displaystyle scriptstyle theta <{ frac {1} {4}}}$) и ${ Displaystyle scriptstyle | { mathcal {N}} |}$ достаточно большой, то процесс сосуществует.

Вот две теоремы, соответствующие свойствам (1) и (2).

Теорема 3.1.

Если ${ displaystyle scriptstyle T> { frac {| { mathcal {N}} | -1} {2}}}$, то процесс фиксируется.

Теорема 3.2.

Пороговая модель избирателя в одном измерении (${ displaystyle scriptstyle d = 1}$) с ${ Displaystyle scriptstyle { mathcal {N}} = {- T, точки, T }, T geq 1}$, кластеры.

доказательство

Идея доказательства состоит в построении двух последовательностей случайных моментов времени ${ displaystyle scriptstyle U_ {n}}$, ${ displaystyle scriptstyle V_ {n}}$ за ${ Displaystyle scriptstyle п geq 1}$ со следующими свойствами:

1. ${ displaystyle scriptstyle 0 = V_ {0}$,
2. ${ displaystyle scriptstyle {U_ {k + 1} -V_ {k}, k geq 0 }}$ i.i.d. с ${ Displaystyle scriptstyle mathrm {E} (U_ {k + 1} -V_ {k}) < infty}$,
3. ${ displaystyle scriptstyle {V_ {k} -U_ {k}, k geq 1 }}$ i.i.d. с ${ Displaystyle scriptstyle mathrm {E} (V_ {k} -U_ {k}) = infty}$,
4. случайные величины в (b) и (c) не зависят друг от друга,
5. событие A =${ Displaystyle scriptstyle { eta _ {t} (.)}$ постоянно на ${ Displaystyle scriptstyle {- Т, точки, Т } }}$, и событие A выполняется для каждого ${ displaystyle scriptstyle t in cup _ {k = 1} ^ { infty} [U_ {k}, V_ {k}]}$.

Как только эта конструкция будет построена, из теории восстановления будет следовать, что

${ Displaystyle P (A) geq P (t in cup _ {k = 1} ^ { infty} [U_ {k}, V_ {k}]) to 1 quad { text {as} } quad t to infty}$

Следовательно,${ displaystyle scriptstyle lim _ {t rightarrow infty} P ( eta _ {t} (1) neq eta _ {t} (0)) = 0}$, так что процесс группируется.

Примечания: (а) Пороговые модели в более высоких измерениях не обязательно группируются, если ${ displaystyle scriptstyle T = { frac {| { mathcal {N}} | -1} {2}}}$. Например, возьмите ${ displaystyle scriptstyle d = 2, T = 2}$ и ${ Displaystyle scriptstyle { mathcal {N}} = {(0,0), (0,1), (1,0), (0, -1), (- 1,0) }}$. Если ${ displaystyle scriptstyle eta}$ постоянно на чередующихся вертикальных бесконечных полосах, то есть для всех ${ displaystyle scriptstyle i, j}$:

${ displaystyle eta (4i, j) = eta (4i + 1, j) = 1, quad eta (4i + 2, j) = eta (4i + 3, j) = 0}$

тогда никакого перехода не происходит, и процесс фиксируется.

(б) При предположении Теорема 3.2., процесс не фиксируется. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим начальную конфигурацию ${ displaystyle scriptstyle dots 000111 dots}$, в котором за бесконечно большим числом нулей следует бесконечно много единиц. Тогда только ноль и единица на границе могут переворачиваться, так что конфигурация всегда будет выглядеть одинаково, за исключением того, что граница будет двигаться как простое симметричное случайное блуждание. Тот факт, что это случайное блуждание является повторяющимся, означает, что каждый сайт переключается бесконечно часто.

Свойство 3 указывает на то, что пороговая модель избирателя сильно отличается от линейной модели избирателя в том смысле, что сосуществование происходит даже в одном измерении, при условии, что район не слишком мал. Пороговая модель имеет дрейф в сторону «местного меньшинства», которого нет в линейном случае.

Большинство доказательств сосуществования пороговых моделей избирателей основаны на сравнении с гибридной моделью, известной как пороговый контактный процесс с параметром ${ displaystyle scriptstyle lambda> 0}$. Это процесс на ${ Displaystyle scriptstyle [0,1] ^ {Z ^ {d}}}$ со ставками флипов:

${ displaystyle c (x, eta) = left {{ begin {array} {l} lambda quad { text {if}} quad eta (x) = 0 quad { text { и}} | {y in x + { mathcal {N}}: eta (y) = 1 } | geq T; 1 quad { text {if}} quad eta (x ) = 1; 0 quad { text {иначе}} end {array}} right.}$

Предложение 3.3.

Для любого ${ displaystyle scriptstyle d, { mathcal {N}}}$ и ${ displaystyle scriptstyle T}$, если пороговый контактный процесс с ${ displaystyle scriptstyle lambda = 1}$ имеет нетривиальную инвариантную меру, то пороговая модель избирателя сосуществует.

Модель с порогом Т = 1

Дело, что ${ displaystyle scriptstyle T = 1}$ представляет особый интерес, потому что это единственный случай, когда мы в настоящее время точно знаем, какие модели сосуществуют, а какие кластеры.

В частности, нас интересует своего рода Порог T = 1 модель с ${ displaystyle scriptstyle c (x, eta)}$ что определяется:

${ displaystyle c (x, eta) = left {{ begin {array} {l} 1 quad { text {, если он существует}} quad y quad { text {with}} quad | xy | leq N quad { text {and}} quad eta (x) neq eta (y) 0 quad { text {иначе}} end {array}} верно.}$

${ displaystyle scriptstyle N}$ можно интерпретировать как радиус района ${ Displaystyle scriptstyle { mathcal {N}}}$; ${ displaystyle scriptstyle N}$ определяет размер окрестности (т. е. если ${ Displaystyle scriptstyle { mathcal {N}} _ {1} = {- 2, -1,0,1,2 }}$, тогда ${ Displaystyle scriptstyle N_ {1} = 2}$; в то время как для ${ Displaystyle scriptstyle { mathcal {N}} _ {2} = {(0,0), (0,1), (1,0), (0, -1), (- 1,0) }}$соответствующие ${ Displaystyle scriptstyle N_ {2} = 1}$).

К Теорема 3.2., модель с ${ displaystyle scriptstyle d = 1}$ и ${ Displaystyle scriptstyle { mathcal {N}} = {- 1,0,1 }}$ кластеры. Следующая теорема показывает, что для всех других вариантов выбора ${ displaystyle scriptstyle d}$ и ${ Displaystyle scriptstyle { mathcal {N}}}$, модель сосуществует.

Теорема 3.4.

Предположим, что ${ displaystyle scriptstyle N geq 1}$, но ${ Displaystyle scriptstyle (N, d) neq (1,1)}$. Тогда пороговая модель на ${ displaystyle scriptstyle Z ^ {d}}$ с параметром ${ displaystyle scriptstyle N}$ сосуществует.

Доказательство этой теоремы дается в статье Томаса М. Лиггетта «Сосуществование в пороговых моделях избирателей».

Смотрите также

Примечания

Рекомендации