Функция Уолша - Википедия - Walsh function

Естественный порядок и упорядоченная последовательность Матрица Адамара порядка 16.
Особенно первое обычно называют Матрица Уолша.
Оба содержат 16 функций Уолша порядка 16 в виде строк (и столбцов).
В правой матрице количество смен знака в строке является последовательным.

В математика, более конкретно в гармонический анализ, Функции Уолша сформировать полный ортогональный набор функций который можно использовать для представления любой дискретной функции - точно так же, как тригонометрические функции может использоваться для представления любой непрерывной функции в Анализ Фурье.^[1] Таким образом, их можно рассматривать как дискретный цифровой аналог непрерывной аналоговой системы тригонометрических функций на единичный интервал. Но в отличие от функций синуса и косинуса, которые непрерывный, Функции Уолша кусочно постоянны. Они принимают значения -1 и +1 только на подинтервале, определяемом диадические дроби.

Система функций Уолша известна как Система Уолша. Это продолжение Система Радемахера ортогональных функций.^[2]

Функции Уолша, система Уолша, ряд Уолша,^[3] и быстрое преобразование Уолша – Адамара все названы в честь американских математик Джозеф Л. Уолш. Они находят различные применения в физике и технике, когда анализ цифровых сигналов.

Исторически сложилось так, что различные исчисления функций Уолша; ни один из них не превосходит другого. В этой статье мы используем Нумерация Уолша – Пэли.

Определение

Определим последовательность функций Уолша ${ Displaystyle W_ {k}: [0,1] rightarrow {- 1,1 }}$, ${ Displaystyle к ин mathbb {N} _ {0}}$ следующее.

Для любого натурального числа k, и действительное число ${ Displaystyle х в [0,1]}$, позволять

${ displaystyle k_ {j}}$ быть j-й бит в двоичном представлении k, начиная с ${ displaystyle k_ {0}}$ как младший бит, и

${ displaystyle x_ {j}}$ быть j-й бит в двоичном представлении Икс, начиная с ${ displaystyle x_ {1}}$ как старший дробный бит.

Тогда по определению

${ displaystyle W_ {k} (x) = (- 1) ^ { sum _ {j = 0} ^ { infty} k_ {j} x_ {j + 1}}}$

Особенно, ${ Displaystyle W_ {0} (х) = 1}$ везде на интервале, так как все биты k равны нулю.

Заметь ${ displaystyle W_ {2 ^ {m}}}$ это именно Функция Радемахера р_мТаким образом, система Радемахера является подсистемой системы Уолша. Более того, каждая функция Уолша является продуктом функций Радемахера:

${ displaystyle W_ {k} (x) = prod _ {j = 0} ^ { infty} r_ {j} (x) ^ {k_ {j}}}$

Сравнение функций Уолша и тригонометрических функций

Функции Уолша и тригонометрические функции представляют собой системы, которые образуют полную ортонормированный набор функций, ортонормированный базис в Гильбертово пространство ${ Displaystyle L ^ {2} [0,1]}$ из интегрируемый с квадратом функции на единичном интервале. Обе системы являются ограниченными функциями, в отличие, скажем, от Система Хаара или система Франклина.

И тригонометрическая система, и система Уолша допускают естественное продолжение по периодичности с единичного интервала до действительной прямой. ${ Displaystyle mathbb {R}}$. Кроме того, оба Анализ Фурье на единичном интервале (Ряд Фурье ) и на реальной линии (преобразование Фурье ) имеют свои цифровые аналоги, определенные через систему Уолша, ряд Уолша, аналогичный ряду Фурье, и Преобразование Адамара аналогично преобразованию Фурье.

Характеристики

Система Уолша ${ displaystyle {W_ {k} }, k in mathbb {N} _ {0}}$ коммутативная мультипликативная дискретная группа, изоморфная ${ Displaystyle coprod _ {п = 0} ^ { infty} mathbb {Z} / 2 mathbb {Z}}$, то Понтрягин дуальный из Группа кантора ${ Displaystyle prod _ {п = 0} ^ { infty} mathbb {Z} / 2 mathbb {Z}}$. Его личность ${ displaystyle W_ {0}}$, и каждый элемент имеет второй порядок (то есть самообратный).

Система Уолша - это ортонормированный базис гильбертова пространства ${ Displaystyle L ^ {2} [0,1]}$. Ортонормальность означает

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} W_ {k} (x) W_ {l} (x) dx = delta _ {kl}}$,

и быть основой означает, что если для каждого ${ Displaystyle е в L ^ {2} [0,1]}$, мы установили ${ displaystyle f_ {k} = int _ {0} ^ {1} f (x) W_ {k} (x) dx}$ тогда

${ Displaystyle int _ {0} ^ {1} (е (х) - сумма _ {к = 0} ^ {N} f_ {k} W_ {k} (x)) ^ {2} dx { xrightarrow [{N rightarrow infty}] {}} 0}$

Получается, что на каждый ${ Displaystyle е в L ^ {2} [0,1]}$, сериал ${ Displaystyle сумма _ {к = 0} ^ { infty} f_ {k} W_ {k} (x)}$ сходиться к ${ displaystyle f (x)}$ почти для каждого ${ Displaystyle х в [0,1]}$.

Система Уолша (в нумерации Уолша-Пэли) образует Основа Шаудера в ${ Displaystyle L ^ {p} [0,1]}$,   ${ Displaystyle 1 <р < infty}$. Обратите внимание, что в отличие от Система Хаара, и, как и тригонометрическая система, этот базис не безусловный, и система не является базисом Шаудера в ${ Displaystyle L ^ {1} [0,1]}$.

Обобщения

Системы Уолша-Ферлегера

Позволять ${ Displaystyle mathbb {D} = prod _ {n = 1} ^ { infty} mathbb {Z} / 2 mathbb {Z}}$ быть компактным Группа кантора наделены Мера Хаара и разреши ${ Displaystyle { шляпа { mathbb {D}}} = coprod _ {n = 1} ^ { infty} mathbb {Z} / 2 mathbb {Z}}$ - его дискретная группа символов. Элементы ${ displaystyle { hat { mathbb {D}}}}$ легко отождествляются с функциями Уолша. Конечно, персонажи определены на ${ Displaystyle mathbb {D}}$ в то время как функции Уолша определены на единичном интервале, но поскольку существует изоморфизм по модулю нуля между этими измерять пространства, измеримые функции на них идентифицируются через изометрия.

Тогда основные теория представлений предлагает следующее широкое обобщение концепции Система Уолша.

Для произвольного Банахово пространство ${ displaystyle (X, || cdot ||)}$ позволять ${ displaystyle {R_ {t} } _ {t in mathbb {D}} subset Aut (X)}$ быть сильно непрерывный, равномерно ограниченное точное действие ${ Displaystyle mathbb {D}}$ на Икс. Для каждого ${ displaystyle gamma in { hat { mathbb {D}}}}$рассмотрим его собственное подпространство ${ displaystyle X _ { gamma} = {x in X: R_ {t} x = gamma (t) x }}$. потом Икс закрытый линейный пролет собственных подпространств: ${ displaystyle X = { overline { operatorname {Span}}} (X _ { gamma}, gamma in { hat { mathbb {D}}})}$. Предположим, что каждое собственное подпространство одномерно, и выберем элемент ${ displaystyle w _ { gamma} in X _ { gamma}}$ такой, что ${ displaystyle || w _ { gamma} || = 1}$. Тогда система ${ displaystyle {ш _ { gamma} } _ { gamma in { hat { mathbb {D}}}}}$, или та же система в нумерации знаков Уолша-Пэли ${ Displaystyle {ш_ {к} } _ {к ин { mathbb {N}} _ {0}}}$ называется обобщенной системой Уолша, связанной с действием ${ Displaystyle {R_ {т} } _ {т в mathbb {D}}}$. Классическая система Уолша становится частным случаем, а именно для

${ displaystyle R_ {t}: x = sum _ {j = 1} ^ { infty} x_ {j} 2 ^ {- j} mapsto sum _ {j = 1} ^ { infty} (x_ {j} oplus t_ {j}) 2 ^ {- j}}$

куда ${ displaystyle oplus}$ сложение по модулю 2.

В начале 1990-х годов Серж Ферлегер и Федор Сукочев показали, что в широком классе банаховых пространств (так называемых UMD пробелы ^[4]) обобщенные системы Уолша обладают многими свойствами, аналогичными классической: они образуют базис Шаудера ^[5] и равномерное конечномерное разложение ^[6] в пространстве обладают свойством случайной безусловной сходимости.^[7]Одним из важных примеров обобщенной системы Уолша является система Фермиона Уолша в некоммутативном L^п пространства, связанные с гиперконечный фактор типа II.

Система Фермиона Уолша

В Фермион Система Уолша является некоммутативным, или «квантовым» аналогом классической системы Уолша. В отличие от последнего, он состоит из операторов, а не функций. Тем не менее, обе системы обладают многими важными свойствами, например, обе образуют ортонормированный базис в соответствующем гильбертовом пространстве или Основа Шаудера в соответствующих симметрических пространствах. Элементы системы Фермиона Уолша называются Операторы Уолша.

Период, термин Фермион в названии системы объясняется тем, что окружающее пространство оператора, так называемое гиперконечный фактор типа II ${ Displaystyle { mathcal {R}}}$, можно рассматривать как пространство наблюдаемые системы счетно бесконечного числа различных вращение ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$ фермионы. Каждый Радемахер оператор действует только на одну конкретную координату фермиона, и это Матрица Паули. Его можно отождествить с наблюдаемой измеряемой спиновой компонентой этого фермиона вдоль одной из осей ${ Displaystyle {х, у, г }}$ в пространстве вращения. Таким образом, оператор Уолша измеряет спин подмножества фермионов, каждый вдоль своей оси.

Система Виленкина

Этот раздел пуст. Вы можете помочь добавляя к этому. (Август 2014 г.)

Бинарные поверхности

Романуке показал, что функции Уолша могут быть обобщены на бинарные поверхности в частном случае функции двух переменных.^[8] Также существует восемь базисов типа Уолша ортонормированных бинарных функций:^[9] структура которого нерегулярна (в отличие от структуры функций Уолша). Эти восемь базисов обобщаются также на поверхности (в случае функции двух переменных). Было доказано, что кусочно-постоянные функции могут быть представлены в пределах каждого из девяти базисов (включая базис функций Уолша) в виде конечных сумм двоичных функций при взвешивании с соответствующими коэффициентами.^[10]

Приложения

Приложения функций Уолша можно найти везде, где используются цифровые представления, включая распознавание речи, медико-биологические обработка изображений, и цифровая голография.

Например, быстрое преобразование Уолша – Адамара (FWHT) может использоваться при анализе цифровых квази-Монте-Карло методы. В радиоастрономия, Функции Уолша могут помочь уменьшить влияние электрического перекрестные помехи между антенными сигналами. Они также используются в пассивных ЖК-дисплей панели в виде бинарных управляющих сигналов X и Y, где автокорреляция между X и Y может быть минимальной для пикселей, которые отключены.

Смотрите также

• Дискретное преобразование Фурье
• Быстрое преобразование Фурье
• Гармонический анализ
• Ортогональные функции
• Матрица Уолша

Примечания

Рекомендации

• Ферлегер, Сергей В. (март 1998 г.). RUC-системы в некоммутативных симметричных пространствах (Технический отчет). MP-ARC-98-188.CS1 maint: ref = harv (связь)

• Ферлегер, Сергей В .; Сукочев, Федор Александрович (март 1996 г.). «О стягиваемости в точку линейных групп рефлексивных некоммутативных Lp-пространств». Математические труды Кембриджского философского общества. 119 (3): 545–560. Дои:10.1017 / с0305004100074405.CS1 maint: ref = harv (связь)

• Хорошо, Нью-Джерси (1949). «О функциях Уолша». Пер. Амер. Математика. Soc. 65 (3): 372–414. Дои:10.1090 / с0002-9947-1949-0032833-2.CS1 maint: ref = harv (связь)

• Пизье, Жиль (2011). Мартингалы в банаховых пространствах (в связи с типом и типом). Курс IHP (PDF).CS1 maint: ref = harv (связь)

• Романуке, В. В. (2010a). «К вопросу об обобщении функций Уолша на поверхности».CS1 maint: ref = harv (связь)

• Романуке, В. В. (2010b). «Обобщение восьми известных ортонормированных базисов двоичных функций на поверхности».CS1 maint: ref = harv (связь)

• Романуке, В. В. (2010c). «Эквидистантно дискретные на оси аргументов функции и их представление в ряду ортонормированных базисов».CS1 maint: ref = harv (связь)

• Шипп, Ференц; Wade, W.R .; Саймон, П. (1990). Серия Уолша. Введение в диадический гармонический анализ. Akadémiai Kiadó.CS1 maint: ref = harv (связь)

• Сукочев, Федор А .; Ферлегер, Сергей В. (декабрь 1995 г.). «Гармонический анализ в (UMD) -пространствах: приложения к теории базисов». Математические заметки. 58 (6): 1315–1326. Дои:10.1007 / bf02304891.CS1 maint: ref = harv (связь)

• Уолш, Дж. Л. (1923). «Замкнутый набор нормальных ортогональных функций». Амер. J. Math. 45 (1): 5–24. Дои:10.2307/2387224. JSTOR  2387224.CS1 maint: ref = harv (связь)

внешняя ссылка

• «Функции Уолша». MathWorld.

• «Функции Уолша». Энциклопедия математики.

• «Система Уолша». Энциклопедия математики.

• «Функции Уолша». Стэнфордский исследовательский проект.