Слабо зависимые случайные величины - Weakly dependent random variables

Вероятно, слабая зависимость случайных величин является обобщением независимость это слабее, чем концепция мартингейл^{[нужна цитата ]}. Время) последовательность из случайные переменные является слабо зависимым, если отдельные части последовательности имеют ковариация который асимптотически уменьшается до 0 по мере дальнейшего разделения блоков во времени. Слабая зависимость проявляется в первую очередь как техническое состояние в различных вероятностные предельные теоремы.

Формальное определение

Исправить набор S, последовательность наборов измеримые функции ${ displaystyle {{ mathcal {F}} _ {d} } _ {d = 1} ^ { infty} in prod _ {d = 1} ^ { infty} { left (S ^ {d} to mathbb {R} right)}}$, убывающая последовательность ${ displaystyle { theta _ { delta} } _ { delta = 1} ^ { infty} to 0}$, а функция ${ displaystyle psi in { mathcal {F}} ^ {2} times ( mathbb {Z} ^ {+}) ^ {2} to mathbb {R} ^ {+}}$. Последовательность ${ displaystyle {X_ {n} } _ {n = 1} ^ { infty}}$ случайных величин ${ displaystyle ( {{ mathcal {F}} _ {d} } _ {d = 1} ^ { infty}, { theta _ { delta} } _ { delta}, psi )}$-слабо зависимый iff, для всех ${ displaystyle j_ {1} leq j_ {2} leq dots leq j_ {d}$, для всех ${ displaystyle phi in { mathcal {F}} _ {d}}$, и ${ displaystyle theta in { mathcal {F}} _ {e}}$, у нас есть^[1]:315

${ displaystyle | operatorname {Cov} {( phi (X_ {j_ {1}}, dots, X_ {j_ {d}}), theta (X_ {k_ {1}}, dots, X_ { k_ {e}}))} | leq psi ( phi, theta, d, e) theta _ { delta}}$

Обратите внимание, что ковариация нет распадаться на 0 равномерно в d и е.^[2]:9

Общие приложения

Слабая зависимость - это достаточно слабое условие, которое проявляется во многих естественных случаях случайных процессов.^[2]:9 В частности, слабая зависимость - естественное условие эргодической теории случайных функций.^[3]

Достаточная замена независимости в Центральная предельная теорема Линдеберга – Леви слабая зависимость.^[1]:315 По этой причине в вероятностной литературе по предельным теоремам часто появляются специализации.^{[2]:153–197} К ним относятся условие Холерса для сильного перемешивания,^[1][4] «Абсолютная регулярность в локально-транзитивном смысле» Трана,^[5] и «асимптотическая квадрантная независимость» Биркеля.^[6]

Слабая зависимость также работает как замена сильное перемешивание.^[7] Опять же, обобщения последнего являются специализацией первого; пример Розенблатт условия смешивания.^[8]

Другие варианты использования включают обобщение Неравенство Марцинкевича – Зигмунда и Неравенства Розенталя.^[1]:314,319

Мартингалы слабо зависимы^{[нужна цитата ]}, поэтому многие результаты о мартингалах верны и для слабо зависимых последовательностей. Примером является Связь Бернштейна с высшими моментами, который можно расслабить, чтобы только потребовать^[9][10]

${ displaystyle { begin {align} operatorname {E} left [X_ {i} mid X_ {1}, dots, X_ {i-1} right] & = 0, operatorname {E } left [X_ {i} ^ {2} mid X_ {1}, dots, X_ {i-1} right] & leq R_ {i} operatorname {E} left [X_ {i} ^ {2} right], имя оператора {E} left [X_ {i} ^ {k} mid X_ {1}, dots, X_ {i-1} right] & leq { tfrac {1} {2}} operatorname {E} left [X_ {i} ^ {2} mid X_ {1}, dots, X_ {i-1} right] L ^ {k-2} к! конец {выровнено}}}$

Смотрите также

• Центральная предельная теорема
• Независимость случайных величин
• Мартингейл (теория вероятностей)

Рекомендации

внешняя ссылка

• Пример, вдохновляющий на эту идею
• Приложение
• Статья об альтернативе слабой зависимости