Взвешенная медиана - Weighted median

На верхней диаграмме показан список элементов со значениями, обозначенными высотой, а средний элемент показан красным. На нижнем графике показаны те же элементы с весом, обозначенным шириной прямоугольников. Взвешенная медиана показана красным цветом и отличается от обычной медианы.

В статистика, а взвешенная медиана образца составляет 50% взвешенный процентиль.^[1]^[2]^[3] Впервые это было предложено Ф. Я. Эджворт в 1888 г.^[4]^[5] Как и медиана, он полезен в качестве оценки основная тенденция, крепкий против выбросы. Это позволяет использовать неоднородные статистические веса, связанные, например, с различной точностью измерений в выборке.

Определение

Общий случай

За ${ displaystyle n}$ отдельные упорядоченные элементы ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, ..., x_ {n}}$ с положительными весами ${ displaystyle w_ {1}, w_ {2}, ..., w_ {n}}$ такой, что ${ Displaystyle сумма _ {я = 1} ^ {п} ш_ {я} = 1}$ , взвешенная медиана - это элемент ${ displaystyle x_ {k}}$ удовлетворение

{ Displaystyle сумма _ {я = 1} ^ {к-1} ш_ {я} leq 1/2}

и

{ Displaystyle сумма _ {я = к + 1} ^ {п} w_ {я} Leq 1/2}

Особый случай

Рассмотрим набор элементов, два из которых удовлетворяют общему случаю. Это происходит, когда соответствующие веса обоих элементов ограничивают среднюю точку набора весов, не инкапсулируя ее; Скорее, каждый элемент определяет раздел, равный ${ displaystyle 1/2}$ . Эти элементы называются нижней взвешенной медианной и верхней взвешенной медианой. Их условия выполняются следующим образом:

Нижняя взвешенная медиана

{ Displaystyle сумма _ {я = 1} ^ {к-1} ш_ {я} <1/2}

и

{ Displaystyle сумма _ {я = к + 1} ^ {п} ш_ {я} = 1/2}

Верхняя взвешенная медиана

{ Displaystyle сумма _ {я = 1} ^ {к-1} ш_ {я} = 1/2}

и

{ Displaystyle сумма _ {я = к + 1} ^ {п} ш_ {я} <1/2}

В идеале новый элемент должен быть создан с использованием среднего верхнего и нижнего взвешенных медиан и ему будет назначен нулевой вес. Этот метод аналогичен поиску медианы четного множества. Новый элемент будет истинной медианой, поскольку сумма весов по обе стороны от этой точки разделения будет равной.
В зависимости от приложения создание новых данных может оказаться невозможным или нецелесообразным. В этом случае взвешенная медиана должна быть выбрана на основе того, какой элемент поддерживает наиболее равные разделы. Это всегда будет взвешенная медиана с наименьшим весом.
В случае, если верхняя и нижняя взвешенные медианы равны, обычно принимается нижняя взвешенная медиана, как первоначально было предложено Эджвортом.^[6].

Характеристики

Сумма весов в каждой из двух перегородок должна быть по возможности равной.

Если веса всех чисел в наборе равны, то взвешенная медиана уменьшается до медианы.

Примеры

Для простоты рассмотрим набор чисел ${ Displaystyle {1; 2; 3; 4; 5; }}$ с каждым числом, имеющим веса ${ Displaystyle {0,15; 0,1; 0,2; 0,3; 0,25; }}$ соответственно. Медиана равна 3, а взвешенная медиана - это элемент, соответствующий весу 0,3, который равен 4. Веса с каждой стороны оси в сумме составляют 0,45 и 0,25, удовлетворяя общему условию, что каждая сторона должна быть как можно более ровной. Любой другой вес приведет к большей разнице между сторонами оси поворота.

Рассмотрим набор чисел ${ Displaystyle {1; 2; 3; 4; }}$ с каждым числом, имеющим одинаковый вес ${ Displaystyle {0,25; 0,25; 0,25; 0,25; }}$ соответственно. Равные веса должны давать средневзвешенное значение, равное медиане. Эта медиана равна 2,5, так как это четное множество. Нижняя взвешенная медиана равна 2 при суммах разделения 0,25 и 0,5, а верхняя взвешенная медиана равна 3 при суммах разделения 0,5 и 0,25. Каждое из этих разбиений удовлетворяет своим специальным и общим условиям. Идеально ввести новую опорную точку, взяв среднее значение верхней и нижней взвешенных медиан, если они существуют. При этом набор чисел ${ Displaystyle {1; 2; 2,5; 3; 4; }}$ с каждым числом, имеющим веса ${ displaystyle {0,25; 0,25; 0; 0,25; 0,25; }}$ соответственно. Это создает разделы, сумма которых равна 0,5. Легко видеть, что взвешенная медиана и медиана одинаковы для любого набора размеров с равными весами.

Аналогичным образом рассмотрим набор чисел ${ Displaystyle {1; 2; 3; 4; }}$ с каждым числом, имеющим веса ${ Displaystyle {0,49; 0,01; 0,25; 0,25; }}$ соответственно. Нижняя взвешенная медиана равна 2 при суммах разделения 0,49 и 0,5, а верхняя взвешенная медиана равна 3 при суммах разделения 0,5 и 0,25. В случае работы с целыми числами или неинтервальные меры, будет принята более низкая взвешенная медиана, так как она имеет меньший вес пары и, следовательно, сохраняет наиболее равные разбиения. Однако более идеальным вариантом будет взять среднее значение этих взвешенных медиан, когда это имеет смысл. По совпадению, и взвешенная медиана, и медиана равны 2,5, но это не всегда верно для больших наборов в зависимости от распределения веса.

Алгоритм

Средневзвешенная медиана может быть вычислена путем сортировки набора чисел и нахождения наименьших чисел, которые в сумме составляют половину общего веса. Этот алгоритм занимает ${ Displaystyle О (п журнал п)}$ время. Есть лучший подход к нахождению взвешенной медианы с использованием модифицированного алгоритма выбора.^[1]

// Главный вызов - WeightedMedian (a, 1, n)// Возвращает более низкую медиануВзвешенный(а[1..п], п, р)    // Базовый случай для одиночного элемента    если р = п тогда        возвращаться а[п]    // Базовый случай для двух элементов    // Убедитесь, что мы возвращаем среднее значение, на случай, если два кандидата имеют равный вес    если р-п = 1 тогда        если а[п].ш == а[р].ш            возвращаться (а[п] + а[р])/2        если а[п].ш > а[р].ш            возвращаться а[п]        еще             возвращаться а[р]    // Разделение вокруг оси r    q = раздел(а, п, р)    wl, wg = сумма веса из перегородки (п, q-1), (q+1, р)    // Если разделы сбалансированы, то все готово    если wl и wg обе < 1/2 тогда        возвращаться а[q]    еще        // Увеличиваем сводный вес на количество разделов, которые мы удаляем        если wl > wg тогда            а[q].ш += wg            // Рекурсия на опоре включительно             Взвешенный(а, п, q)        еще            а[q].ш += wl            Взвешенный(а, q, р)

Программное обеспечение / исходный код

Алгоритм быстрой взвешенной медианы реализован в расширении C для Python в Пакет Python Robustats.