Функция Вайнгартена - Weingarten function

В математике Функции Вайнгартена находятся рациональные функции проиндексировано разбиения целых чисел который может использоваться для вычисления интегралов произведений матричных коэффициентов по классические группы. Впервые они были изучены Вайнгартен (1978) которые нашли свое асимптотическое поведение и названы Коллинз (2003), которые явно оценили их для унитарная группа.

Унитарные группы

Функции Вайнгартена используются для вычисления интегралов по унитарная группа U_d произведений матричных коэффициентов вида

${displaystyle int _ {U_ {d}} U_ {i_ {1} j_ {1}} cdots U_ {i_ {q} j_ {q}} U_ {j_ {1} ^ {prime} i_ {1} ^ {prime }} ^ {*} cdots U_ {j_ {q} ^ {prime} i_ {q} ^ {prime}} ^ {*} dU.}$

(Здесь ${displaystyle U ^ {*}}$ обозначает сопряженное транспонирование ${displaystyle U}$, альтернативно обозначается как ${displaystyle U ^ {dagger}}$.)

Этот интеграл равен

${displaystyle sum _ {sigma, au in S_ {q}} delta _ {i_ {1} i_ {sigma (1)} ^ {prime}} дельта cdots _ {i_ {q} i_ {sigma (q)} ^ { prime}} delta _ {j_ {1} j_ {au (1)} ^ {prime}} cdots delta _ {j_ {q} j_ {au (q)} ^ {prime}} W! g (sigma au ^ { -1}, г)}$

куда Wg - функция Вейнгартена, заданная формулой

${displaystyle W! g (sigma, d) = {frac {1} {q! ^ {2}}} sum _ {lambda} {frac {chi ^ {lambda} (1) ^ {2} chi ^ {lambda} (сигма)} {s_ {лямбда, d} (1)}}}$

где сумма ведется по всем разбиениям λ множества q (Коллинз 2003 ). Здесь χ^λ это персонаж S_q соответствующему разбиению λ и s это Полином Шура λ, так что s_λd(1) - размерность представления U_d соответствующий λ.

Функции Вайнгартена - это рациональные функции в d. Они могут иметь полюса для малых значений d, которые сокращаются в приведенной выше формуле. Существует альтернативное неэквивалентное определение функций Вайнгартена, в котором суммируются только разбиения с не более чем d части. Это больше не рациональная функция d, но конечно для всех натуральных чисел d. Два вида функций Вейнгартена совпадают для d больше, чем q, и любой из них может быть использован в формуле для интеграла.

Примеры

Первые несколько функций Вайнгартена Wg(σ, d) находятся

${displaystyle displaystyle W! g (, d) = 1}$ (Тривиальный случай, когдаq = 0)

${displaystyle displaystyle W! g (1, d) = {гидроразрыв {1} {d}}}$

${displaystyle displaystyle W! g (2, d) = {гидроразрыв {-1} {d (d ^ {2} -1)}}}$

${displaystyle displaystyle W! g (1 ^ {2}, d) = {гидроразрыв {1} {d ^ {2} -1}}}$

${displaystyle displaystyle W! g (3, d) = {гидроразрыв {2} {d (d ^ {2} -1) (d ^ {2} -4)}}}$

${displaystyle displaystyle W! g (21, d) = {гидроразрыв {-1} {(d ^ {2} -1) (d ^ {2} -4)}}}$

${displaystyle displaystyle W! g (1 ^ {3}, d) = {frac {d ^ {2} -2} {d (d ^ {2} -1) (d ^ {2} -4)}}}$

где перестановки σ обозначаются их формами цикла.

Существуют программы компьютерной алгебры для создания этих выражений.^[1][2]

Асимптотическое поведение

Для больших d, функция Вайнгартена Wg имеет асимптотическое поведение

${displaystyle W! g (sigma, d) = d ^ {- n- | sigma |} prod _ {i} (- 1) ^ {| C_ {i} | -1} c_ {| C_ {i} | - 1} + O (d ^ {- n- | сигма | -2})}$

где перестановка σ является произведением циклов длин C_я, и c_п = (2п)!/п!(п + 1)! это Каталонский номер, и | σ | наименьшее количество транспозиций, произведением которых σ является. Существует схематический метод^[3] систематически вычислять интегралы по унитарной группе как степенной ряд от 1 / д.

Ортогональные и симплектические группы

За ортогональный и симплектические группы функции Weingarten оценивались Коллинз и Сниади (2006). Их теория аналогична случаю унитарной группы. Они параметризуются перегородками, поэтому все части имеют одинаковый размер.

внешняя ссылка

• Коллинз, Бенуа (2003), «Моменты и кумулянты полиномиальных случайных величин на унитарных группах, интеграл Ициксона-Цубера и свободная вероятность», Уведомления о международных математических исследованиях, 2003 (17): 953–982, arXiv:math-ph / 0205010, Дои:10.1155 / S107379280320917X, МИСТЕР  1959915
• Коллинз, Бенуа; Сняды, Петр (2006), "Интегрирование по мере Хаара на унитарной, ортогональной и симплектической группе", Коммуникации по математической физике, 264 (3): 773–795, arXiv:math-ph / 0402073, Bibcode:2006CMaPh.264..773C, Дои:10.1007 / s00220-006-1554-3, МИСТЕР  2217291
• Вайнгартен, Дон (1978), "Асимптотическое поведение групповых интегралов в пределе бесконечного ранга", Журнал математической физики, 19 (5): 999–1001, Bibcode:1978JMP .... 19..999 Вт, Дои:10.1063/1.523807, МИСТЕР  0471696

Рекомендации