Уравнение Уизема - Whitham equation

В математическая физика, то Уравнение Уизема является нелокальной моделью для нелинейный диспергирующий волны. ^[1][2][3]

Уравнение обозначается следующим образом:

${ displaystyle { frac { partial eta} { partial t}} + alpha eta { frac { partial eta} { partial x}} + int _ {- infty} ^ {+ infty} K (x- xi) , { frac { partial eta ( xi, t)} { partial xi}} , { text {d}} xi = 0.}$

Этот интегро-дифференциальное уравнение для колебательной переменной η(Икс,т) назван в честь Джеральд Уизем кто представил это как образец для изучения ломка нелинейной дисперсии волны на воде в 1967 г.^[4] Обрушение волн - ограниченные решения с неограниченным производные - для уравнения Уизема недавно было доказано.^[5]

При определенном выборе ядро K(Икс − ξ) становится Уравнение Форнберга – Уизема.

Волны на воде

С использованием преобразование Фурье (и обратная ей) по пространственной координате Икс и с точки зрения волновое число k:

• За поверхностные гравитационные волны, то фазовая скорость c(k) как функция волнового числа k принимается как:^[4]

${ displaystyle c _ { text {ww}} (k) = { sqrt {{ frac {g} {k}} , tanh (kh)}},}$   пока   ${ displaystyle alpha _ { text {ww}} = { frac {3} {2}} { sqrt { frac {g} {h}}},}$

с грамм в гравитационное ускорение и час в иметь в виду глубина воды. Связанный ядро K_ww(s), используя обратное преобразование Фурье:^[4]

${ displaystyle K _ { text {ww}} (s) = { frac {1} {2 pi}} int _ {- infty} ^ {+ infty} c _ { text {ww}} ( k) , { text {e}} ^ {iks} , { text {d}} k = { frac {1} {2 pi}} int _ {- infty} ^ {+ infty} c _ { text {ww}} (k) , cos (ks) , { text {d}} k,}$

поскольку c_ww является четной функцией волнового числа k.

• В Уравнение Кортевега – де Фриза (Уравнение КдФ) возникает при сохранении первых двух членов расширение серии из c_ww(k) за длинные волны с кх ≪ 1:^[4]

${ displaystyle c _ { text {kdv}} (k) = { sqrt {gh}} left (1 - { frac {1} {6}} k ^ {2} h ^ {2} right) ,}$   ${ displaystyle K _ { text {kdv}} (s) = { sqrt {gh}} left ( delta (s) + { frac {1} {6}} h ^ {2} , delta ^ { prime prime} (s) right),}$   ${ displaystyle alpha _ { text {kdv}} = { frac {3} {2}} { sqrt { frac {g} {h}}},}$

с δ(s) Дельта-функция Дирака.

• Бенгт Форнберг и Джеральд Уизэм изучили ядро K_fw(s) – безразмерный с помощью грамм и час:^[6]

${ displaystyle K _ { text {fw}} (s) = { frac {1} {2}} nu { text {e}} ^ {- nu | s |}}$   и   ${ displaystyle c _ { text {fw}} = { frac { nu ^ {2}} { nu ^ {2} + k ^ {2}}},}$   с   ${ displaystyle alpha _ { text {fw}} = { frac {3} {2}}.}$

Результирующий интегро-дифференциальное уравнение можно свести к уравнению в частных производных, известному как Уравнение Форнберга – Уизема:^[6]

${ displaystyle left ({ frac { partial ^ {2}} { partial x ^ {2}}} - nu ^ {2} right) left ({ frac { partial eta} { partial t}} + { frac {3} {2}} , eta , { frac { partial eta} { partial x}} right) + { frac { partial eta} { partial x}} = 0.}$

Показано, что это уравнение учитывает пикон решения - как модель для волн предельной высоты - а также возникновение обрушения волн (ударные волны, отсутствует, например, в решения уравнения Кортевега – де Фриза).^[6][3]

Примечания и ссылки

Примечания

Рекомендации