Руководство по теореме классификации компактных поверхностей - A Guide to the Classification Theorem for Compact Surfaces

Руководство по теореме классификации компактных поверхностей это учебник в топология, на классификация двумерных поверхности. Это было написано Жан Галье и Дайанна Сюй, и опубликовано в 2013 г. Springer-Verlag как том 9 их серии геометрии и вычислений (Дои:10.1007/978-3-642-34364-3, ISBN  978-3-642-34363-6). Комитет по списку основных библиотек Математическая ассоциация Америки рекомендовал включить его в библиотеки математики бакалавриата.[1]

Темы

Классификация поверхностей (более формально компактные двумерные коллекторы без границ) можно сформулировать очень просто, так как это зависит только от Эйлерова характеристика и ориентируемость поверхности. Ориентируемая поверхность такого типа должна быть топологически эквивалентной (гомеоморфный ) к сфера, тор, или более общий ручка, классифицируемый по количеству ручек. Неориентируемая поверхность должна быть эквивалентна проективная плоскость, Бутылка Клейна, или более общая поверхность, характеризующаяся аналогичным номером, ее количеством кросс-кепки. Для компактных поверхностей с границами единственная дополнительная информация, которая требуется, - это количество граничных компонентов.[1] Этот результат неофициально представлен в начале книги, в первой из шести ее глав. В оставшейся части книги представлена ​​более строгая формулировка проблемы, описание топологических инструментов, необходимых для доказательства результата, и формальное доказательство классификации.[2][3]

Другие темы топологии, обсуждаемые в рамках этой презентации, включают: симплициальные комплексы, фундаментальные группы, симплициальные гомологии и особые гомологии, а Гипотеза Пуанкаре. Приложения включают дополнительный материал о вложениях и самопересекающихся отображениях поверхностей в трехмерное пространство, например Римская поверхность, структура конечно порожденные абелевы группы, общая топология, история классификационной теоремы и Hauptvermutung (теорема о том, что любую поверхность можно триангулировать).[2]

Аудитория и прием

Это учебник, ориентированный на уровень математики продвинутых студентов или начинающих аспирантов,[2] возможно, после прохождения первого курса топологии. Ожидается, что читатели книги уже знакомы с общая топология, линейная алгебра, и теория групп.[1] Однако в качестве учебника в нем отсутствуют упражнения, и рецензент Билл Вуд предлагает использовать его для студенческого проекта, а не для формального курса.[1]

Многие другие выпускники алгебраическая топология учебники включают освещение той же темы.[4]Однако, сосредоточив внимание на одной теме, теореме классификации, книга может строго доказать результат, оставаясь при этом на более низком общем уровне,[4][5] дать больше интуиции и истории,[4] и служить «мотивирующим туром по основным методам дисциплины».[1]

Рецензент Клара Лё жалуется, что части книги излишни, и, в частности, что классификационная теорема может быть доказана либо с помощью фундаментальной группы, либо с помощью гомологии (не требуя того и другого), что, с другой стороны, несколько важных инструментов из топологии, включая Теорема Джордана – Шенфлиса не доказаны, и что некоторые связанные результаты классификации опущены.[3] Тем не менее рецензент Д. В. Фельдман настоятельно рекомендует книгу.[5] Вуд пишет: «Я хотел бы иметь эту книгу в аспирантуре»,[1] рецензент Вернер Кляйнерт называет его «вводным текстом замечательной дидактической ценности».[2]

Рекомендации

  1. ^ а б c d е ж Вуд, Билл (март 2014 г.), "Обзор Руководство по теореме классификации компактных поверхностей", Обзоры MAA, Математическая ассоциация Америки
  2. ^ а б c d Кляйнерт, Вернер, "Обзор Руководство по теореме классификации компактных поверхностей", zbMATH, Zbl  1270.57001
  3. ^ а б Лё, Клара, "Обзор Руководство по теореме классификации компактных поверхностей", Математические обзоры, 9, МИСТЕР  3026641
  4. ^ а б c Кастрильон Лопес, Марко (январь 2018 г.), "Обзор Руководство по теореме классификации компактных поверхностей", Обзоры EMS, Европейское математическое общество
  5. ^ а б Фельдман, Д. В. (август 2013 г.), "Обзор Руководство по теореме классификации компактных поверхностей" (PDF), Выбор отзывов, 51 (01), Обзор 51-0331, Дои:10.5860 / выбор.51-0331

внешняя ссылка