Противоположные варианты - Antithetic variates

В статистика, то противоположные варианты метод - это уменьшение дисперсии техника, используемая в Методы Монте-Карло. Учитывая, что уменьшение погрешности моделируемого сигнала (с использованием Методы Монте-Карло ) имеет квадратный корень конвергенция, очень большое количество образец paths требуется для получения точного результата. Метод противоположных вариаций снижает разброс результатов моделирования.^[1][2]

Основной принцип

Техника противоположных вариаций заключается в том, чтобы для каждого полученного пути выборки следовать его противоположному пути - которому дается путь. ${displaystyle {varepsilon _ {1}, dots, varepsilon _ {M}}}$ также взять ${displaystyle {-varepsilon _ {1}, dots, -varepsilon _ {M}}}$. Преимущество этой техники двоякое: она уменьшает количество нормальный образцы должны быть взяты для генерации N пути, и это уменьшает отклонение траекторий выборки, повышая точность.

Предположим, что мы хотим оценить

${displaystyle heta = mathrm {E} (h (X)) = mathrm {E} (Y),}$

Для этого мы создали два образца

${displaystyle Y_ {1} {ext {and}} Y_ {2},}$

Беспристрастная оценка ${displaystyle {heta}}$ дан кем-то

${displaystyle {hat {heta}} = {frac {{hat {heta}} _ {1} + {hat {heta}} _ {2}} {2}}.}$

И

${displaystyle {ext {Var}} ({hat {heta}}) = {frac {{ext {Var}} (Y_ {1}) + {ext {Var}} (Y_ {2}) + 2 {ext { Cov}} (Г_ {1}, Г_ {2})} {4}}}$

поэтому дисперсия уменьшается, если ${displaystyle {ext {Cov}} (Y_ {1}, Y_ {2})}$ отрицательный.

Пример 1

Если закон переменной Икс следует за равномерное распределение вдоль [0, 1] первый образец будет ${displaystyle u_ {1}, ldots, u_ {n}}$, где для любого заданного я, ${displaystyle u_ {i}}$ получается из U(0, 1). Второй образец построен из ${displaystyle u '_ {1}, ldots, u' _ {n}}$, где для любого заданного я: ${displaystyle u '_ {i} = 1-u_ {i}}$. Если набор ${displaystyle u_ {i}}$ равномерно вдоль [0, 1], поэтому ${displaystyle u '_ {i}}$. Кроме того, ковариация отрицательна, что позволяет уменьшить исходную дисперсию.

Пример 2: интегральный расчет

Мы хотели бы оценить

${displaystyle I = int _ {0} ^ {1} {frac {1} {1 + x}}, mathrm {d} x.}$

Точный результат ${displaystyle I = ln 2approx 0,69314718}$. Этот интеграл можно рассматривать как ожидаемое значение ${displaystyle f (U)}$, где

${displaystyle f (x) = {гидроразрыв {1} {1 + x}}}$

и U следует за равномерное распределение  [0, 1].

В следующей таблице сравнивается классическая оценка Монте-Карло (размер выборки: 2п, где п = 1500) к оценке противоположных переменных (размер выборки: п, дополненный преобразованным образцом 1 -ты_я):

	Оценить	Среднеквадратичное отклонение
Классическая оценка	0.69365	0.00255
Антитетические варианты	0.69399	0.00063

Использование метода противоположных вариаций для оценки результата показывает значительное уменьшение дисперсии.

использованная литература