Оценка Ареллано – Бонда - Википедия - Arellano–Bond estimator

В эконометрика, то Оценка Ареллано – Бонда это обобщенный метод моментов оценщик, используемый для оценки динамические модели из данные панели. Он был предложен в 1991 г. Мануэль Арельяно и Стивен Бонд,^[1] на основе более ранней работы Алок Бхаргава и Джон Денис Сарган в 1983 г. для решения некоторых проблем эндогенности.^[2] Оценщик GMM-SYS - это система, которая содержит как уровни, так и первые разностные уравнения. Он предоставляет альтернативу стандартной GMM-оценке первой разности.

Качественное описание

В отличие от моделей статических панельных данных, модели динамических панельных данных включают в себя запаздывающие уровни зависимой переменной в качестве регрессоров. Включение зависимой переменной с лагом в качестве регрессора нарушает строгую экзогенность, поскольку зависимая переменная с лагом, вероятно, будет коррелирована с случайные эффекты и / или общие ошибки.^[2] В статье Бхаргава-Сарган были разработаны оптимальные линейные комбинации предопределенных переменных из разных периодов времени, предоставлены достаточные условия для идентификации параметров модели с использованием ограничений по временным периодам, а также разработаны тесты на экзогенность для подмножества переменных. Когда допущения экзогенности нарушаются и картина корреляции между изменяющимися во времени переменными и ошибками может быть сложной, обычно используются методы статических панельных данных, такие как фиксированные эффекты оценщики могут давать непоследовательные оценки, потому что они требуют определенных строгая экзогенность предположения.

Андерсон и Сяо (1981) впервые предложили решение, используя инструментальные переменные (IV) оценка.^[3] Однако оценка Андерсона – Сяо асимптотически неэффективна, поскольку ее асимптотическая дисперсия выше, чем оценка Ареллано – Бонда, которая использует аналогичный набор инструментов, но использует обобщенный метод моментов оценка, а не инструментальные переменные оценка.

В методе Ареллано – Бонда первая разница из уравнение регрессии принимаются для устранения индивидуальных эффектов. Затем более глубокие лаги зависимой переменной используются в качестве инструментов для разностных лагов зависимой переменной (которые являются эндогенными).

В традиционных методах панельных данных добавление более глубоких лагов зависимой переменной сокращает количество доступных наблюдений. Например, если наблюдения доступны в T периодов времени, то после первого сравнения можно использовать только лагы T-1. Затем, если K лагов зависимой переменной используются в качестве инструментов, в регрессии можно использовать только наблюдения T-K-1. Это создает компромисс: добавление большего количества лагов дает больше инструментов, но уменьшает размер выборки. Метод Ареллано – Бонда позволяет обойти эту проблему.

Формальное описание

Рассмотрим статическую линейную модель ненаблюдаемых эффектов для ${ displaystyle N}$ наблюдения и ${ displaystyle T}$ периоды времени:

{ displaystyle y_ {it} = X_ {it} mathbf { beta} + alpha _ {i} + u_ {it}}

за

{ displaystyle t = 1, ldots, T}

и

{ Displaystyle я = 1, ldots, N}

куда ${ displaystyle y_ {it}}$ зависимая переменная, наблюдаемая для отдельных ${ displaystyle i}$ вовремя ${ displaystyle t,}$ ${ displaystyle X_ {it}}$ это временной вариант ${ displaystyle 1 times k}$ матрица регрессора, ${ displaystyle alpha _ {я}}$ является ненаблюдаемым неизменным во времени индивидуальным эффектом и ${ displaystyle u_ {it}}$ это срок ошибки. В отличие от ${ displaystyle X_ {it}}$ , ${ displaystyle alpha _ {я}}$ эконометрист не может наблюдать. Общие примеры инвариантных во времени эффектов ${ displaystyle alpha _ {я}}$ являются врожденными способностями для отдельных лиц или историческими и институциональными факторами для стран.

В отличие от модели данных статической панели, модель динамической панели также содержит запаздывания зависимой переменной в качестве регрессоров, учитывающих такие концепции, как импульс и инерция. В дополнение к регрессорам, описанным выше, рассмотрим случай, когда одно запаздывание зависимой переменной включено в качестве регрессора, ${ displaystyle y_ {it-1}}$ .

{ displaystyle y_ {it} = X_ {it} mathbf { beta} + rho y_ {it-1} + alpha _ {i} + u_ {it} { text {for}} t = 1, ldots, T { text {и}} i = 1, ldots, N}

Взяв первое отличие этого уравнения, чтобы исключить индивидуальный эффект,

{ displaystyle Delta y_ {it} = y_ {it} -y_ {it-1} = Delta X_ {it} beta + rho Delta , y_ {it-1} + Delta u_ {it} { text {for}} t = 1, ldots, T { text {and}} i = 1, ldots, N.}

Обратите внимание, что если ${ displaystyle alpha _ {я}}$ имел изменяющийся во времени коэффициент, то разность уравнения не устранит индивидуальный эффект. Это уравнение можно переписать как,

{ Displaystyle Delta y = Delta R pi + Delta u.}

Применяя формулу для эффективного обобщенного метода оценки моментов, а именно:

{ Displaystyle pi _ { текст {EGMM}} = [ Delta R'Z (Z ' Omega Z) ^ {- 1} Z' , Delta R] ^ {- 1} , Delta R 'Z (Z' Omega Z) ^ {- 1} Z ' Delta y}

куда ${ displaystyle Z}$ матрица инструментов для ${ displaystyle Delta R}$ .

Матрица ${ displaystyle Omega}$ может быть вычислено из дисперсии членов ошибки, ${ displaystyle u_ {it}}$ для одношаговой оценки Ареллано – Бонда или с использованием остаточных векторов одношаговой оценки Ареллано – Бонда для двухшаговой оценки Ареллано – Бонда, которая является последовательный и асимптотически эффективный при наличии гетероскедастичности.

Матрица инструментов

Исходная оценка IV Андерсона и Сяо (1981) использует следующие моментные условия:

{ displaystyle E (y_ {it-I} , Delta u_ {it}) = 0 { text {with}} I geq 2 { text {для каждого}} t geq 3.}

Использование одного инструмента ${ displaystyle y_ {it-2}}$ , эти моментные условия составляют основу инструментальной матрицы ${ displaystyle Z_ {di}}$ :

{ Displaystyle Z_ {di} = { begin {bmatrix} NA & (t = 2) y_ {i1} & (t = 3) y_ {i2} & (t = 4) vdots & vdots y_ {T-2} & (t = T) end {bmatrix}}}

Примечание: Первое возможное наблюдение - это t = 2 из-за первого разностного преобразования

Инструмент ${ displaystyle y_ {it-2}}$ входит как один столбец. С ${ displaystyle y_ {it-2}}$ недоступен в ${ displaystyle t = 2}$ , все наблюдения из ${ displaystyle t = 2}$ должен быть отброшен.

Использование дополнительного инструмента ${ displaystyle y_ {it-3}}$ означало бы добавление дополнительного столбца к ${ displaystyle Z_ {di}}$ . Таким образом, все наблюдения из ${ displaystyle t = 3}$ пришлось бы отбросить.

Хотя добавление дополнительных инструментов увеличивает эффективность оценщика IV, меньший размер выборки снижает эффективность. Это компромисс между эффективностью и размером выборки.

Оценщик облигаций Ареллано устраняет этот компромисс с помощью инструментов, привязанных к конкретному времени.

В оценке Ареллано – Бонда используются следующие моментные условия

{ displaystyle E (y_ {it-I} , Delta u_ {it}) = 0 { text {for}} t geq 3, , I geq 2.}

Используя эти моментные условия, инструментальная матрица ${ displaystyle Z_ {di}}$ теперь становится:

{ displaystyle Z_ {di} = { begin {bmatrix} y_ {i1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & cdots 0 & y_ {i2} & y_ {i1} & 0 & 0 & 0 & cdots 0 & 0 & 0 & y_ {i3} & y_ {i2} & y_ {i1} cdots vdots & vdots & vdots & vdots & vdots & vdots & ddots end {bmatrix}}}

Обратите внимание, что количество моментов увеличивается с течением времени: так можно избежать компромисса между эффективностью и размером выборки. Временные периоды, расположенные дальше в будущем, имеют больше лагов, доступных для использования в качестве инструментов.

Тогда, если определить:

{ displaystyle Delta u_ {i} = { begin {bmatrix} Delta u_ {i3} Delta u_ {i4} Delta u_ {i5} vdots end {bmatrix}}}

Условия момента можно резюмировать следующим образом:

{ Displaystyle Е (Z_ {ди} ^ {T} , Delta u_ {я}) = 0}

Эти моментные условия действительны только тогда, когда условие ошибки ${ displaystyle u_ {it}}$ не имеет серийной корреляции. Если присутствует серийная корреляция, то оценка Ареллано – Бонда все же может использоваться при некоторых обстоятельствах, но потребуются более глубокие лаги. Например, если срок ошибки ${ displaystyle u_ {it}}$ соотносится со всеми условиями ${ displaystyle u_ {it-s}}$ для s ${ displaystyle leq}$ S (как было бы, если бы ${ displaystyle u_ {it}}$ были процессом MA (S)), необходимо было бы использовать только лаги ${ displaystyle y_ {it}}$ глубины S + 1 или больше в качестве инструментов.

Системы GMM

Когда дисперсия отдельного члена эффекта по отдельным наблюдениям велика или когда стохастический процесс ${ displaystyle y_ {it}}$ близок к тому, чтобы быть случайная прогулка, то оценка Ареллано – Бонда может очень плохо работать в конечных выборках. Это связано с тем, что в этих обстоятельствах зависимые переменные с запаздыванием будут слабыми инструментами.

Бланделл и Бонд (1998) вывели условие, при котором можно использовать дополнительный набор моментных условий.^[4] Эти дополнительные моментные условия можно использовать для улучшения характеристик малой выборки оценки Ареллано – Бонда. В частности, они выступали за использование моментных условий:

{ displaystyle operatorname {E} ( Delta y_ {it-1} ( alpha _ {i} + u_ {it})) = 0 { text {for}} t geq 3}

(1)

Эти дополнительные условия момента действительны при условиях, указанных в их статье. В этом случае полный набор моментных условий можно записать:

${ displaystyle operatorname {E} (Z_ {SYS, i} ^ {T} P_ {i}) = 0}$

куда

{ Displaystyle P_ {я} = { begin {pmatrix} Delta u_ {i} u_ {i3} u_ {i4} u_ {i5} vdots end {pmatrix}}}

и

{ displaystyle Z_ {SYS, i} = { begin {pmatrix} Z_ {di} & 0 & 0 & 0 0 & Delta y_ {i2} & 0 & 0 0 & 0 & Delta y_ {i3} & 0 0 & 0 & 0 & ddots end {pmatrix }}.}

Этот метод известен как системы GMM. Обратите внимание, что согласованность и эффективность средства оценки зависят от обоснованности предположения о том, что ошибки могут быть разложены, как в уравнении (1). Это предположение можно проверить эмпирическими приложениями, и тест отношения правдоподобия часто отвергает простую декомпозицию случайных эффектов.^[2]

Реализации в статистических пакетах

р: оценка Ареллано – Бонда доступна как часть плм упаковка.^[5]^[6]^[7]
Stata: команды xtabond и xtabond2 вернуть оценки Ареллано – Бонда.^[8]^[9]

Смотрите также

дальнейшее чтение

Балтаги, Бади Х. (2008). «Модели данных динамической панели». Эконометрический анализ панельных данных (4-е изд.). Джон Вили и сыновья. С. 147–180. ISBN 978-0-470-51886-1.
Кэмерон, А. Колин; Триведи, Правин К. (2005). «Динамические модели». Микроэконометрика: методы и приложения. Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. С. 763–768. ISBN 0-521-84805-9.
Сяо, Ченг (2014). «Динамические модели одновременных уравнений». Анализ панельных данных (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. С. 397–402. ISBN 978-1-107-65763-2.

[1] Арельяно, Мануэль; Бонд, Стивен (1991). «Некоторые тесты спецификации для панельных данных: доказательства Монте-Карло и приложение к уравнениям занятости». Обзор экономических исследований. 58 (2): 277. Дои:10.2307/2297968. JSTOR 2297968.

[Bhargava_and_Sargan,_1983-2] а ^б ^c Бхаргава, А .; Сарган, Дж. Д. (1983). «Оценка динамических моделей случайных эффектов по панельным данным за короткие периоды времени». Econometrica. 51 (6): 1635–1659. Дои:10.2307/1912110. JSTOR 1912110.

[3] Андерсон, Т. У .; Сяо, Ченг (1981). «Оценка динамических моделей с ошибочными составляющими» (PDF). Журнал Американской статистической ассоциации. 76 (375): 598–606. Дои:10.1080/01621459.1981.10477691..

[4] Бланделл, Ричард; Бонд, Стивен (1998). «Начальные условия и ограничения моментов в моделях динамических панельных данных». Журнал эконометрики. 87 (1): 115–143. Дои:10.1016 / S0304-4076 (98) 00009-8.

[5] Клейбер, Кристиан; Зейлейс, Ахим (2008). «Линейная регрессия с панельными данными». Прикладная эконометрика с R. Springer. С. 84–89. ISBN 978-0-387-77316-2.

[6] Круассан, Ив; Милло, Джованни (2008). «Эконометрика панельных данных в R: пакет plm». Журнал статистического программного обеспечения. 27 (2): 1–43. Дои:10.18637 / jss.v027.i02.

[7] "plm: линейные модели для панельных данных". Проект R.

[8] «xtabond - Линейная динамическая оценка панельных данных Ареллано – Бонда» (PDF). Руководство по Stata.

[9] Рудман, Дэвид (2009). «Как сделать xtabond2: введение в систему GMM в Stata». Stata Journal. 9 (1): 86–136. Дои:10.1177 / 1536867X0900900106. S2CID 220292189.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]