Асимптотическая гомогенизация - Asymptotic homogenization

В математика и физика, гомогенизация это метод изучения уравнения в частных производных с быстро осциллирующими коэффициентами,^[1]^[2]^[3] Такие как

{ displaystyle nabla cdot left (A left ({ frac { vec {x}} { epsilon}} right) nabla u _ { epsilon} right) = f}

куда ${ displaystyle epsilon}$ это очень маленький параметр и ${ Displaystyle А влево ({ vec {y}} вправо)}$ - 1-периодический коэффициент: ${ displaystyle A left ({ vec {y}} + { vec {e}} _ {i} right) = A left ({ vec {y}} right)}$ , ${ Displaystyle я = 1, точки, п}$ .

Оказывается, изучение этих уравнений также имеет большое значение в физике и технике, поскольку уравнения этого типа управляют физикой неоднородных или неоднородных материалов. Конечно, вся материя в каком-то масштабе неоднородна, но часто ее удобно рассматривать как однородную. Хорошим примером является концепция континуума, которая используется в механика сплошной среды. Исходя из этого предположения, такие материалы, как жидкости, твердые вещества и т. д. могут рассматриваться как однородные материалы, и с этими материалами связаны такие свойства материала, как модуль сдвига, модули упругости, так далее.

Часто неоднородные материалы (например, композитные материалы ) владеть микроструктура и поэтому они подвергаются нагрузкам или воздействиям, которые изменяются в масштабе длины, который намного превышает характерный масштаб длины микроструктуры. В этой ситуации часто можно заменить приведенное выше уравнение уравнением вида

{ displaystyle nabla cdot left (A ^ {*} nabla u right) = f}

куда ${ displaystyle A ^ {*}}$ - постоянный тензорный коэффициент, известный как эффективное свойство, связанное с рассматриваемым материалом. Его можно явно вычислить как

{ displaystyle A_ {ij} ^ {*} = int _ {(0,1) ^ {n}} A ({ vec {y}}) left ( nabla w_ {j} ({ vec { y}}) + { vec {e}} _ {j} right) cdot { vec {e}} _ {i} , dy_ {1} dots dy_ {n}, qquad i, j = 1, точки, n}

от 1-периодических функций ${ displaystyle w_ {j}}$ удовлетворение:

{ displaystyle nabla _ {y} cdot left (A ({ vec {y}}) nabla w_ {j} right) = - nabla _ {y} cdot left (A ({ vec {y}}) { vec {e}} _ {j} right).}

Этот процесс замены уравнения с сильно колеблющимся коэффициентом уравнением с однородным (однородным) коэффициентом известен как гомогенизация. Эта тема неразрывно связана с темой микромеханика именно по этой причине.

При усреднении одно уравнение заменяется другим, если ${ displaystyle u _ { epsilon} приблизительно u}$ для достаточно маленького ${ displaystyle epsilon}$ , при условии ${ displaystyle u _ { epsilon} to u}$ в некоторой соответствующей норме как ${ displaystyle epsilon to 0}$ .

В результате вышеизложенного гомогенизацию можно рассматривать как расширение концепции континуума на материалы, обладающие микроструктурой. Аналог дифференциального элемента в концепции континуума (который содержит достаточно атомов или молекулярной структуры, чтобы представлять этот материал) известен как "Типичный элемент объема "^[4] в гомогенизации и микромеханике. Этот элемент содержит достаточно статистической информации о неоднородной среде, чтобы быть репрезентативным для материала. Следовательно, усреднение по этому элементу дает эффективное свойство, например ${ displaystyle A ^ {*}}$ над.

Классические результаты теории усреднения^[1]^[2]^[3] были получены для сред с периодической микроструктурой, моделируемой уравнениями в частных производных с периодическими коэффициентами. Эти результаты позже были обобщены на пространственно однородные случайные среды, моделируемые дифференциальными уравнениями со случайными коэффициентами, статистические свойства которых одинаковы в каждой точке пространства.^[5]^[6] На практике для многих приложений требуется более общий способ моделирования, который не является ни периодическим, ни статистически однородным. С этой целью методы теории усреднения были распространены на уравнения с частными производными, коэффициенты которых не являются ни периодическими, ни статистически однородными (так называемые произвольно грубые коэффициенты).^[7]^[8]

Метод асимптотического усреднения.

Теория математической гомогенизации восходит к французской, русской и итальянской школам.^[1]^[2]^[3]^[9] Метод асимптотического усреднения заключается в введении быстрой переменной ${ displaystyle { vec {y}} = { vec {x}} / epsilon}$ и представляя формальное расширение в ${ displaystyle epsilon}$ :

{ displaystyle u _ { epsilon} ({ vec {x}}) = u ({ vec {x}}, { vec {y}}) = u_ {0} ({ vec {x}}, { vec {y}}) + epsilon u_ {1} ({ vec {x}}, { vec {y}}) + epsilon ^ {2} u_ {2} ({ vec {x} }, { vec {y}}) + O ( epsilon ^ {3}) ,}

что порождает иерархию проблем. Получено усредненное уравнение и определены эффективные коэффициенты путем решения так называемых "ячеечных задач" для функции ${ displaystyle u_ {1} ({ vec {x}}, { vec {x}} / epsilon)}$ .

Смотрите также

Примечания

^ ^а ^б ^c Санчес-Паленсия, Э. (1980). Неоднородные среды и теория колебаний. Конспект лекций по физике. 127. Springer Verlag. Дои:10.1007/3-540-10000-8. ISBN 978-3-540-10000-3.
^ ^а ^б ^c Бахвалов, Н.; Панасенко, Г. (1989). Гомогенизация: процессы усреднения в периодических средах. Математика и ее приложения. Дордрехт: Клувер. Дои:10.1007/978-94-009-2247-1. ISBN 978-94-010-7506-0.
^ ^а ^б ^c Bensoussan, A .; Львов, J.L.; Папаниколау, Г. (1978). Асимптотический анализ периодических структур.. Исследования по математике и ее приложениям. Амстердам: Северная Голландия. ISBN 0-444-85172-0.
^ Остоя-Старжевский, М. (2007). Случайность микроструктуры и масштабирование материалов. Современная механика и математика. Чепмен и Холл / CRC Press. ISBN 9781584884170.
^ Козлов, С. (1979). «Усреднение случайных операторов». Мат. Сборник. 109 (151): 188–202. (Англ. Пер .: Математика СССР, Сб. 37: 2, 1980, с. 167-180)
^ Papanicolaou, G.C .; Варадхан, С. (1981). «Краевые задачи с быстро колеблющимися коэффициентами» (PDF). Seria Colloq. Математика. Общество Янош Бойяи. Амстердам. 27: 835–873.
^ Берлянд, Л.; Оухади, Х. (ноябрь 2010 г.). "Подход нормы потока к приближениям конечной гомогенизации с неотделенными масштабами и высокой контрастностью". Архив рациональной механики и анализа. 198 (2): 677–721. arXiv:0901.1463. Bibcode:2010ArRMA.198..677B. Дои:10.1007 / s00205-010-0302-1.
^ Målqvist, A .; Петерсейм, Д. (2014). «Локализация эллиптических многомасштабных задач». Математика вычислений. 83 (290): 2583–2603. Дои:10.1090 / S0025-5718-2014-02868-8.
^ Даль Мазо, Г. (1993). Введение в Γ-сходимость. Прогресс в нелинейных дифференциальных уравнениях и их приложениях. Бирхаузер. Дои:10.1007/978-1-4612-0327-8. ISBN 9780817636791.

Асимптотическая гомогенизация - Asymptotic homogenization

Содержание

Метод асимптотического усреднения.

Смотрите также

Примечания

Рекомендации